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河北省唐山市滦州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

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这是一份河北省唐山市滦州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省唐山市滦州市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共16小题，共42分）

若是一元二次方程的根，则代数式的值为( )

A. B. C. D.

若，则( )

A. B. C. D.

在共有人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，因此选手要想知道自己是否进入前六名，只需了解自己的成绩以及全部成绩的( )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

把一元二次方程配方成的形式，正确的是( )

A. B. C. D.

在中，，，则( )

A. B. C. D.

如图，直线，分别交直线、于点、、、、、若：：，，则的长为( )

A. B. C. D.

小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长为米如图，然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为米，则楼高为( )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )

A. 且 B. C. 且 D.

如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝高，则的长度为( )

A.
B.
C.
D.

如图，∽，相似比为，则：为( )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是( )

A. B. C. D.

某机械厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是( )

A. B.
C. D.

在年的体育中考中，某校名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是( )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是( )

A.
B.
C.
D.

已知，如图所示的一张三角形纸片，边的长为，边上的高为，在三角形纸片中从下往上依次裁剪去宽为的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是( )

A. 第张
B. 第张
C. 第张
D. 第张

如图，若将图正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，设，则的值为( )

A. B. C. D.

二、填空题（本题共3小题，共10分）

设、是方程的两个根，且则______．
如图，中，是的垂直平分线，交于点，连接若，，则______．
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，正方形网格中每个小正方形的边长都是是以为位似中心的的位似图形，且与位似比为，则点的坐标是______，的面积是______．

三、解答题（本题共7小题，共68分）

解方程：；
计算：．
已知如图，是的中线，且，为上一点，．
求证：∽；
若，，试求线段的长．

小明、小兵参加某体育项目训练，教练对他们近期的次测试成绩进行了统计，如折线图所示：

根据折线图中提供的数据填写下表：

	平均数分	众数分	中位数分	方差分
小明			______
小兵		______

教练性格沉稳，欲从两人中选出一人参加市中学生运动会，应选择哪个参加比赛，并说明理由．

已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛海里的处出发，以每小时海里的速度沿正南方向航行．已知在海岛周围海里水域内有暗礁．参考数据：，，
这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
渔船航行小时后到达处，求，之间的距离．

深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为元，平均每天可售出件．
求平均每次降价的百分率；
为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？
如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点，分别从点，同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
经过多少秒，可使的面积等于？
经过多少秒，与相似？
线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：将代入原式可得：，
原式
，
故选：．
将代入原式可得：，从而可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

2.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
把代入要求的式子进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：名参赛选手的成绩各不相同，第名的成绩就是这组数据的中位数，
所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前名．
故选：．
此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前名．
考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．

4.【答案】

【解析】

【解答】
解：移项可得：，
两边加可得：，
配方可得：，
故选：．
【分析】
直接利用配方法进行求解即可．
本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的过程是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：在中，，，
可设，则，由勾股定理得，
，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．

6.【答案】

【解析】解：，，
，即，
解得，，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：
即，
楼高米．
故选：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

8.【答案】

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

9.【答案】

【解析】解：迎水坡的坡比为：，
，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故选：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：∽，相似比为，
：，
：：．
故选：．
由∽，相似比为，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到：，即可得到：．
本题考查了三角形相似的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．

11.【答案】

【解析】

【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
【解答】
解：、当，
，
∽，符合题意；
、当，
，
∽，符合题意；
、当，
即：：，
∽，符合题意；
、当，即：：，
而，
不能判断和相似，不符合题意；
故选：．

12.【答案】

【解析】解：依题意得二、三月份的产量为万个、万个，
又因为第一季度生产零件万个，
所以有：．
故选：．
主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率，如果该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么可以用的表达式分别表示二、三月份的产量，然后根据题意可得出方程．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一般地设个数据，，，，的平均数为，则方差
根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可．
【解答】
解：这组数据出现的次数最多，出现了次，则这组数据的众数是；
把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是，则中位数是；
这组数据的平均数是：，
则方差是：；
故选：．

14.【答案】

【解析】解：由图可得，
，，，
，
是直角三角形，，
，
故选：．
根据勾股定理可以得到、、的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到的形状，从而可以求得图中的正切值．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是判断出的形状，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】

【解析】

【分析】
根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
【解答】
解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，
则，
解得，
所以另一段长为，
因为，所以是第张．
故选B．

16.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
根据图可以知道图形是一个正方形，边长为，图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，而，代入即可得到关于的方程，解方程即可求出．
【解答】

解：依题意得，
而，
，
，
而不能为负，
．
故选A．

17.【答案】

【解析】解：、是方程的两个根，
，，

，

故答案为：
根据根与系数的关系，确定、的值，然后代入方程中，解方程确定的值．
此题主要考查了根与系数的关系、一元一次方程的解法，将根与系数的关系代入方程，并解方程是解决此类题目经常使用的方法．

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
根据线段垂直平分线的性质，可得出，再根据等腰三角形的性质可得出，根据即可求解．
【解答】
解：是的垂直平分线，
，
，
，，
，，
，
故答案为．

19.【答案】

【解析】解：如图所示：即为所求，点的坐标是，
的面积是：．
故答案为：，．
直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出的面积．
此题主要考查了位似图形以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

20.【答案】解：，
，
，
或，
，．
原式

．

【解析】利用因式分解法计算即可；
先代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

21.【答案】证明：，
，
，，
，
，
∽．
解：∽，
，
是三角形的中线，，
，
，，
，
．

【解析】先利用等腰三角形的性质，由得，则可根据等角的补角相等得到，又根据，即可证得∽；
由∽，进而得出，由是的中线，得，进而求出线段的长．
本题考查了相似三角形的性质与判定，利用已知相等角，等腰三角形底角的外角相等，证明三角形相似是解题的关键．

22.【答案】

【解析】解：小明的中位数是，小兵的众数为；
故答案为：，；
选择小兵参加比赛，
理由：从中位数、众数的角度分析，小兵的成绩更好；
从方差的角度分析，小兵的成绩更稳定．
根据中位数，众数的定义即可解决问题；
根据平均数、众数、有理数的大小比较、方差等知识判断即可．
本题考查了折线统计图、平均数、众数、有理数的大小比较、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23.【答案】解：是等腰三角形．理由如下：
是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；
是直角三角形．理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形．

【解析】根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；
根据判别式的意义得到，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．

24.【答案】解：这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作于，如图：

则，
由题意得：，，
，
，
这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
由得：，，
，
，
在中，海里；
答：，之间的距离约为海里．

【解析】作于，由题意得，，则，根据勾股定理求出，即可得出结论；
由得，，求出，由勾股定理求出即可．
本题考查的是勾股定理的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．

25.【答案】解：设每次下降的百分率为，
根据题意，得：，
解得：舍或，
答：每次下降的百分率为；
设每件应降价元，
根据题意，得，
解得：，，
尽快减少库存，
，
答：若商场每天要盈利元，每件应降价元．

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每次下降的百分率为，根据题意，得：，即可求解；
设每件应涨价元，由题意得方程，进而求解．

26.【答案】解：设经过秒，的面积等于，
由题意得，，，则，
的面积等于，
，
解得，，，
答：经过秒或秒，的面积等于；
设经过秒，与相似，
当∽时，，即，
解得，；
当∽时，，即，
解得，，
答：经过秒或秒，与相似；
线段不能将分成面积相等的两部分，
理由如下：假设经过秒线段将分成面积相等的两部分，
则，
整理得，，
，
原方程无解，
线段不能将分成面积相等的两部分．