还剩26页未读，
继续阅读
广东省河源市东源县崇文学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)
展开
这是一份广东省河源市东源县崇文学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省河源市东源县崇文学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝﹣5 B．2x2＝5 C． D．3x2+xy＝5
2．（3分）如果2a＝3b，那么的值为（ ）
A． B． C．5 D．1
3．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是正方形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
6．（3分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．（3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形
B．一定不是中心对称图形
C．当AC＝BD时，它是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它是矩形
9．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．①以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M；②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P；③连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为（ ）
A．14 B． C．16 D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若关于x的方程x2﹣ax+2＝0有一个根是﹣1，则a＝ ．
12．（4分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）．
13．（4分）如果两个相似三角形的周长比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是 ．
14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是 cm2．
15．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且EO＝3，则菱形ABCD的周长为 ．
16．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么CE：EA＝ ．
17．（4分）如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ．
三、解答题。（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣7x+11＝0．
19．（6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A'B'C'∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A'B'C'在第三象限；
（2）点B'的坐标为 ．
20．（6分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有 个月的月生产数量不超过60万支．
四、解答题。（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）中华文化，源远流长，在古典文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》（分别记作A、B、C、D）是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大名著”．我校为了了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部？”的问题在全校学生中进行了抽样调查．根据调查结果绘制成如所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名学生；扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 度．
（2）若没有读过四大名著的两名学生准备从四大名著中各自随机选择一部来阅读，请你用列表法或列树状图法求他们选中同一种名著的概率．
22．（8分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元；
（2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作PE∥DC交BC于点E，作PF∥BC交CD于点F．
（1）证明：△BPE∽△PDF；
（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．
五、解答题。（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式和另一个交点B的坐标；
（2）当﹣x+3＜时，请直接写出x的取值范围；
（3）若点P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值．
25．（10分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在x轴上是否存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，求出点H坐标．
2021-2022学年广东省河源市东源县崇文学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝﹣5 B．2x2＝5 C． D．3x2+xy＝5
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x+2y＝﹣5含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程2x2＝5是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项不符合题意；
D．方程3x2+xy＝5含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（3分）如果2a＝3b，那么的值为（ ）
A． B． C．5 D．1
【分析】根据比例的性质直接解答即可．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
3．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意；
C．长方体的三视图都是长方形，但这些矩形的长与宽不尽相同，不符合题意；
D．球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是正方形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝0中，
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确当Δ＜0时，原方程没有实数根；当Δ＝0时，原方程有两个相等的实数根；当Δ＞0时，原方程有两个不相等的实数根．
6．（3分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为＝．
故选：B．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
8．（3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形
B．一定不是中心对称图形
C．当AC＝BD时，它是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它是矩形
【分析】先连接AC，BD，根据EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【解答】解：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，
当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
9．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab的符号判定反比例函数图象和一次函数所在的象限．
【解答】解：∵ab＜0，
∴反比例函数y＝的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意，
