2023浙江省缙云中学等四校高一上学期12月联考数学试题含解析

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2022学年第一学期高一年级四校联考数学学科 试题卷命题人 张保才 刘松林 杜慧考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】用三角函数值的定义去求.【详解】已知点，则，则.故选：B2. 已知全集，集合，那么（　　）A. （－1，4） B. （－1，4] C. （－2，5） D. [－2，5）【答案】D【解析】【分析】通过解绝对值不等式和分式不等式求出集合，然后求并集.【详解】由，解得，，即由，可得，即所以故选：D3. 下面命题中不正确的是（　　）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“”的否定是“C. 设x，，若“”则“且”是真命题D. 设a，，则“且”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分必要条件的定义判断AD，利用命题的否定判断B，举反例来判断C.【详解】解：A，或， “”是“”的充分不必要条件，A正确；
B，命题“”的否定是“，B正确；
C，当时，满足，但且不成立，C错误；
D，∵且，D正确.
故选：C．4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC.【详解】由图可知，函数为奇函数，且定义域不是.对于B，的定义域为，故B错误；对于D，，即该函数为偶函数，故D错误；对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确；故选：C5. 已知，，，则的大小关系为（　　）A  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由特殊角三角函数值、指数函数和对数函数单调性，结合临界值可得到大小关系.【详解】，.故选：A.6. 已知是定义在R上的增函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（　　）A.   B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得原不等式可以转化为，由函数的单调性解不等式，即可得答案．【详解】根据题意，满足，则，则，又由是定义在上的增函数，则有，解可得，即不等式的解集为.故选：C.7. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，分、、讨论，根据在上单调性可得答案.【详解】因为是减函数，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，当时，在单调递减， 时，符合题意；当时，若在单调递减，则，解得；当时，若在单调递减，则，解得；综上所述，实数a的取值范围.故选：A.8. 已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（　　）A. －1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】首先将函数分成两部分，和，然后考察的零点，利用两部分同号相乘为正数的原则，可知两部分的零点相同，代入并讨论去绝对值，即可求解.【详解】由题设，f（x）定义域为令，可得或∴上，在上，若，∴要使在定义域上恒成立，则在上，在]上，∴或也是g（x）的零点，则：，无解；，解得：； ，无解.∴故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 关于函数的零点，下列说法正确的是：（　　）（参考数据：，，，，，）A. 函数的零点个数为1B. 函数的零点个数为2C. 用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）D. 用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）【答案】AC【解析】【分析】函数在上单调递增，确定函数仅有1个零点，根据二分法即可求出零点所在区间.【详解】解：易知函数上单调递增，因为，，所以函数在上有1个零点，取区间中点，则，所以函数在上有零点，取区间中点，则，所以函数在区间上有零点，取区间中点，则，所以函数在区间上有零点，又精确到的近似值都是，所以函数的一个零点的近似解为，故选：AC.10. 已知实数a，b，c满足：且，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；对于B：由即可判断；对于C：取特殊值，否定结论；对于D：由即可判断.【详解】因为实数a，b，c满足：且，所以a、b、c同号.对于A：若，，则，所以；若，，则，所以；故A正确；对于B：因为，所以，所以成立.故B正确；对于C：可取，则，所以不成立.故C错误；对于D：因为，所以.因为，所以.故D错误.故选：AB11. 设且，则下列结论错误的是（　　）A. 的最小值为4 B. 的最小值为C. 的最小值为 D. 的最小值为1【答案】ABCD【解析】【分析】结合基本不等式以及二次函数的性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意且，所以，A选项，，但无解，故等号不成立，A选项错误.B选项，由于，所以，所以B选项错误.C选项，，当时，有最小值，所以C选项错误D选项，，但无解，故等号不成立，D选项错误.故选：ABCD12. 已知函数，则下列说法正确的是（　　）A. 函数的单调减区间是；B. 函数在定义域上有最小值为0，无最大值；C. 若方程有1个实根，则实数t的取值范围是D. 设函数，若方程有四个不等实根，则实数m的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】函数变形得，即可根据函数形式得出函数的单调性及值域，即可判断AB；由数形结合即可判断C；对D，方程等价于，结合①解的个数的情况，即可判断②中解的个数及范围，即可根据零点存在定理列不等式求解.