初中数学苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程教案
展开5.4 二次函数与一元二次方程(2)
教学目标
1.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根,进一步发展估算能力;
2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,进一步体会数形结合思想;
3.通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图像与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.
教学重点
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系;
2.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根.
教学难点
利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根.
教学过程(教师)
学生活动
设计思路
图1
情境创设
回忆:函数的图
像如图1所示,你能看出方程
的解吗?
创设:函数的图
图2
像如图2所示,你能看出方程
的解吗?
学生思考并讲解方法.
借助上节课的知识,学生较容易回答出“回忆”部分的答案为:,,当遇到“创设”问题时学生较难回答出,只能估计值的范围.
通过回忆,复习二次函数的图像与一元二次方程根之间的关系,而紧接着的“创设”会让学生陷入沉思,进而激发兴趣,寻求解决的办法.
探究活动
从图像上来看,二次函数的图像与x轴交点的横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,所以方程的两个根一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围,究竟接近于哪一个数呢?请大家讨论解决.
如右边表格所示,当我们算到-0.5时,还需要算吗?为什么?因为从图像的走势来看,继续往左取自变量的值,所得的函数值将越来越大,所以我们可以判定这个根一定在-0.4与-0.5之间,那会是多少呢?
我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢?
学生思考并讲解方法,必要时让学生板演并讲解,教师点拨.
有关估算问题我们在前面已学习过了,即用试一试的方法进行的.既然一个根在-1与0之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-0.1,-0.2,…,-0.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).
如:利用计算器进行探索
x
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
y
-0.79
-0.56
-0.31
-0.04
0.25
从表格中可以看出,-0.4与-0.5所对的值由负变正,所以可以确定该根应在-0.4与-0.5之间,又从-0.04与0.25的值来看,-0.04更接近于0,所以我们判断x≈-0.4.
我们可以继续取值来缩小它的范围:
x
-0.41
-0.42
y
-0.0119
0.0164
当我们算到-0.42时,也没有必要继续算下去了,因为它的值已经由负变正了,所以可以确定这个根一定在-0.41与-0.42之间,即-0.41<x<-0.42,又从-0.0119与0.0164的值来看,-0.0119更接近于0,所以我们判断x≈-0.41.
我们还可以继续取值来缩小它的范围:
x
-0.411
-0.412
-0.413
-0.414
-0.415
y
-0.009079
-0.006256
-0.003431
-0.000604
0.002225
从-0.000604与0.002225的值来看,-0.000604更接近于0,所以我们判断x≈-0.414.
以此类推,我们还可以进一步缩小这个根的取值范围.
我们可以用同样的方法去求方程的另一个根.
利用计算器进行探索:
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
y
-0.79
-0.56
-0.31
-0.04
0.25
所以x≈2.4.
我们可以继续取值来缩小它的范围:
x
2.41
2.42
y
-0.0119
0.0164
所以x≈2.41.
我们还可以继续取值来缩小它的范围:
x
2.411
2. 412
2. 413
2.414
2.415
y
-0.009079
-0.006256
-0.003431
-0.000604
0.002225
所以x≈2.414.
以此类推,我们还可以进一步缩小这个根的取值范围.
通过引导学生正确观察图形,计算不同的值代入后越来越接近0的方法来感受根的寻找是采用逐步逼近的思想,方程根的取值范围的进一步缩小,让学生体会方程根的取值的进一步精确性.
通过取另一个根的过程,巩固和强化寻找的过程和方法.另外,用不同的方法(二分法)去寻找根,让学生感受其寻找根的过程和方法的区别和优劣.
可由学生独立思考后再小组交流,既留有学生独立思考的时间和空间,且培养了学生小组合作的意识和团队精神.
拓展延伸
利用二次函数的图像求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
现在我们应该利用什么函数图像求方程x2+2x-10=3的根呢?
函数y=x2+2x-13的图像如右图所示:
由图可知,图像与x轴的两个交点的横坐标中,一个在-5与-4之间,一个在2与3之间,因此两个根分别为负4点几和2点几,下面用计算器进行探索.
x
-4.5
-4.6
-4.7
-4.8
-4.9
y
-1.75
-1.04
-0.31
0.44
1.21
因此x=-4.7是方程的一个近似根.
另一个根可以类似地求出:
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
-1.75
-1.04
-0.31
0.44
1.21
因此x=2.7是方程的另一个近似根.
以此类推,我们还可以进一步缩小这个根的取值范围.
让学生感受不同的处理方法所带来的特点.
练习巩固
1.利用二次函数的图像,借助计算器探索方程根的近似值(精确到0.01);
学生板演并讲解,教师点拨.
参考答案:
,.
通过练习,帮助学生巩固新知.
课堂小结
通过今天的学习,你学会了什么?与大家分享.
如何确定方程根的近似值?
学生思考,交流并汇报.
小结能将所学知识条理化、系统化;让学生在交流中共享.
作业布置
课本P28习题第3题;
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