2023青海师范大学附属实验中学高三上学期12月月考文科数学试题含答案

这是一份2023青海师范大学附属实验中学高三上学期12月月考文科数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题12小题，共60分。
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．在区间上随机地取一个数则事件“直线与双曲线有两个不同的交点”发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是椭圆上的动点，分别为的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若都为命题，则“或为真命题”是“且为真命题”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，点是函数（，）的图像的最高点，、是该图像与轴的交点，若△是等腰直角三角形，则
A．B．C．D．
9．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且f(0)＝0为函数的极值，则有( )
A．c≠0
B．b＝0
C．当a>0时，f(0)为极大值
D．当a<0时，f(0)为极小值
10．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“x=2019”的充分条件B．“x=-1”的充分不必要条件是“”
C．“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D．若，则
12．已知曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A．或B．
C．D．
二、填空题：本题5小题，共20分。
13．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5•a6=27，则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=______．
14．已知向量满足,且,则向量与的夹角为___________.
15．已知，并且满足，那么___________.
16．定义在上的偶函数满足：，且在上单调递减，设，，，则、、的从小到为排列是_________.
三、解答题：本题6小题，共70分。
17．景泰蓝（），中国的著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰，因制作出的工艺品最为精美而闻名，故后人称这种瓷器为“景泰蓝”．其制作过程中有“掐丝”这一环节，某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10000人，现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计．得到如下统计表：
（1）若每月完成合格品的件数超过18件，则车间授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；
（2）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：每月完成合格品的件数在12件以内（包括12件），每件支付员工200元，超出的部分，每件支付员工220元，超出的部分，每件支付员工240元，超出4件以上的部分，每件支付员工260元，将这4段频率视为相应的概率，在该车间男员工中随机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行工资调查，设实得计件工资超过3320元的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
18．如图，直角满足，，，将沿斜边旋转一周得到一个旋转体，试判断该旋转体的形状，并求这个旋转体的表面积和体积.
19．在中，角，，的对边分别为．已知，．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
20．已知正项数列的前n项和为，，当且时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）请判断是否存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.
21．已知函数（其中e为自然对数的底数）．
(1)若，证明：当时，恒成立；
(2)已知函数在R上有三个零点，求实数a的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)点P是曲线上的动点，过点P作直线与曲线有唯一公共点Q，求的最大值.
23．已知．
(1)解不等式．
(2)记的最小值为m，若，求的最小值．
每月完成合格品的件数
频数
10
45
35
6
4
女员工人数
3
22
17
5
3
非“工艺标兵”
“工艺标兵”
总计
男员工人数
女员工人数
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案
1．C
由补集和交集定义可直接求得结果.
由补集定义知：，.
故选：C.
2．D
化简得到，再计算共轭复数得到答案.
，故.
故选：.
本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
3．A
先求出直线与双曲线有两个不同的交点时k的范围，然后再利用几何概型的概率计算公式计算即可.
双曲线的渐近线方程为，当时，与曲线有两个不同的交点；
当时，与曲线没有交点，由几何概型的概率计算公式知，“直线与双曲线有两个不同的交点”发生的概率为，
故选：A.
本题考查几何概型（长度型）的概率计算，涉及到直线与双曲线的位置关系，由本题中直线过原点，可以数形结合即可，本题是一道容易题.
4．A
设与的延长线交于点G，根据，且M是的平分线上一点，得到，由M，O为中点，得到，由，转化为求解.
如图所示：
设与的延长线交于点G，
因为，
所以，
又M是的平分线上一点，
所以MP为的平分线，
所以，且M为的中点，
因为O为的中点，
所以，且，
所以，
所以，
而或，
所以，
故选：A.
5．B
试题分析：若其中命题为真，为假时“或为真命题”成立，这时“且为假命题”；当“且为真命题”时，为假命题，为真命题，所以“或为真命题”成立，故“或为真命题”是“且为真命题”的必要不充分条件，故选B．
考点：1．逻辑连接词与命题；2．充分条件与必要条件．
6．B
采用排除法，先判断函数的奇偶性，再带特殊点求函数值得出结果.