∵ab＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．①以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M；②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P；③连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为（ ）
A．14 B． C．16 D．
【分析】利用基本作图得到∠DEG＝∠CEG，再根据正方形的性质得到AD∥BC，AD＝CD＝AB＝16，则可计算出AE＝4，DE＝12，CE＝20，再证明∠CEG＝∠G得到CG＝CE＝20，接着证明△DEH∽△CGH，利用相似比计算出DH＝6，然后利用勾股定理计算EH的长．
【解答】解：由作法得EG平分∠DEC，
∴∠DEG＝∠CEG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝CD＝AB＝16，
∵AE：AD＝1：4，
∴AE＝4，DE＝12，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝20，
∵DE∥CG，
∴∠DEG＝∠G，
∴∠CEG＝∠G，
∴CG＝CE＝20，
∵DE∥CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴＝＝＝，
∴＝，即＝，
∴DH＝DC＝×16＝6，
在Rt△DEH中，EH＝＝＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若关于x的方程x2﹣ax+2＝0有一个根是﹣1，则a＝ ﹣3 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣ax+2＝0得1+a+2＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax+2＝0得1+a+2＝0，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．（4分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 5（答案不唯一，只要c≥0即可） （写出一个即可）．
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．
【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，
∵Δ＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，
解上式得c≥0．
故答案为：5（答案不唯一，只要c≥0即可）．
【点评】本题主要考查根的判别式，关键在于求出c的取值范围．
13．（4分）如果两个相似三角形的周长比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是 1：2 ．
【分析】已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：，
∴它们的相似比为1：，
∴它们的面积比为1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是 45 cm2．
【分析】由图可得底面三角形的三边都为3，正三棱柱的高为5，侧面积等于三个矩形的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．
【解答】解：3×5×3＝45（cm2）．
故这个几何体的侧面积是45cm2．
故答案为：45．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体以及几何体的表面积，几何体的侧面积等于三个矩形的面积．
15．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且EO＝3，则菱形ABCD的周长为 24 ．
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝6．
∴C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD＝6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．
16．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么CE：EA＝ 5：7 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵BD：DF＝2：5，
∴＝，
∴CE：EA＝5：7，
故答案为：5：7．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
17．（4分）如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ﹣4 ．
【分析】设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，根据矩形的性质得出S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，由反比例函数比例系数k的几何意义得出S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，那么OB＝2EC，由此可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），根据AC∥x轴，得出＝﹣，即k1＝﹣2k2②，把②代入①，求出k2＝4，再求出k1＝﹣8，进而得出结论．
【解答】解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，
则S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，
∴S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．
∵AC∥BF，
∴＝＝，
∴OB＝2EC，
∴可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），
∵AC∥x轴，
∴＝﹣，
∴k1＝﹣2k2②，
把②代入①，得2k2+k2＝12，
∴k2＝4，
∴k1＝﹣8，
∴k1+k2＝﹣8+4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了矩形的性质以及平行线分线段成比例定理．
三、解答题。（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣7x+11＝0．
【分析】利用公式法求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣7，c＝11，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×1×11＝5＞0，
则x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．（6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A'B'C'∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A'B'C'在第三象限；
（2）点B'的坐标为 ﹣2，1 ．
【分析】（1）利用位似图形的性质进而得出△A′B′C′各顶点的位置，进而得出答案；
（2）利用所画图形，得出点B′的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可知，点B′的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：﹣2，1．
【点评】此题主要考查了作图﹣位似变换，得出对应点位置是解题关键．
20．（6分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有 6 个月的月生产数量不超过60万支．
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝，
∵点（1，180）在该函数图象上，
∴180＝，得k＝180，
∴y＝，
当x＝4时，y＝＝45，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
，
解得2≤x≤7
∵x为正整数，
∴x＝2，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
