初中5.2 二次函数的图象和性质巩固练习

课时练

5.2二次函数的图象和性质

一、选择题

1. 将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的拋物线为 (　　)

A.y=(x+3)2+5 B.y=(x-3)2+5 C.y=(x+5)2+3 D.y=(x-5)2+3

2.已知点A(2,y1)和点B(3,y2)在二次函数y=-(x-1)2+2的图像上,则下列结论正确的是 (　　)

A.2>y1>y2 B.2>y2>y1 C.y1>y2>2 D.y2>y1>2

3如图,二次函数y=a(x+1)2+k的图像与x轴交于A(-3,0),B两点,下列说法错误的是 (　　)

A.a<0

B.图像的对称轴为直线x=-1

C.点B的坐标为(1,0)

D.当x<0时,y随x的增大而增大

4.如图在平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是(　　)

A.h=m B.k=n C.k>n D.h<0,k>0

5 已知二次函数y=-(x-1)2+3,当t<x<4时,y随x的增大而减小,则实数t的取值范围是 (　　)

A.t<0 B.0≤t<1 C.1≤t<4 D.t≥4

二、填空题

6.二次函数y=-3(x-4)2+2的图像是由抛物线y=-3x2先向　　(填“左”或“右”)平移　　　　个单位长度,再向　　　　(填“上”或“下”)平移　　　　个单位长度得到的. 

7.写出抛物线y=5(x+2)2-6的性质:开口方向为　　　　,对称轴为　　　　,顶点坐标是　　　　,在对称轴右侧,y随x的增大而　　　　,当x=　　　　时,函数取得最　　　　值为　　　　. 

8 抛物线y=3(x-1)2+8的顶点坐标为　　　　. 

9.已知二次函数y=a(x+h)2+3,当x>2时,y随x的增大而减小;当x<2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是　　　　,h=　　　　. 

10 已知二次函数y=a(x-3)2+c(a,c为常数,a<0),当自变量x分别取,0,4时,所对应的函数值分别为y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系为　　　　　(用“<”连接). 

11 当-2≤x≤1时,抛物线y=-(x-m)2+m2+1有y最大值=4,若m>1,则m=　　　　. 

三、解答题

12.把二次函数y=a(x-h)2+k的图像先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数y=-(x+1)2-1的图像,试确定a,h,k的值.

13.已知二次函数y=-(x-1)2+4.

(1)求出二次函数图像的顶点坐标及与x轴的交点坐标,并在如图所示的网格中画出函数图像的草图;

(2)观察图像确定当x取何值时,y>0.

14.将二次函数y=-x2的图像向上平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度.

(1)求平移后所得图像的函数表达式、顶点坐标和对称轴;

(2)求平移后所得图像对应的函数的最大值或最小值,并求对应的x的值;

(3)求平移后所得图像与y轴的交点坐标.

15.已知一个二次函数图像的顶点坐标是(-1,2),且过点.

(1)求这个二次函数的表达式,并在图中画出它的图像;

(2)求证:对任意实数m,点M(m,-m2)都不在这个二次函数的图像上.

16.如图,二次函数y1=a(x-m)2+n,y2=6ax2+n(a<0,m>0,n>0)的图像分别为C1,C2,C1交y轴于点P,点A在C1上,且位于y轴右侧,直线PA与C2在y轴左侧的交点为B.

(1)若点P的坐标为(0,2),C1的顶点坐标为(2,4),求a的值.

(2)设直线PA与y轴所夹的角为α.

①当α=45°,且A为C1的顶点时,求am的值;

②若α=90°,试说明:当a,m,n各自取不同的值时,的值不变.

答案

1.D　2.A  3.D  4.B  5.C

6右　4　上　2

7.向上　直线x=-2　(-2,-6)　增大　-2　小　-6

8.(1,8)

9.a<0　-2

10.y2<y3<y1　

11.2　

12.解:把二次函数y=-(x+1)2-1的图像先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到二次函数y=-(x-1)2-5的图像,所以a=-,h=1,k=-5.

13.解:(1)∵二次函数y=-(x-1)2+4,

∴其图像的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).

令y=0,则-(x-1)2+4=0,

解得x1=3,x2=-1,

∴二次函数图像与x轴的交点坐标为(3,0)和(-1,0),

画函数图像的草图如图.

(2)由图像可知,当-1<x<3时,y>0.

14.解:(1)平移后所得图像的函数表达式为y=-(x+2)2+2,顶点坐标是(-2,2),对称轴是直线x=-2.

(2)平移后所得图像对应的函数的最大值是2,对应的x的值为-2.

(3)当x=0时,y=-×(0+2)2+2=-3+2=-1,

所以平移后所得图像与y轴的交点坐标为(0,-1).

15.解:(1)依题意,设此二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2.

∵点在它的图像上,∴=a+2,解得a=-,

故所求二次函数的表达式为y=-(x+1)2+2.画出其图像如下.

(2)证明:若点M在此二次函数的图像上,则-m2=-(m+1)2+2,

整理,得m2-2m+3=0.

∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3=4-12=-8<0,∴该方程无实数根,

∴对任意实数m,点M(m,-m2)都不在这个二次函数的图像上.

16.解:(1)由题意,得m=2,n=4,

∴y1=a(x-2)2+4,

把(0,2)代入得到a=-.

(2)①如图(a),过点A作AN⊥x轴于点N,过点P作PM⊥AN于点M.

当x=0时,y1=a(0-m)2+n=am2+n,

∴P(0,am2+n).

∵A(m,n),∴PM=m,AN=n.

由题意得∠APM=45°,∴AM=PM=m.

又∵MN=OP=am2+n,∴m+am2+n=n.

∵m>0,∴am=-1.

②如图(b),由题意,得AB⊥y轴.

∵P(0,am2+n),

当y2=am2+n时,am2+n=6ax2+n,

解得x=±m,∴B-m,am2+n,

∴PB=m.

由题易得PA=2m,∴==2,

∴当a,m,n各自取不同的值时,的值不变.