第二章 一元二次函数与不等式（综合检测培优卷）-【满分计划】高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

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第二章 一元二次函数与不等式                        本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，不等式为，对恒成立，所以满足条件当时，不等式为，解集为，不满足题意当时，对应的二次函数开口向上，的解集一定不是R，不满足题意当，时，若不等式的解集为R，则，解得：，综上，故选：B2．不等式的解集是，则的解集是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】：因为不等式的解集是，所以方程的两根为，所以由韦达定理得，，即，所以，解不等式得解集为故选：C3．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，，即 ，故问题转化为在上有解，设，则，，对于 ，当且仅当时取等号，则，故 ，故选：A4．若实数，，满足，以下选项中正确的有（       ）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】D【解析】实数，，，整理得，当且仅当时取，故选项A错误；(，当且仅当时取，故选项B错误；，， ，当且仅当时取，但已知,故不等式中的等号取不到，，故选项C错误；，，，当且仅当时取，故选项D正确，故选：D5．设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论的序号为（       ）A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③【答案】B【解析】【分析】因为，故，故①正确；不妨取 ，满足，但，故②错误；由，可得，故③错误；由于，则，而，故，即，故④正确，故选：B6．已知，，，则下列结论正确的是（       ）A．的最大值为9 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】D【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故A错误；对于B，，当时（此时）取得最小值，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选：D.7．已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式可化为（*）．当时，（*）式即．即．又（当时取等号）（当时取等号）．所以，当时，（*）式为，．又（当时取等号），（当时取等号），所以．综上，．故选：B．8．已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】：显然当时，，不满足条件；当时，易知，当时，，于是，而由，可得，即，所以也不满足条件，当时，函数，因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方，如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方，只要即可，即，化简可得，解得，所以的取值范围为. 综上，的取值范围为.故选：C.  二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知方程及分别各有两个整数根，及，，且，则下列结论一定正确的是（       ）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【解析】解：对于A：由知，与同号．若，则，这时，所以，此时与矛盾，所以，．同理可证，故A正确；对于B：根据题意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正确，D正确；对于C：由A知，，，，是整数，所以，．由韦达定理有，所以，故C正确；故选：ACD．10．已知关于x的不等式的解集为则（       ）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为【答案】BC【解析】因为关于x的不等式的解集为所以，是方程，所以A错误，，则，对于B，由，得，因为，所以，所以不等式的解集为，所以B正确，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，不等式可化为，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，所以D错误，故选：BC11．下列说法正确的是（       ）A．不等式的解集为B．若实数a，b，c满足，则C．若，则函数的最小值为2D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是【答案】AB对A，由解得或，所以A正确；对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确；对C，由于，所以当且仅当，即时取等号，显然不成立，所以C错误；对D，①当时，不等式为，恒成立；②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误.故选：AB．12．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由题设，的解集为，∴，则，∴，，则A、D正确；原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，∴由图知：，，故B错误，C正确.故选：ACD. 三  填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数满足，则的最小值为__________.【答案】4【解析】，设，则，，，，等号在，即，或时成立.所以的最小值为4.故答案为：414．已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．【答案】【解析】：因为正实数，，满足，则，因为，，，所以，当且仅当时取等号，令，，则原式，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，故答案为：.15．若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．【答案】##【解析】解：令，则，故，对任意，，则恒成立，∴∴，此时，∴，当时取等号，此时成立，∴的最大值为．故答案为：．16．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．【答案】【解析】由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即，解得；③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即，解得；由①②③可知，实数a的取值范围是.故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 （10分）已知二次函数（为实数）(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．【答案】(1)(2)1(3)【解析】（1）依题意知，，且方程的两根为1，2由根与系数间的关系得，则．故不等式解得：，即原不等式的解集为．（2）因为时，恒成立，故得，那，即，所以（当且仅当时等号成立）（3）令，则，所以．对任意，恒成立，所以恒成立．所以且所以，此时，因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）验证，成立故ab的最大值为． 18 （12分）求实数的范围，使关于的方程(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；(2)有两个实根，且满足；(3)至少有一个正根.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)设．依题意有，即，得．(2)设．依题意有，解得．(3)．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得，即②有一个正根，一个负根，此时可得，得．③有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得． 19 （12分）已知关于的一元二次函数(1)若的解集为或，求实数、的值．(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．【答案】(1)(2)详见解析(1)的解集为或，与是一元二次方程的两个实数根，，解得．(2)，关于的不等式化为：，因式分解为：，当时，化为，则；当时，，解得，不等式的解集为；时，，解得不等式的解集为；时，，不等式化为：，解得或，不等式的解集为或． 20（12分）已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)当时，求函数在区间上的最大值；(3)求在上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)(3)答案见解析(1)当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数 的对称轴为，①当，即时，函数在上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当，即时，a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为． ④当，即时，函数在上是减函数，故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为 21（12分）某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元（）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）(1)将y表示为x的函数；(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)，.(2)月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元.【解析】(1)由题意知当时，，代入则，解得，.利润，又因为，所以，.(2)由（1）知，因为时，，因为，当且仅当时等号成立.所以，故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元. 22（12分）已知是二次函数，的解集是，且在区间上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)解：因为是二次函数，不等式的解集是，所以，又在区间上的最大值是12，所以，解得，所以；(2)由（1）知不等式为，即，因为，即为，当时，，所以或，当时，则；当时，，所以或，综上：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集是.