四、解答题。（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）中华文化，源远流长，在古典文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》（分别记作A、B、C、D）是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大名著”．我校为了了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部？”的问题在全校学生中进行了抽样调查．根据调查结果绘制成如所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 40 名学生；扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 126 度．
（2）若没有读过四大名著的两名学生准备从四大名著中各自随机选择一部来阅读，请你用列表法或列树状图法求他们选中同一种名著的概率．
【分析】（1）由阅读2部的人数及其所占百分比可得总人数，求出1部对应的人数，再用360°乘以其人数所占比例即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中选中同一种名著的有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查被调查的学生为：10÷25%＝40（名），
阅读“1部”的学生为：40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14（名），
∴扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：×360°＝126°，
故答案为：40，126；
（2）将《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中选中同一种名著的有4种，
∴他们选中同一种名著的概率为：＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．掌握概率公式：概率P（A）＝是解题的关键．
22．（8分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 550 个水杯，月销售利润是 8250 元；
（2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；
（2）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个水杯的售价为50元．
【解答】解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），
（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．
故答案为：550；8250．
（2）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40．
当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；
当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．
又∵要尽量减少库存，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：每个水杯的售价为50元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作PE∥DC交BC于点E，作PF∥BC交CD于点F．
（1）证明：△BPE∽△PDF；
（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．
【分析】（1）由平行线的性质判断出∠BPE＝∠PDF，∠PBE＝∠DPF，即可得出结论；
（2）设正方形的边长为x，则PE＝PF＝CE＝CF＝x，进而得出BE＝8﹣x，DF＝6﹣x，再由△BPE∽△PDF，得出，即，解方程即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵PE∥DC，
∴∠BPE＝∠PDF，
∵PF∥BC，
∴∠PBE＝∠DPF，
∴△BPE∽△PDF；
（2）解：当四边形PECF是正方形，设此正方形的边长为x，则PE＝PF＝CE＝CF＝x，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BE＝8﹣x，DF＝6﹣x，
由（2）知，△BPE∽△PDF，
∴，
∴，
∴x＝，
即当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BPE∽△PDF是解本题的关键．
五、解答题。（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式和另一个交点B的坐标；
（2）当﹣x+3＜时，请直接写出x的取值范围；
（3）若点P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值．
【分析】（1）把A点代入一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例解析式，联立反比例解析式和一次函数解析式求出B点坐标即可；
（2）根据图象得出取值范围即可；
（3）作B点关于x轴的对称点B'，求出B'的坐标，连接AB'，则AB'即为PA+PB的最小值，利用两点坐标求出AB'的长度即可．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝﹣1+3，
∴a＝2，
即A（1，2），
把A点坐标代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝，
联立一次函数和反比例函数解析式得，
解得或，
∴B点的坐标为（2，1）；
（2）由（1）知A（1，2，），B（2，1），
根据图象可知，当﹣x+3＜时，0＜x＜1或x＞2，
∴当﹣x+3＜时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞2；
（3）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'，
则此时PB＝PB'，
∴当P点在AB'上时，PA+PB有最小值，最小值为AB'，
∵B点与点B'关于x轴的对称，
∴B'（2，﹣1），
∴AB'＝＝，
∴PA+PB的最小值为．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的知识，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
25．（10分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在x轴上是否存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，求出点H坐标．
【分析】（1）①利用三角形的外角性质证明∠FDE＝∠BEC即可得出平行；
②作辅助线EG⊥DF于点G，利用锐角三角函数即可求出DG的长，再用等腰三角形的性质求出DF的长；
（3）先求出点A和点E的坐标，然后设出点G和点H的坐标，根据对角线的情况及菱形的性质即可求出H的坐标．
【解答】解：（1）①∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD，
∵∠EDF+∠EFD＝2∠EDF＝∠FEC＝2∠BEC，
∴∠EDF＝∠BEC，
∴DF∥BE；
②作EG⊥DF于点G，则DG＝FG，
根据勾股定理得BE＝5，
∵cos∠GDE＝，
∴DG＝，
∴DF＝；
（2）由题意得A（2，0），
在△EDC和△EOA中，
，
∴△EDC≌△EOA（AAS），
∴AE＝CE，
设OE＝x，则AE＝，
由勾股定理得：，
解得x＝，
∴E（0，），
由题意知AC的解析式为y＝，
设G（x，），H（m，n），
若AE是菱形的对角线，
则，
又∵AG＝EG，
∴，
解得，
∴H（，0），
若AG是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝EG，
∴，
解得，
∴H（2，），
若AH是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝AG，
∴，
解得或，
∴H（，）或H（﹣，），
综上，H的坐标为（，0），（2，），（﹣，），（，）．
【点评】本题主要考查特殊四边形的综合应用，关键是要理解折叠变化前后的图形全等，对应边，角都相等，还要牢记矩形的内角都是90°的性质和菱形的四边相等的性质，特殊四边形求顶点坐标时，一般用对角线互相平分的性质．
2021-2022学年广东省河源市东源县崇文学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝﹣5 B．2x2＝5 C． D．3x2+xy＝5
2．（3分）如果2a＝3b，那么的值为（ ）
A． B． C．5 D．1
