河南省新乡市辉县市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份河南省新乡市辉县市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省新乡市辉县市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数0、﹣4、﹣π、﹣中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣4 C．﹣π D．﹣
2．（3分）关于的叙述，正确的是（　　）
A．在数轴上不存在表示的点
B．＝2
C．表示8的平方根
D．与最接近的整数是3
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a3÷a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）若2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y的值为（　　）
A． B．﹣2 C． D．
5．（3分）若实数m、n满足等式+|n﹣4|＝0．且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
6．（3分）已知4y2+my+9恰好能写成一个二项式的平方，则m的值是（　　）
A．±6 B．±12 C．6 D．12
7．（3分）如图，一个三角形被木板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
8．（3分）在一张为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．105° B．120° C．115° D．135°
10．（3分）如图，已知点P是射线OD上一动点（即点P可在射线OD上运动）．∠AOD＝30°，当∠A＝（　　）度时，△AOP为等腰三角形．

A．120 B．30或75
C．30或75或120 D．120或75或45或30
二、填空（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小关系　 　1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
12．（3分）如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是 　 　．
13．（3分）已知：（x+2）（x2﹣2ax+3）中不含x2项，a＝　 　．
14．（3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣4）＝10，则x的值为 　 　．
15．（3分）计算：（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）＝　 　．
三、解答题（本大题有8道小题.共75分）
16．（16分）计算：
（1）﹣12002+﹣|1﹣|+﹣；
（2）20222﹣2021×2023；
（3）﹣a6•a5÷a3﹣（a2）3•（﹣3a）2；
（4）[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x）．
17．（8分）分解因式．
（1）﹣x3+2x2﹣x；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
18．（6分）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE．
老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AC＝DF；
乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 　 　．
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．

19．（7分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．
求证：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．

21．（7分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为　 　．
（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．

22．（11分）【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．

23．（10分）阅读理解题．先阅读下面的例题，再按要求解答下面的问题：（例题）说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．
解：m2+2m+4＝m2+2m+1﹣1+4＝（m+1）2+3
∵（m+1）2≥0
∴（m+1）2+3≥3
∴m2+2m+4的值一定是正数
（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数
（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长为4，另一边长比正方形的边长少了3．请你比较S1与S2的大小关系．并说明理由．

2022-2023学年河南省新乡市辉县市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数0、﹣4、﹣π、﹣中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣4 C．﹣π D．﹣
【分析】先估算出的值的范围，然后进行比较即可解答．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵3.52＝12.25，
∴3.5＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3.5，
∴在实数0、﹣4、﹣π、﹣中，0＞﹣π＞﹣＞﹣4，
∴最小的数是﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
2．（3分）关于的叙述，正确的是（　　）
A．在数轴上不存在表示的点
B．＝2
C．表示8的平方根
D．与最接近的整数是3
【分析】根据实数与数轴上点的一一对应关系，二次根式的化简以及估算无理数的大小逐项进行判断即可．
【解答】解：A．数轴上的点与实数一一对应，因此在数轴上存在表示的点，因此选项A不符合题意；
B．因为2＜＜3，因此选项B不符合题意；
C．表示8的算术平方根，因此选项C不符合题意；
D．因为22＝4，32＝9，而4＜8＜9，所以2＜＜3，又2.52＝6.25，因此最接近的整数是3，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴上点的一一对应关系以及二次根式的化简，掌握算术平方根的定义，实数的定义以及二次根式的化简方法是正确判断的前提．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a3÷a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据实数的计算得出结论即可．
【解答】解：A选项，a3+a3＝2a3，故A选项不符合题意；
B选项，（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B选项不符合题意；
C选项，a3÷a＝a2，故C选项符合题意；
D选项，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算方法是解题的关键．
4．（3分）若2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y的值为（　　）
A． B．﹣2 C． D．
【分析】利用同底数幂除法的逆运算法则计算即可．
【解答】解：∵2x＝3，4y＝5，
∴2x﹣2y＝2x÷22y，
＝2x÷4y，
＝3÷5，
＝0.6．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数的幂的除法运算法则，是把运算法则逆用．
5．（3分）若实数m、n满足等式+|n﹣4|＝0．且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
【分析】先利用绝对值和算术平方根的的非负性可得m﹣2＝0，n﹣4＝0，从而可得m＝2，n＝4，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时；当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵+|n﹣4|＝0，
∴+|n﹣4|＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
∴m＝2，n＝4，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，
∴4+4+2＝10；
综上所述：△ABC的周长是10，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和算术平方根的的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
6．（3分）已知4y2+my+9恰好能写成一个二项式的平方，则m的值是（　　）
A．±6 B．±12 C．6 D．12
【分析】根据完全平方公式即可求出m的值．
【解答】解：由于4y2+my+9恰好能写成一个二项式的平方，
所以4y2+my+9＝（2y）2±2×2y×3y+32＝（2y±3）2，
m＝±12，
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
7．（3分）如图，一个三角形被木板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【分析】利用三角形全等的判定方法可得．
【解答】解：图中的三角形保留完整的部分是两个角及其夹边，故利用ASA可判定三角形全等，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
8．（3分）在一张为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分为两种情况：①当∠A为顶角时，②当∠A为底角时，画出图形，即可得出选项．
【解答】解：有两种情况：
①当∠A为顶角时，如图1，此时AE＝AF＝5cm．

