第4章 指数函数与对数函数（综合检测基础卷）-【满分计划】高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

第四章  指数与对数函数

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．下列函数中值域为的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】值域为，值域为R，值域为，值域为R，故只有满足.故选：C

2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】：∵函数的定义域为

∴，∴函数中，

∴所以函数的定义域为[]．故选：D

3．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】：根据指数函数性质知，解得．故选：C．

4．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了（       ）．（附：）

A．20％ B．40％ C．60％ D．80％

【来源】四川省凉山彝族自治州2021-2022学年高二下学期期末数学（理）试题

【答案】C

【解析】当时，，

当时，，

则，所以C大约增加了，

即C大约增加了60％故选：C

5．若函数则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【来源】广东省云浮市2021-2022学年高二下学期期末数学试题

【答案】C

【解析】因为，所以.故选：C.

6．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（       ）

A．5 B． C．3 D．

【来源】江西省上饶市重点中学协作体2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试题

【答案】B

【解析】由得：，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以 ，故可解得： 故选：B

7．已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【来源】福建省宁德市2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题

【答案】A

【解析】因为，，，

所以，故选：A.

8．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【来源】河南省商丘市名校2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题

【答案】D

【解析】函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.

当在，上各有一个实数解时，设，则解得；

当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.综上可知，实数a的取值范围为.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．函数的定义域为 B．函数的值域为

C．函数在上为增函数 D．函数有两个零点

【来源】重庆市九龙坡区2021-2022学年高二下学期期末数学试题

【答案】AD

【解析】做出函数简图如下

对于A选项：根据函数解析式可知，A选项显然正确

对于B选项：结合图像易知，当时，，故B选项错误

对于C选项：由图像易知，C选项显然错误

对于D选项：因为，，所以D选项正确.故选：AD

10．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．为奇函数 B．为减函数

C．有且只有一个零点 D．的值域为

【来源】湖南省益阳市安化县2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题

【答案】AC

【解析】：函数，，

，为奇函数．故A正确．

．

在上单调递增，所以在上为增函数．故B错误．

令，则，得到，所以有且只有一个零点．故C正确．

在上为增函数，

令，则，所以，所以，即，解得，．故D错误．故选：AC．

11．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（       ）

A．函数的图象过定点

B．化简的结果为25

C．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是

D．幂函数的图象经过点，则

【来源】吉林省长春市实验中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考试数学试题

【答案】BD

【解析】A选项，，所以A选项错误.

B选项，，

，

所以，B选项正确.

C选项，在上递减，所以，C选项错误.

D选项， ，D选项正确.故选：BD

12．设函数则（       ）

A．当时，的值域为

B．当的单调递增区间为时，

C．当时，函数有2个零点

D．当时，关于x的方程有2个实数解

【答案】AB

【解析】当时，当时，，当时，单调递增，故，综上：的值域为，A正确；

的单调递增区间是和，因为的单调递增区间是，

所以，即，B正确；

当时，由，得，当时，令，得，此方程要有唯一解，得，即，C错误；

当时，令，即，解得：或，符合要求，令，解得：，符合要求，所以的图象与直线有3个交点，D错误.故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.

【答案】【解析】根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是.故答案为：.

14．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.

【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高二下学期期末文科数学试题

【答案】1

【解析】因为函数是定义在上的奇函数，

所以，因为，所以，

所以，所以的周期为4，因为当时，，所以

，故答案为：1

15．已知函数.

①对于任意实数，为偶函数；

②对于任意实数，在上单调递减，在上单调递增；

③存在实数，使得有3个零点；

④存在实数，使得关于的不等式的解集为.

所有正确命题的序号为___________.

【来源】第09练 函数的应用-2023年高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

【答案】①②④

【解析】，为偶函数，①正确；

当时，在上单调递增，再根据偶函数可得在上单调递减，②正确；令，则，结合图像可知：与至多有两个交点，则至多有两个零点，③不正确；

当时，，根据②可知在上单调递减，在上单调递增，且

∴不等式的解集为，④正确；故答案为：①②④．

16．定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________．

【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题

【答案】

【解析】因为当，时，，

所以，因为，

当，时，即时，所以，即，

当，，即，时，，

当，，即，时，，

所以，依此类推，作出函数的图象，如图所示：

由图象知：，,当时，，

当时,

因为对任意，，都有，则，解得：，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，函数．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．

【答案】(1)(2)

【解析】（1）解：当时，不等式，即，所以，解得，故不等式的解集为；

（2）解：由，可得，解得，，若，则，检验定义域，符合题意；若是原方程的解，则，；若是原方程的解，则，即．因为方程的解集恰有一个元素，所以实数的取值范围为．

18（12分）已知．

(1)当时，求函数的定义域及不等式的解集；

(2)若函数只有一个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)(2)

【解析】（1）解：当时，，∴的定义域为，∴，即，∴函数的定义域为，不等式等价于，∴，即，∴不等式的解集为；

（2）解：，∵函数只有一个零点，∴只有一解，将代入，得，∴关于x的方程只有一个正根，当时，，符合题意；当时，若有两个相等的实数根，则，解得，此时，符合题意；若方程有两个相异实数根，则，即，∴两根之和与积均为，∴方程两根只能异号，∴，即此时方程只有一个正根，符合题意．综上，实数a的取值范围是：．

19（12分） 已知定义在上的函数是偶函数．

(1)求a的值；

(2)判断函数在上的单调性并证明；

(3)解不等式：．

【来源】辽宁省辽阳市第一高级中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题

【答案】(1)1；(2)单调递减，理由见解析；(3).

【解析】(1)依题意，函数，因是R上的偶函数，即，，

因此，，，

而当时，，于是得，

所以a的值是1.

(2)由（1）知，，函数在上单调递减，

，，，

因，则，，，因此，，即，所以函数在上单调递减.

(3)依题意，，

而，，

由（2）知，，解得，所以原不等式的解集是.

20．（12分）已知 ，其中为常数

(1)当 时，求的值；

(2)当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；

【答案】(1)(2)

【解析】(1)得

⇒ ⇒；

(2)

，令，

，设 ，则

在上为增函数⇒时，有最小值为2，.

21．（12分）已知且，函数，

(1)求的单调区间和值域；

(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；

(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为，(2)(3)

【解析】(1)

则，为偶函数

设，则函数等价为

若，当时，单调递增，且，此时函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．

若，当时，单调递减，且，此时函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．

综上当时，函数单调递增

函数是偶函数，当时，函数单调递减．

故函数的递增区间为，递减区间为．函数的值域为]．

(2)且，

的对称轴为，

函数在时，函数单调递减．

，．即，

若对于任意，总存在，使得成立，

即且，

则，即，

此时，且，，即的取值范围是；

(3)若对于任意，任意，都有恒成立

即则，

，解得且即的取值范围

22（12分）已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)求不等式的解集；

(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.

【来源】河南省商开大联考2021-2022学年高二下学期期末数学（理）试题

【答案】(1)(2)(3)

【解析】(1)因为是定义在上的奇函数，所以，

即，即，

因为，所以，所以（经检验，符合题意）

(2)由（1）得，

因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，

又，所以，

所以，即，

所以，所以不等式的解集是.

(3)因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，

所以恒成立，所以，

因为，

所以当，即时，取得最小值.

所以，即实数k的取值范围是