因为函数，定义域为，关于原点对称，
又，函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A，C；
又当时，，排除选项D.
故选：B.
思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像.
7．B
根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出，，求出.
由题意得：，
设的公比为，则，，
解得：，
.
故选：B
8．B
根据△是等腰直角三角形,结合三角函数的最大值,即可求得的长,进而求出周期后即可得的值.
因为函数
所以最大值为2
因为是等腰直角三角形
所以
由图像可知,函数周期为
由周期公式可得
故选:B
本题考查了三角函数的图像与性质,根据部分函数图像求解析式问题,属于基础题.
9．A
求导得f（x）＝3x2+2ax+b，利用函数f（x）＝x3+ax2+bx+c和f（x）的性质，对A,B,C,D四个选项逐一判断即可．
A．f（x）＝3x2+2ax+b，导函数为二次函数，若x0是f（x）的极小值点，
∴在极小值点的左边有一个极大值点，即方程f（x）＝0的另一根，设为x1；
则x1＜x0，且x＜x1时，f（x）＞0；即函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增；故A错误；
B．该函数的值域为（﹣∞，+∞），∴f（x）的图象和x轴至少一个交点；∴∃x0∈R，使f（x0）＝0；∴B正确；
C．当a＝b＝c＝0时，f（x）＝x3为奇函数，图象关于原点对称；∴f（x）是中心对称图形；∴C正确；
D．对于f（x）＝x3+ax2+bx+c，若x0是f（x）的极值点，则f（x0）＝0，∴D正确．
故选A．
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查导函数与极值的应用，属于中档题．
10．B
由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．
解：∵双曲线的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0）的距离为4，∴a＝4；
又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是yx，而抛物线的准线方程为x，因此﹣1（﹣2），﹣2，
联立得，解得a＝2，b＝1，p＝4．
故双曲线的标准方程为：．
故选：B．
本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．
11．D
根据充分、必要条件的定义，可以判断选项的真假，根据不等式性质可以判断选项的真假．
对于选项A，，所以“”是“x=2019”的必要条件；
对于选项B，，解得或，所以“x=-1”的必要不充分条件是“”；
对于选项C，“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”；
对于选项D，，所以，即，所以．
故选：D．
本题主要考查充分、必要条件的定义应用，属于基础题．
12．A
先根据导数定义以及几何意义求斜率，再根据斜率列方程解得结果.
设，∵，
∴，
∴，∴．
又∵，即，∴，故P点的坐标为或．选A.
本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.
13．15
由等比数列及对数的运算性质可知：lg3a1+lg3a2+…+lg3a10＝lg3（a1•a2•…•a10）＝lg3（3）15＝15．
由等比数列{an}的性质可得：a1•a10=a2•a9=…=a5•a6，
由对数的运算性质可知：lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=lg3（a1•a2•…•a10）=lg3（27）5=lg3（3）15=15，
故答案为15．
本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
14．
由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解.
由题cs,
,所以
故答案为
本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.
15．1
变换得到，构造，求导得到函数单调递增，得到，计算得到答案.
，
设，在上恒成立，故函数单调递增.
，故，即，.
故答案为：1
16．
利用函数的周期性和奇偶性得出，，再利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.
由于偶函数在区间上单调递减，则该函数在区间上单调递增，
又，所以，函数是周期为的周期函数，
，，，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用函数的周期性和奇偶性比较函数值的大小关系，解题时要将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17．（1）表格见解析，有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）分布列见解析，.
（1）根据统计表可得列联表，根据公式计算出，结合临界值表可得答案；
（2）根据统计表数据可得男员工实得计件工资超过3320元的概率，女员工实得计件工资超过3320元的概率．设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为，随机抽取的女员工中实得计件工资超过3320元的人数为，则，由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，根据概率公式求得取各个值的概率，可得分布列和数学期望.
（1）列联表如下：
，
所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关．
（2）若员工实得计件工资超过3320元，则每月完成合格品的件数需超过16件，由题中统计表数据可得，男员工实得计件工资超过3320元的概率，女员工实得计件工资超过3320元的概率．
设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为，随机抽取的女员工中实得计件工资超过3320元的人数为，则．
由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
所以.