②当∠A为底角时，如图2，此时AE＝EF＝5cm．

故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，能进行分类讨论是解此题的关键．
9．（3分）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．105° B．120° C．115° D．135°
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，

，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，已知点P是射线OD上一动点（即点P可在射线OD上运动）．∠AOD＝30°，当∠A＝（　　）度时，△AOP为等腰三角形．

A．120 B．30或75
C．30或75或120 D．120或75或45或30
【分析】分三种情况：①OA＝OP时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠A＝∠OPA＝75°；②AO＝AP时，由等腰三角形的性质得∠APO＝∠O＝30°，则∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；③PO＝PA时，∠A＝∠O＝30°．
【解答】解：分三种情况：
①OA＝OP时，
则∠A＝∠OPA＝（180°﹣∠O）＝（180°﹣30°）＝75°；
②AO＝AP时，
则∠APO＝∠O＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；
③PO＝PA时，
则∠A＝∠O＝30°；
综上所述，当∠A＝75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小关系　＞　1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】先估算出的范围，再求出的范围即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴＜＜2，
即＞1.5，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出的范围是解此题的关键．
12．（3分）如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是 　1+，1﹣　．
【分析】根据大正方形的面积为6cm2可以得出其边长为cm，再在数轴上找到对应的点表示数即可．
【解答】解：∵两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
∴大的正方形的面积为6cm2，
边长为 cm，
表示1的点A为圆心，向左向右移单位，
∴数轴的交点表示的实数是．
故答案为：．
【点评】本题考查了数轴和实数，根据面积的关系得出大正方形的边长是解此题的关键．
13．（3分）已知：（x+2）（x2﹣2ax+3）中不含x2项，a＝　1　．
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含x2项，即可确定出a的值．
【解答】解：原式＝x3﹣2ax2+3x+2x2﹣4ax+6＝x3+（2﹣2a）x2﹣4ax+3x+6，
由结果不含x2项，得到2﹣2a＝0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣4）＝10，则x的值为 　1　．
【分析】根据新定义列出方程，根据完全平方公式和多项式乘多项式进行求解即可．
【解答】解：∵（x+1）※（x﹣4）＝10，
∴（x+1）2﹣（x+1）（x﹣4）＝10，
∴x2+2x+1﹣（x2﹣4x+x﹣4）＝10，
∴x2+2x+1﹣x2+4x﹣x+4＝10，
∴5x＝5，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了整式的混合运算，新定义，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
15．（3分）计算：（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）＝　　．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，把1看成是（3﹣1），即可解答本题．
【解答】解：原式＝[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（364+1）+1]﹣
＝[（32﹣1）（32+1）（34+1）…（364+1）+1]﹣
＝[（34﹣1）（34+1）…（364+1）+1]﹣
＝（3128﹣1+1）﹣
＝×3128﹣
＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了平方差公式，难度不大，关键是把1看成是（3﹣1），运用平方差公式解题．
三、解答题（本大题有8道小题.共75分）
16．（16分）计算：
（1）﹣12002+﹣|1﹣|+﹣；
（2）20222﹣2021×2023；
（3）﹣a6•a5÷a3﹣（a2）3•（﹣3a）2；
（4）[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x）．
【分析】（1）先计算乘方与开方，再化简绝对值，最后加减；
（2）把2021×2023化为（2022﹣1）（2022+1），利用平方差公式；
（3）先算幂的乘方与积的乘方，再运用同底数幂的乘、除法法则，最后合并同类项；
（4）先利用完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式法则、合并同类项法则计算括号里面的，再利用多项式除以多项式法则算除法．
【解答】解：（1）﹣12002+﹣|1﹣|+﹣
＝﹣1+5﹣（﹣1）﹣2﹣3
＝﹣1+5﹣+1﹣2﹣3
＝﹣；
（2）20222﹣2021×2023
＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
（3）﹣a6•a5÷a3﹣（a2）3•（﹣3a）2
＝﹣a6•a5÷a3﹣a6×9a2
＝﹣a8﹣9a8
＝﹣10a8；
（4）[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x）
＝[x2﹣6xy+9y2﹣7（y2﹣x2）+4xy+2x2﹣2y2﹣xy]÷（﹣）
＝（x2﹣6xy+9y2﹣7y2+7x2+4xy+2x2﹣2y2﹣xy）÷（﹣x）
＝（10x2﹣3xy）÷（﹣x）
＝﹣20x+6y．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、整式的混合运算等知识点，掌握二次根式、有理数及整式的运算法则、整式的乘法公式是解决本题的关键．
17．（8分）分解因式．
（1）﹣x3+2x2﹣x；
（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣x（x2﹣2x+1）
＝﹣x（x﹣1）2；
（2）原式＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（6分）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE．
老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AC＝DF；
乙说：添加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 　乙、丙　．
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．

