山西省阳泉市矿区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份山西省阳泉市矿区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省阳泉市矿区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．（3分）国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（　　）

A． B． C．2 D．1
5．（3分）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（　　）

A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
6．（3分）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（　　）

A．68° B．64° C．58° D．56°
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．若一次摸出1个，则取出的小球标号小于4的概率是（　　）
A． B． C． D．1
8．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
9．（3分）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．16π B．24π C．48π D．96π
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（　　）

A．4 B． C． D．6
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 　 　．
12．（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　 　．
13．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，直线EF与⊙O相切于点B，若∠C＝40°，则∠ABF＝　 　．

14．（3分）端午假期鼓浪屿商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价28.88元购买”冰墩墩”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买”冰墩墩”的概率为 　 　．

15．（3分）如图，⊙O的半径为2cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求△ABC三边的长．
17．（8分）已知抛物线y＝x2﹣bx﹣5与直线y＝kx+3交于A（4，﹣5），B两点．
（1）求k，b的值；
（2）若点（6，7）关于抛物线对称轴对称的点为点M，则点M是否在直线y＝kx+3上？
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．

19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
（1）求∠EOD的度数；
（2）若r＝2，求阴影部分的面积．

20．（9分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．

21．（9分）一个不透明的箱子里装有2个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.33左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法）
22．（11分）为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：
分组
时间x（时）
人数
A
0≤x＜0.5
5
B
0.5≤x＜1
16
C
1≤x＜1.5
a
D
1.5≤x＜2
b
E
2≤x＜2.5
4
（1）分别写出a、b的值并补全条形统计图；

（2）若该校有学生2000人，估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有多少人？
（3）学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少？
23．（13分）综合与探究
【问题再现】
（1）课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】
（2）在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计．
【拓展运用】
（3）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是 　 　．



2022-2023学年山西省阳泉市矿区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．（3分）国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用c＝1﹣b得到Δ＝（b﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵b+c＝1，
∴c＝1﹣b，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣c）＝b2+4（1﹣b）＝（b﹣2）2≥0，
∴方程有两个实数解．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断．
【解答】解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，在y轴的左侧，
A、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；
C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＞0，且交于y轴上同一点，故选项正确；
D、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＜0，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是本题的关键．
4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC＝BD，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（　　）

A． B． C．2 D．1
【分析】根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，BC＝BD，
∴，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC＝2，
∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
5．（3分）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（　　）

A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
【分析】根据两点确定一条直线，圆的认识，菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可．
【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；
B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆的认识，中心对称图形的概念，直线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识点，熟记相关的性质或定理即可．
6．（3分）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（　　）

A．68° B．64° C．58° D．56°
【分析】先根据切线的性质得∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形的内角和和圆周角定理即可得到∠APB的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∵∠ACB＝62°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，
∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．若一次摸出1个，则取出的小球标号小于4的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：袋中球的总数为：4，标号小于4的数有3个，
故取出的小球标号小于4的概率是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
8．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】如图，连接AC，EC．证明△ACE是等边三角形，利用等边三角形的性质求解．
【解答】解：如图，连接AC，EC．

∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝4，
∵AG＝GE＝2，
∴CG⊥AE，
∴CG＝＝＝6，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．16π B．24π C．48π D．96π
【分析】先求出弧AA′的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，
所以扇形的面积为×8π×12＝48π，
即圆锥的侧面积为48π，
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（　　）

A．4 B． C． D．6
【分析】设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理可得AC＝2AE，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，

∴AC＝2AE，
∵⊙M与x轴相切于点D，
∴∠MDO＝90°，
∵M（2，3），
∴ME＝2，MD＝3，
∴MA＝MD＝3，
在Rt△AEM中，AE＝＝＝，
∴AC＝2AE＝2，
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 　y1＞y2　．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵3＞2＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
12．（3分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，直线EF与⊙O相切于点B，若∠C＝40°，则∠ABF＝　40°　．

【分析】先根据切线的性质可得∠OBF＝90°，由∠C＝40°可得∠O＝80°，由此可以求出∠OBA的度数，根据角的和差可以求出∠ABF的度数．
【解答】解：∵直线EF与⊙O相切于点B，
∴∠OBF＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠O＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OBA＝＝50°，
∴∠ABF＝∠OBF﹣∠OBA＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识．熟练掌握直线与圆相切的性质，圆周角定理是解题的关键．
14．（3分）端午假期鼓浪屿商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价28.88元购买”冰墩墩”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买”冰墩墩”的概率为 　0.35　．

【分析】随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35，据此利用频率估计概率即可．
【解答】解：由题意知，随着摸球次数的增加，“摸到红球”的频率逐渐稳定于0.35，
所以推测李老师能以优惠价购买”冰墩墩”的概率为0.35，
故答案为：0.35．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．
15．（3分）如图，⊙O的半径为2cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 　　．