3．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是正方形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
6．（3分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．（3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形
B．一定不是中心对称图形
C．当AC＝BD时，它是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它是矩形
9．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．①以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M；②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P；③连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为（ ）
A．14 B． C．16 D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若关于x的方程x2﹣ax+2＝0有一个根是﹣1，则a＝ ．
12．（4分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）．
13．（4分）如果两个相似三角形的周长比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是 ．
14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是 cm2．
15．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且EO＝3，则菱形ABCD的周长为 ．
16．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么CE：EA＝ ．
17．（4分）如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ．
三、解答题。（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣7x+11＝0．
19．（6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A'B'C'∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A'B'C'在第三象限；
（2）点B'的坐标为 ．
20．（6分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有 个月的月生产数量不超过60万支．
四、解答题。（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）中华文化，源远流长，在古典文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》（分别记作A、B、C、D）是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大名著”．我校为了了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部？”的问题在全校学生中进行了抽样调查．根据调查结果绘制成如所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名学生；扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 度．
（2）若没有读过四大名著的两名学生准备从四大名著中各自随机选择一部来阅读，请你用列表法或列树状图法求他们选中同一种名著的概率．
22．（8分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元；
（2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作PE∥DC交BC于点E，作PF∥BC交CD于点F．
（1）证明：△BPE∽△PDF；
（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．
五、解答题。（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式和另一个交点B的坐标；
（2）当﹣x+3＜时，请直接写出x的取值范围；
（3）若点P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值．
25．（10分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在x轴上是否存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，求出点H坐标．
2021-2022学年广东省河源市东源县崇文学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝﹣5 B．2x2＝5 C． D．3x2+xy＝5
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x+2y＝﹣5含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程2x2＝5是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项不符合题意；
D．方程3x2+xy＝5含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（3分）如果2a＝3b，那么的值为（ ）
A． B． C．5 D．1
【分析】根据比例的性质直接解答即可．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
3．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意；
C．长方体的三视图都是长方形，但这些矩形的长与宽不尽相同，不符合题意；
D．球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是正方形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝0中，
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确当Δ＜0时，原方程没有实数根；当Δ＝0时，原方程有两个相等的实数根；当Δ＞0时，原方程有两个不相等的实数根．
6．（3分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为＝．
故选：B．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
8．（3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形
B．一定不是中心对称图形
C．当AC＝BD时，它是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它是矩形
【分析】先连接AC，BD，根据EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【解答】解：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，
当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
9．（3分）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab的符号判定反比例函数图象和一次函数所在的象限．
【解答】解：∵ab＜0，
∴反比例函数y＝的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意，
∵ab＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．①以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M；②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P；③连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为（ ）
A．14 B． C．16 D．
【分析】利用基本作图得到∠DEG＝∠CEG，再根据正方形的性质得到AD∥BC，AD＝CD＝AB＝16，则可计算出AE＝4，DE＝12，CE＝20，再证明∠CEG＝∠G得到CG＝CE＝20，接着证明△DEH∽△CGH，利用相似比计算出DH＝6，然后利用勾股定理计算EH的长．