【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件AB＝DE，只需要添加一个能得出角相等的条件，或BC＝EF的条件即可证明两个三角形全等，添加AC＝DF不能证明△ABC≌△DEF；
（2）添加AC∥DF可得∠F＝∠ACB，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用AAS判定△ABC≌△DEF即可．
【解答】（1）解：说法正确的是：乙、丙，
故答案为：乙、丙；

（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∵AC∥DF，
∴∠F＝∠ACB，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．（7分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF．
求证：（1）△ADF是等腰三角形．
（2）DF＝2EF．

【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，即可求出DF＝2EF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，
∴DH＝FH，
在△AFH和△BFE中，
，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，
∴DH＝FH＝EF，
∴DF＝2EF．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线，并证得DH＝FH＝EF是解决问题的关键．
21．（7分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为　（a+2b）（2a+b）　．
（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．

【分析】（1）根据两种方法计算纸板面积即可；
（2）根据图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，得到，可求ab＝24，进一步可求图中空白部分的面积．
【解答】解：（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为（a+2b）（2a+b）；
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）由已知得：，
化简得
∴（a+b）2﹣2ab＝121，
∴ab＝24，
5ab＝120．
∴空白部分的面积为120平方厘米．
【点评】本题考查了因式分解，能通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．
22．（11分）【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．

【分析】【探究发现】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行线的性质可得∠CBA＝∠DCB＝45°，即可证DB＝DP；
【数学思考】
（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP＝DB．
【解答】【探究发现】
证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DP＝DB；
【数学思考】
证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG
，在△CDP和△GDB中，，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DP＝DB．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是本题的关键．
23．（10分）阅读理解题．先阅读下面的例题，再按要求解答下面的问题：（例题）说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．
解：m2+2m+4＝m2+2m+1﹣1+4＝（m+1）2+3
∵（m+1）2≥0
∴（m+1）2+3≥3
∴m2+2m+4的值一定是正数
（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数
（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长为4，另一边长比正方形的边长少了3．请你比较S1与S2的大小关系．并说明理由．
【分析】（1）利用配方法，化成平方的相反数加一个负数的形式，可判断其值为负数；
（2）用a分别表示出S1与S2，再作差比较即可．
【解答】解：（1）﹣a2+6a﹣10
＝﹣（a2﹣6a+9）﹣1
＝﹣（a﹣3）2﹣1，
∵（a﹣3）2≥0，
∴﹣（a﹣3）2≤0，
∴﹣（a﹣3）2﹣1＜0，
∴代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数；
（2）S1＞S2，
理由是：∵S1＝a2，S2＝4（a﹣3），
∴S1﹣S2＝a2﹣4（a﹣3）＝a2﹣4a+12＝a2﹣4a+4+8＝（a﹣2）2+8，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+8≥8，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2
【点评】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．