【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【解答】解：如图，连接BO，CO，OA．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝60°，OA＝OB＝OC，
∴△OBC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴△OBC的面积＝△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求△ABC三边的长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到∴x1＝k，x2＝k+1，AB、AC的长为k、k+1，讨论当AB＝BC时，即k＝5；当AC＝BC时，k+1＝5，解得k＝4，进而即可求得△ABC三边的长．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵由 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，得（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
∴x1＝k，x2＝k+1．
即AB、AC的长为k、k+1，
当AB＝BC时，即k＝5，满足三角形构成条件，则△ABC三边的长为5、5、6；
当AC＝BC时，k+1＝5，解得k＝4，满足三角形构成条件，则△ABC三边的长为5、5、4；
综上所述，△ABC三边的长为5、5、6或5、5、4．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
17．（8分）已知抛物线y＝x2﹣bx﹣5与直线y＝kx+3交于A（4，﹣5），B两点．
（1）求k，b的值；
（2）若点（6，7）关于抛物线对称轴对称的点为点M，则点M是否在直线y＝kx+3上？
【分析】（1）将点A（4，﹣5）分别代入抛物线y＝x2﹣bx﹣5与直线y＝kx+3，即可求得k，b的值；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特点可得点M坐标为（﹣2，7），计算当x＝﹣2时，y＝﹣2x+3的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx﹣5与直线y＝kx+3交于A（4，﹣5），B两点．
∴﹣5＝42﹣4b﹣5，﹣5＝4k+3，
解得：b＝4，k＝﹣2，
即k的值为﹣2，b的值为4；
（2）由（1）知：抛物线为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，直线为y＝﹣2x+3，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
若点（6，7）关于抛物线对称轴对称的点为点M，
则x2﹣4x﹣5＝7，解得x1＝6，x2＝﹣2，
∴点M坐标为（﹣2，7），
直线y＝﹣2x+3中，当x＝﹣2时，
y＝﹣2x+3＝7，
∴点M在直线y＝﹣2x+3上．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特点和一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．

【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．

∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
（1）求∠EOD的度数；
（2）若r＝2，求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据切线的性质得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，由三角形内角和定理求得∠C，再根据四边形的内角和求得结果；
（2）连接OB，OC，解直角三角形求得BD与BF，再证明四边形AEOF为正方形，得AE的长度，求得AB，BC，CD，CE，再将阴影部分面积转化为三角形与扇形的面积和差进行计算便可．
【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∵∠B＝60°，∠A＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠EOD＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠ODC＝150°；
（2）连接OB，OC，则∠OBD＝∠OBF＝，
∴BF＝BD＝，
∵∠A＝∠AFO＝∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF为矩形，
由切线长定理知，AE＝AF，
∴四边形AEOF为正方形，
∴AE＝AF＝OE＝OF＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2，
∵∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝4+4．
∴CD＝CE＝BC﹣BD＝2+4，

∴S阴影＝S△OCE+S△OCD﹣S扇形ODE＝＝4+8﹣．
【点评】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，矩形与正方形的判定，扇形的面积公式，第（2）关键是把阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的和差来计算．
20．（9分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．

【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；
（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用．
21．（9分）一个不透明的箱子里装有2个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.33左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法）
【分析】（1）设箱子里白色小球的个数为x个，根据发现摸到白色小球的频率稳定值即为其概率列出＝0.33，解之即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设箱子里白色小球的个数为x个，
则＝0.33，
解得x＝，
经检验：x＝是分式方程的解，
所以估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）列表得：

红1
红2
白
红1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，白）
红2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，白）
白
（白，红1）
（白，红2）
（白，白）
∵所有等可能情况一共有9种，其中颜色恰好不同有4种，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（11分）为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：
分组
时间x（时）
人数
A
0≤x＜0.5
5
B
0.5≤x＜1
16
C
1≤x＜1.5
a
D
1.5≤x＜2
b
E
2≤x＜2.5
4
（1）分别写出a、b的值并补全条形统计图；

（2）若该校有学生2000人，估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有多少人？
（3）学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少？
【分析】（1）由图可直接得出a的值，继而根据5个分组人数之和等于总人数可得b的值，最后补全图形即可；
（2）总人数乘以A、B、C组人数之和所占比例即可；
（3）结合题意画出树形图，可得共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，由此结合概率定义，便可以得到概率．
【解答】解：（1）由图形知a＝20，
则b＝50﹣（5+16+20+4）＝5，
补全图形如下：

（2）2000×＝1640（人），
答：估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有1640人；
（3）将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九1，画树形图如图所示：

共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况．
∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为＝．
【点评】本题考查频数分布直方图，随机事件，列表法或树状图法求随机事件的概率，理解不可能事件的意义，频数之和等于样本容量以及列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
23．（13分）综合与探究
【问题再现】
（1）课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】
（2）在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计．
【拓展运用】
（3）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是 　11.875　．


【分析】（1）用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率；用白色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在白色区域的概率；
（2）把圆分成8等份，然后把红色占3份，白色占三份，黄色占2份即可；
（3）根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购金额的平均数．
【解答】解：（1）根据几何概率的意义可得：
P（红色区域）＝＝，
P（白色区域）＝＝；
（2）如图②，

（3）50×+30×+20×＝11.875（元）；
故答案为：11.875．
【点评】本题考查了几何概率，正确记忆概率的含义是解题关键．