【解答】解：由作法得EG平分∠DEC，
∴∠DEG＝∠CEG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝CD＝AB＝16，
∵AE：AD＝1：4，
∴AE＝4，DE＝12，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝20，
∵DE∥CG，
∴∠DEG＝∠G，
∴∠CEG＝∠G，
∴CG＝CE＝20，
∵DE∥CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴＝＝＝，
∴＝，即＝，
∴DH＝DC＝×16＝6，
在Rt△DEH中，EH＝＝＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若关于x的方程x2﹣ax+2＝0有一个根是﹣1，则a＝ ﹣3 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣ax+2＝0得1+a+2＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax+2＝0得1+a+2＝0，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．（4分）若关于x的一元二次方程（x+3）2＝c有实数根，则c的值可以为 5（答案不唯一，只要c≥0即可） （写出一个即可）．
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．
【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，
∵Δ＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，
解上式得c≥0．
故答案为：5（答案不唯一，只要c≥0即可）．
【点评】本题主要考查根的判别式，关键在于求出c的取值范围．
13．（4分）如果两个相似三角形的周长比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是 1：2 ．
【分析】已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：，
∴它们的相似比为1：，
∴它们的面积比为1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是 45 cm2．
【分析】由图可得底面三角形的三边都为3，正三棱柱的高为5，侧面积等于三个矩形的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．
【解答】解：3×5×3＝45（cm2）．
故这个几何体的侧面积是45cm2．
故答案为：45．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体以及几何体的表面积，几何体的侧面积等于三个矩形的面积．
15．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且EO＝3，则菱形ABCD的周长为 24 ．
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝6．
∴C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD＝6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．
16．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么CE：EA＝ 5：7 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵BD：DF＝2：5，
∴＝，
∴CE：EA＝5：7，
故答案为：5：7．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
17．（4分）如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y＝（k1＜0）的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y＝（k2＞0）的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB∥y轴，BD＝2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为 ﹣4 ．
【分析】设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，根据矩形的性质得出S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，由反比例函数比例系数k的几何意义得出S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，那么OB＝2EC，由此可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），根据AC∥x轴，得出＝﹣，即k1＝﹣2k2②，把②代入①，求出k2＝4，再求出k1＝﹣8，进而得出结论．
【解答】解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，
则S矩形ABFC＝2S△ABC＝12，
∴S矩形ABOE+S矩形EOFC＝|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝12 ①．
∵AC∥BF，
∴＝＝，
∴OB＝2EC，
∴可设C（x，），则A（﹣2x，﹣），
∵AC∥x轴，
∴＝﹣，
∴k1＝﹣2k2②，
把②代入①，得2k2+k2＝12，
∴k2＝4，
∴k1＝﹣8，
∴k1+k2＝﹣8+4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了矩形的性质以及平行线分线段成比例定理．
三、解答题。（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：x2﹣7x+11＝0．
【分析】利用公式法求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣7，c＝11，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×1×11＝5＞0，
则x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．（6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A'B'C'∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A'B'C'在第三象限；
（2）点B'的坐标为 ﹣2，1 ．
【分析】（1）利用位似图形的性质进而得出△A′B′C′各顶点的位置，进而得出答案；
（2）利用所画图形，得出点B′的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可知，点B′的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：﹣2，1．
【点评】此题主要考查了作图﹣位似变换，得出对应点位置是解题关键．
20．（6分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有 6 个月的月生产数量不超过60万支．
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝，
∵点（1，180）在该函数图象上，
∴180＝，得k＝180，
∴y＝，
当x＝4时，y＝＝45，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
，
解得2≤x≤7
∵x为正整数，
∴x＝2，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
四、解答题。（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）中华文化，源远流长，在古典文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》（分别记作A、B、C、D）是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大名著”．我校为了了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部？”的问题在全校学生中进行了抽样调查．根据调查结果绘制成如所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 40 名学生；扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 126 度．
