2023济南外国语学校高一上学期12月月考数学试题含解析

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2022-2023学年度第一学期模块考试高一数学试题2022.12一､单选题（每题5分，只有一个选项正确）1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先解出集合A、B，再求.【详解】因为，，所以.故选：A2. 命题“，”的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】特称命题的否定为全称命题,全称命题的否定为特称命题.【详解】命题“，”的否定为，.故选：C【点睛】要区别命题的否定和否命题，特别是全称命题和特称命题的否定.3. 已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解【详解】因为为奇函数，所以，所以原不等式可化为，即，因为单调递增，且，所以，解得.故选：C4. 已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用幂函数以及指数函数的单调性判断的大小关系，结合是定义在上的增函数，即可判断出答案.【详解】因为函数为R上单调增函数，故，而，由于是定义在上的增函数，故，即.故选：A.5. 函数在上的大致图象为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B，又，排除选项CD，故选：A6. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ）A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元【答案】B【解析】【分析】根据题意列出收益的表达式，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：，设投资这两座城市收益为，则有，令，则有，该二次函数的对称轴为，且开口向下，所以，故选：B7. 设满足，满足，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，令，则，设，利用的单调性，可得，，即可得出答案.【详解】根据题意，令，则，即，因为函数在上单调递增，又满足，所以，所以，即，所以.故选：D.8. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时， ，若在区间内方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性、周期性和对称性，作出函数的图像，将方程的解转化为两个函数图像的交点，利用数形结合以及交点个数列出不等式组，即可得出的取值范围.【详解】由，所以函数的周期为，又函数为偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称；所以，由（）得：，令（）；作出函数和函数的图像，如图所示：由图像可知，要使方程（）恰有3个不同的实数根，则有，即，所以，即，故选：D.二､多选题（全部选对得5分，对但是不全得2分）9. 下列运算正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】根据对数的运算性质、对数的运算法则，换底公式逐项判断即可得解.【详解】对A，，，故A错误；对B，由对数运算性质可知，故B正确；对C，，故C错误；对D，由换底公式可知，，故D正确.故选：BD10. 下列函数中，在上单调递增的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调．故选:AD．11. 已知，，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以A正确，对于B，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误，对于C，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确，对于D，因为，，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确，故选：ACD12. 已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）A. 实数的取值范围为 B. C.  D. 的最大值为【答案】AC【解析】【分析】画出的图象，数形结合得到，且，关于，，再运用基本不等式求出的最大值，得到AC正确.【详解】画出的图象，如下：要想与有三个不同的交点，需要，A正确；由题意可知，且关于对称，故，B错误，C正确；则，解得：，当且仅当时等号成立，但，故等号取不到，故，D错误，故选：AC.三､填空题（每题5分）13. 函数的零点个数为________．【答案】1【解析】【分析】解法一，将函数的零点转化为函数与图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.【详解】解法一：令，可得方程，即，故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数与的图象只有一个交点，故函数只有一个零点，故答案为：1解法二：∵，，∴，又的图象在上是不间断的，∴在上必有零点，又在上是单调递增的，∴函数的零点有且只有一个，故答案为：114. 函数的定义域为___．【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组，求出解集即可．【详解】要使函数有意义，则，解得，所以，所以函数的定义域为．故答案为：．15. 已知是定义在R上的奇函数，时，则_______．【答案】【解析】【分析】结合对数函数性质由奇函数的定义求值．【详解】，，故答案为：．16. 函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立.则的解集为_________【答案】【解析】【分析】由题意，设函数，得函数在上的单调递增函数，进而得到函数为偶函数，即可求解当时，不等式等价于的解集，以及当时，的解集，即可得到答案.【详解】由题意，设函数，由对于任意，都有成立，则可得函数在上的单调递增函数，又由函数为定义在上的奇函数，则函数，即函数为偶函数，又由，则，且，又由，可知：当时，不等式等价于，即，解得；当时，不等式等价于，即，解得 即不等式的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及利用函数的性质求解不等式的解集，其中解答其中熟练应用函数的基本性质，合理转化不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.四､解答题17. 化简下列式子并求值:（1）;（2）.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)将式子用对数运算公式等展开合并化简即可求值;(2)将式子用分数指数幂运算公式等,进行化简求值即可.小问1详解】解:原式为;【小问2详解】原式为.18. 已知函数（1）求的值；（2）在坐标系中画出的草图；（3）写出函数的单调区间和值域.【答案】（1）5    （2）见解析    （3）减区间为，增区间为；值域为【解析】【分析】（1）先求，再求可得答案；（2）分段作出图象即可；（3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域.【小问1详解】因为，所以，所以.【小问2详解】草图如下：小问3详解】由图可知，减区间为，增区间为；当时，；当时，为减函数，所以；当时，为增函数，所以；所以的值域为.19. 已知幂函数在上单调递增（1）求m的值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）    （2）8【解析】【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定.(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.【小问1详解】由幂函数的定义得：，或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；当时，在上单调递增，符合题意；综上可知：.【小问2详解】当且仅当且时，即时，的最小值为8.20. 已知函数是定义在R上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上单调递减.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出，得到解析式；（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论【小问1详解】因为函数是奇函数，所以，所以，则，此时，所以，解得，所以；【小问2详解】证明：，且，则，∵∴，，则，又∴，即，所以在上单调递减.21. 已知函数.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并给予证明；（3）求关于的不等式的解集.【答案】（1）；    （2）函数为奇函数，证明见解析；    （3）见解析.【解析】【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.【小问1详解】根据题意，函数，所以，解可得，所以函数的定义域为；【小问2详解】由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，因为函数，所以，所以函数为奇函数.【小问3详解】根据题意，即，当时，有，解可得，此时不等式的解集为；当时，有，解可得，此时不等式的解集为所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.22 已知函数.（1）解不等式；（2）若关于x的方程在上有解，求m的取值范围；（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）由换元法求解，（2）参变分离后转化为求值域问题，（3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，再由换元法与参变分离求解，【小问1详解】设，则不等式可化为，解得，则，故原不等式的解集为【小问2详解】即在上有解，而，，故，即m的取值范围是【小问3详解】由题意得，，解得，，故原不等式即对恒成立，令，不等式可化为对恒成立，，而，由对勾函数性质得当时取最大值，则，实数a的取值范围是