2023西宁城西区师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023西宁城西区师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题12小题，共60分。
1．函数在区间上的平均变化率是（ ）
A．B．C．D．
2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度是关于时间的函数，则函数的图象可能是（ ）
B．
C．D．
3．已知函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
4．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2
C．3D．4
5．已知函数，则
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0
8．已知函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
9．在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为，其中，已知，为的前项和，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．16B．32C．64D．128
10．已知函数，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
11．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题5小题，共20分。
13．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______.
14．已知函数的导函数为，且，则______．
15．已知函数，则______．
16．函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是__________．
三、解答题：本题6小题，共70分。
17．求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
18．设函数，已知，且曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）判断函数在区间上的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点个数，并说明理由．
20．已知函数在和时都取得极值.
（1）求、的值；
（2）若函数在区间上不是单调函数，其中，求的取值范围.
21．已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图象是的图象的切线，求的最大值.
22．已知曲线．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
参考答案
1．A
根据平均变化率的定义计算．
由题意平均变化率为．
故选：A．
2．B
根据几何体的形状，判断水面高度随时间升高的快慢，判断可得出合适的选项.
几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢，
即图象越来越平缓，
故选：B.
3．C
根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果.
由，即
因为，所以
则，所以
故选：C
本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题.
4．A
根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．
解：①，故错误；②，故正确；
③，故错误；④，故错误.
所以求导运算正确的个数为1.
故选：A.
5．B
，故选.
6．B
根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.
.
故选：B.
7．C
根据导数的几何意义，先求出函数在的导数值f′（0）＝1，即是该点处切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程.
∵f（x）＝x2+x+1，
∴f′（x）＝2x+1，
∴根据导数的几何意义可得曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线的斜率为f′（0）＝1
∴曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线方程为y﹣1＝f′（0）（x﹣0）即x﹣y+1＝0.
故选：C.
本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程，属于基础题.
8．C
对函数进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必要条件的定义判断可得选项.
由题意可得：恒成立，所以函数在上递增，
又，所以函数是奇函数，
当 时，即，所以，即；
当时，即，所以，即，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
9．D
根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到与的关系，从而判断出是以为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式求出，得到的范围,即可求出.
因为，，，所以切线：
令，，∴，，则，有．
∴是以为公比的等比数列,，而，．∴恒成立,即的最小值为128.
故选：D．
10．C
对函数求导，然后代入，即可解出参数.
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
故选：C.
11．A
根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域.
由题意可得，解得，
因此，函数的定义域为.
故选A.
本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉一些求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题.
12．C
依题意得在定义域内单调递增，得；在定义域内单调递增，利用导数求得，又因为，即可求得结果．
由题意可知函数在定义域内单调递增，
∴，得；
函数在定义域内单调递增，
则在上恒成立，
∴当时，恒成立，而当时，，
∴，即．
又因为，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：C
关键点点睛：本题的解题关键是两段函数在相应的自变量的范围内均为增函数，同时要满足．
13．
利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点，即可计算作答.
依题意，，则曲线在点处切线斜率，
因此曲线在点处的切线方程为，
切线交轴于点，交轴于点，
所以所求三角形面积为.
故答案为：
14．1
根据在某点处的导数的定义，可求得答案.
由题意可得,
故答案为：1
15．
先求导，再代入计算即可．
解：函数，则，则，
故答案为：
本题考查了基本导数公式和导数值，属于基础题．
16．
,则曲线在原点处的切线方程是.
故答案为：
17．（1）；（2）.
根据初等函数求导公式和导数的四则运算即可得到答案.
（1）．
（2）
．
18．（1）函数在区间上单调递增；（2）或.
（1）计算出函数的导数，求出函数在处的斜率，再利用，从而求出的值，再利用导数研究的单调性，从而得出在给定区间的单调性；
（2）分别求出函数在上的最小值与最大值，从而得出，再利用恒成立思想可得出m的取值范围.
（1）因为，
所以，所以，
又因为在点处的切线与直线垂直，
所以，又，即，
所以，解得；
所以，则（），
因为在单调递增，当时，，
所以在上单调递增.即函数在区间上单调递增；
（2）由（1）知，，，
因为在单调递增，且，，
所以存在使得，当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
由可得，所以，
因为，且在上单调递减，所以，
又因为当时，，
所以，所以，所以，
因为当时，，所以，解得或.
所以m的取值范围或.
本题主要考查函数综合、导数的计算和导数在研究函数中的应用，关键在于得出导函数取得正负的区间，得出函数的单调性，属于难题.
19．(1)；
(2)当时，无极值点；当且时，有2个极值点.
（1）代入，求出，再求导得，由点斜式写出切线方程即可；
（2）直接求导分解因式，分、和讨论函数单调性，即可求得极值点情况.
（1）
当时，，，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）
易得函数定义域为R，，
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点；
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点.
20．（1），；（2）.
（1）由题意可知，和是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值；
（2）由题意可知函数在区间上存在极值点，由此可得出关于实数的不等式组，进而可解得正实数的取值范围.
（1），，
由题意可知和是方程的两根，由韦达定理得，解得，
此时.
当或时，；当时，.
所以，函数在和时都取得极值.
因此，，；
（2）由（1）知，函数的两个极值点分别为和，
由于函数在区间上不是单调函数，则函数在区间上存在极值点，
可得或，解得.
因此，实数的取值范围是.
本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
21．（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）0
（1）先求出，再解，即可得解；
（2）先设切点坐标，再由切线方程得出关于的函数关系，再构造函数求最值即可得解.
解：（1）因为，
，
由，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）设切点为，
，
所以，依题意可得，
所以，
，
则，
令，
，
∴当时，；当时，，
即函数在为增函数，在为减函数，
∴当时，有最大值，
故的最大值为0.
本题考查了导数的综合应用，重点考查了运算能力，属基础题.
22．（1）；（2）或．
（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）当为切点时，由（1）可得切线方程；当不是切点时，设切点为，利用导数求得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得，进而得到切线的方程；
（1），曲线在处的斜率，
时，，曲线在处的切线方程为，
即．
（2）当为切点时，由（1）知：切线方程为；
当不是切点时，设过点的切线与曲线相切于点，
则切线的斜率为，
，解得：（舍）或，
切线方程为；
综上所述：所求的切线为或．