（2）若没有读过四大名著的两名学生准备从四大名著中各自随机选择一部来阅读，请你用列表法或列树状图法求他们选中同一种名著的概率．
【分析】（1）由阅读2部的人数及其所占百分比可得总人数，求出1部对应的人数，再用360°乘以其人数所占比例即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中选中同一种名著的有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查被调查的学生为：10÷25%＝40（名），
阅读“1部”的学生为：40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14（名），
∴扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：×360°＝126°，
故答案为：40，126；
（2）将《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中选中同一种名著的有4种，
∴他们选中同一种名著的概率为：＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．掌握概率公式：概率P（A）＝是解题的关键．
22．（8分）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 550 个水杯，月销售利润是 8250 元；
（2）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；
（2）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个水杯的售价为50元．
【解答】解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），
（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．
故答案为：550；8250．
（2）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40．
当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；
当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．
又∵要尽量减少库存，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：每个水杯的售价为50元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作PE∥DC交BC于点E，作PF∥BC交CD于点F．
（1）证明：△BPE∽△PDF；
（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．
【分析】（1）由平行线的性质判断出∠BPE＝∠PDF，∠PBE＝∠DPF，即可得出结论；
（2）设正方形的边长为x，则PE＝PF＝CE＝CF＝x，进而得出BE＝8﹣x，DF＝6﹣x，再由△BPE∽△PDF，得出，即，解方程即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵PE∥DC，
∴∠BPE＝∠PDF，
∵PF∥BC，
∴∠PBE＝∠DPF，
∴△BPE∽△PDF；
（2）解：当四边形PECF是正方形，设此正方形的边长为x，则PE＝PF＝CE＝CF＝x，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BE＝8﹣x，DF＝6﹣x，
由（2）知，△BPE∽△PDF，
∴，
∴，
∴x＝，
即当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BPE∽△PDF是解本题的关键．
五、解答题。（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式和另一个交点B的坐标；
（2）当﹣x+3＜时，请直接写出x的取值范围；
（3）若点P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值．
【分析】（1）把A点代入一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例解析式，联立反比例解析式和一次函数解析式求出B点坐标即可；
（2）根据图象得出取值范围即可；
（3）作B点关于x轴的对称点B'，求出B'的坐标，连接AB'，则AB'即为PA+PB的最小值，利用两点坐标求出AB'的长度即可．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝﹣1+3，
∴a＝2，
即A（1，2），
把A点坐标代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝，
联立一次函数和反比例函数解析式得，
解得或，
∴B点的坐标为（2，1）；
（2）由（1）知A（1，2，），B（2，1），
根据图象可知，当﹣x+3＜时，0＜x＜1或x＞2，
∴当﹣x+3＜时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞2；
（3）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'，
则此时PB＝PB'，
∴当P点在AB'上时，PA+PB有最小值，最小值为AB'，
∵B点与点B'关于x轴的对称，
∴B'（2，﹣1），
∴AB'＝＝，
∴PA+PB的最小值为．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的知识，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
25．（10分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在x轴上是否存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，求出点H坐标．
【分析】（1）①利用三角形的外角性质证明∠FDE＝∠BEC即可得出平行；
②作辅助线EG⊥DF于点G，利用锐角三角函数即可求出DG的长，再用等腰三角形的性质求出DF的长；
（3）先求出点A和点E的坐标，然后设出点G和点H的坐标，根据对角线的情况及菱形的性质即可求出H的坐标．
【解答】解：（1）①∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD，
∵∠EDF+∠EFD＝2∠EDF＝∠FEC＝2∠BEC，
∴∠EDF＝∠BEC，
∴DF∥BE；
②作EG⊥DF于点G，则DG＝FG，
根据勾股定理得BE＝5，
∵cos∠GDE＝，
∴DG＝，
∴DF＝；
（2）由题意得A（2，0），
在△EDC和△EOA中，
，
∴△EDC≌△EOA（AAS），
∴AE＝CE，
设OE＝x，则AE＝，
由勾股定理得：，
解得x＝，
∴E（0，），
由题意知AC的解析式为y＝，
设G（x，），H（m，n），
若AE是菱形的对角线，
则，
又∵AG＝EG，
∴，
解得，
∴H（，0），
若AG是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝EG，
∴，
解得，
∴H（2，），
若AH是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝AG，
∴，
解得或，
∴H（，）或H（﹣，），
综上，H的坐标为（，0），（2，），（﹣，），（，）．
【点评】本题主要考查特殊四边形的综合应用，关键是要理解折叠变化前后的图形全等，对应边，角都相等，还要牢记矩形的内角都是90°的性质和菱形的四边相等的性质，特殊四边形求顶点坐标时，一般用对角线互相平分的性质．
相关试卷
广东省河源市东源县2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷： 这是一份广东省河源市东源县2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
广东省河源市东源县2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷： 这是一份广东省河源市东源县2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷，共9页。
广东省河源市东源县东华学校2021-2022学年七年级上学期数学期末测试卷： 这是一份广东省河源市东源县东华学校2021-2022学年七年级上学期数学期末测试卷，共4页。