【详解】由于在上单调递减，在上单调递增，且在单调递减，所以由复合函数单调性可得当时，在上单调递增，在上单调递减，故的图象如图所示， 对AB，在，单调递增，值域；在，当时，有最大值，即在单调递增，在单调递减，值域为，综上，的值域为，故AB对；对C，方程有1个实根等价于与有一个交点，则实数t的取值范围是，C错；对D，方程等价于，由于时方程①一解；时方程①两解；时方程①三解.故有四个不等实根等价于有两根，其中，.∵，，∴只需即可，此时，，故m的取值范围为，D对.故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 一个扇形的面积是，它的周长是，则圆心角为______弧度．【答案】2【解析】【分析】设出扇形的圆心角和半径，利用扇形的周长和面积列方程组求出圆心角的值．【详解】解：设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为，①面积为，②由①②解得，；所以扇形的圆心角为2弧度．故答案为：214. 已知一元二次不等式的解集为或}，且，则的解集为___________.【答案】【解析】【分析】根据解集形式确定之间的关系，进而得到的解集，从而利用整体法得解的解集.【详解】因为一元二次不等式的解集为或}，所以且的两根为和，所以， 所以，所以，由得，解得或，所以得，（舍去）或，所以.故答案为：.15. 设函数和函数，若对任意的，t]，当时，都有，则t的最大值为___________.【答案】1【解析】【分析】将条件进行整理，最后转化为一个函数的在区间上的单调性问题.【详解】不妨设对于即单调递增；，在上单调递增，故故答案为：116. 已知函数对于任意均满足，且当时，，若存在实数满足，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由抽象函数关系式可知关于直线对称，由此可得；作出在上的图象，采用数形结合的方式可确定且，令，将问题转化为二次函数值域的求解问题，结合对勾函数性质可得的范围，进而确定结果.【详解】，关于直线对称，，令；作出在上的图象如下图所示，由图象可得：，，且，，令，则，即，的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设，集合（1）若，求（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据对数函数定义域与单调性，结合二次不等式与交集的定义求解即可；（2）由题意且，再分别代入求解不等式即可.【小问1详解】当时，所以【小问2详解】集合，所以因为，所以且.则，即，解得.18. 已知求：（1）（2）【答案】（1）0    （2）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法计算作答.（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算作答.【小问1详解】因，所以.【小问2详解】因，所以.19. 已知函数（1）求函数的单调递增区间，以及对称轴方程；（2）若，当时，的最大值为5，最小值为－1，求实数a，b的值.【答案】（1）单调递增区间是；    （2）或【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性及对称轴求解即可；（2）根据的范围求出的范围，利用正弦函数求出值域，根据的最值建立方程求解即可.【小问1详解】由令，解得，即单调递增区间是；令，解得，即函数对称轴方程为.【小问2详解】当时，，则，即，又的最大值为5，最小值为—1，则或，解得或.20. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.【答案】（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【解析】【分析】（1）代入公式中直接计算即可（2）由题意得，，则，求出的范围即可【详解】（1），（2），.因为要使火箭的最大速度至少增加，所以，即：，所以，即，所以，因为，所以.所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题21. 已知（1）求函数的表达式，并判断函数的单调性（不需要证明）；（2）关于x的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），单调递增    （2）【解析】【分析】（1）令，则，代入条件可得答案，然后任取，通过计算的正负可得单调性；（2）将原式整理得到在上有解，转化为，求出的最大值即可.【小问1详解】令，则，故，任取，则，，，故在R上单调递增；【小问2详解】由已知化简得，令，因为在上单调递增，又，故在上有解，即在上有解，.又.22. 已知函数.（1）若，求的值域；（2）对任意，存在，使得，求实数a的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）求出分段函数的解析式，再求每一段的值域即得解；（2）对分五种情况分析讨论得解.【小问1详解】时，当时，，则，无最大值.当时，.故的值域为.【小问2详解】∵，∴时，时，下面证明函数在单调递减，在单调递增.设所以所以，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数在单调递减，在单调递增.①时，应满足 ，解为空集；②时，应满足 ，解得.③时，应满足 ,解得;④时，应满足 ,等价于即⑤时，此时在单调递减，不合题意.综上所述，a取值范围为.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分类讨论的思想的运用，要充分理解分类的起因、标准、过程和结果.分类讨论是一种重要的数学思想.