关键点点睛：掌握独立性检验的原理、分布列的定义和离散型随机变量的数学期望公式是解题关键.
18．..
试题分析：易知该旋转体是由底面相同的两个圆锥将两底面重合形成的组合体，利用圆锥的表面积体积公式求解即可.
试题解析：
该旋转体是由底面相同的两个圆锥将两底面重合形成的组合体.
作斜边的高，根据直角三角形的性质可求得：
，，，
.
.
19．(1)；(2)2
（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出的正弦函数值，然后说明．结合可求角
（2）利用，通过正弦定理求出，然后利用三角形的面积公式求的面积．
（1）由应用正弦定理，得 ，
，整理得，即 ，
由于从而，因为，联立解得 ．
（2）由（1）得，因为得，同理得，
所以的面积
．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，和差公式及三角形面积的用法，属于基础题．
20．（1）；（2）不存在.
（1）由已知可得当且时，有，可得，仍成立，故，平方后得，化简可得，可得数列是等差数列，从而求得数列的通项公式；
（2）由题意有，又由（1）可知可得，由，有，故，，所以不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.
解：（1）当且时，有，可得，
由，满足该式，
可得当时，有，平方后可得
当且时，有
可化为
有
由，有，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，有
故数列的通项公式为
（2）由题意有
又由（1）可知
有
由，有，，有
可得
故不存在三个互不相等的正整数p，q，r成等差数列，使得，，也成等差数列.
给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
21．(1)证明见解析；
(2).
（1）把代入函数，在给定条件下，等价变形不等式，构造函数，借助导数推理作答.
（2）把问题转化为函数有两个都不是0的零点，再利用导数探讨最大值，并结合零点存在性定理推理判断作答.
（1）
当时，，因，，
令，求导得，即函数在上单调递减，
，，因此，当时，恒成立，
所以当时，恒成立.
（2）
依题意，，由，得，显然是函数的一个零点，
因函数在R上有三个零点，则有两个都不是0的零点，
，当时，，函数在上单调递减，此时，在上最多一个零点，不符合题意，
当时，在上单调递减，，则当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，，
要有两个零点，必有，即，得，
因，则存在，使得，即函数在上有一个零点，
令，，求导得：，令，，
则函数在上单调递增，，，因此，函数在上单调递增，
，，即在时，恒成立，当时，在时恒有成立，
因此，，，令，
则，
于是得，则存在，使得，
即函数在上有一个零点，因此在上有一个零点，
从而得，当时，在上有两个零点，即函数在R上有三个零点，
所以实数a的取值范围是.
思路点睛：涉及由函数零点个数求参数范围问题，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值，结合零点存在性定理推理求解.
22．(1)，
(2)最大值为
（1）消参可得曲线的普通方程，由直角坐标与极坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；
（2）设，利用三角函数求的最大值，即可得解.
(1)
∵曲线的参数方程为（t为参数）
由得，，
∴曲线的普通方程为.
∵曲线的极坐标方程为，，，
∴曲线的直角坐标方程为，
即.
(2)
设，，记，
∴
，
∴当时，取最大值27，
∵，
∴的最大值为.
23．(1)
(2)
（1）分别讨论，，三种情况，即可求出不等式的解集；
（2）先由绝对值三角不等式求出，再由均值不等式，根据题中条件，即可求出结果．
（1）①当时，原不等式化为，即，解得；
∴时，不等式成立；
②当时，原不等式化为，即，无解；
∴时，不等式不成立
③当时，原不等式化为，即，解得；
∴时，不等式成立
综上，不等式的解集为
（2）∵（当且仅当时“=”成立）
∴即，
由均值不等式可得：
，
当且仅当，即，时“=”成立，
因此，
即z的最小值是．
非“工艺标兵”
“工艺标兵”
总计
男员工人数
48
2
50
女员工人数
42
8
50
合计
90
10
100
0
1
2
3