人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课后练习题

专题5.4  三角函数图像与性质

1.正弦函数的性质.

(1).定义域: .

(2).值域:   . 

(3).周期性: 周期函数，周期是,最小正周期为.

(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.

(5).单调性:增区间： 

减区间：

(6).对称性: 对称轴：，   对称中心：

2.余弦函数的性质.

(1).定义域:  .

(2).值域:  

(3).周期性: 周期函数，周期是，最小正周期为.

(4).奇偶性: 偶函数，其图象关于轴对称.

(5).单调性: 减区间：

增区间：

(6).对称性: 对称轴：，   对称中心：

3.正切函数的图象与性质.

(1).定义域:  .

(2).值域:  

(3).周期性: 周期函数，周期是，最小正周期为.

(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.

(5).单调性: 增函数，为增区间.

(6).对称性: 对称中心：

4.正弦型函数的性质.

(1).定义域:  .

(2).值域:  

(3).周期性: 周期函数，周期是.

(4).奇偶性: 当时为奇函数；当时为偶函数.

(5).单调性: 当时：令，求解增区间.

                        令，求解减区间.

 当时：注意单调区间的转化.

(6).对称性: 对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.

            对称中心：令，求解对称中心坐标.

5.余弦型函数的性质.

(1).定义域:  .

(2).值域:  

(3).周期性: 周期函数，周期是.

(4).奇偶性: 当时为偶函数；当时为奇函数.

(5).单调性: 当时：令，求解减区间.

                        令，求解增区间.

 当时：注意单调区间的转化.

(6).对称性: 对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.

            对称中心：令，求解对称中心坐标.

一、单选题

1．已知函数，则（       ）

A．的最小正周期为，对称中心为

B．的最小正周期为，对称中心为

C．的最小正周期为，对称中心为

D．的最小正周期为，对称中心为

【来源】陕西省榆林市第十中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题

【答案】D

【解析】因为函数，

所以的最小正周期为，对称中心为，故选：D

2．用“五点法”作函数在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

令，得.∴该点坐标为.故选A

3．若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】江西省新余市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题

【答案】A

【解析】：函数的单调区间为，

由，

得．

函数 在区间内没有最值，

函数 在区间内单调，，

解得由，得．

当时，得，

当时，得，又，故，

综上得的取值范围是故选A

4．已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【来源】山东省济宁市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】B

【解析】：依题意，即，又，所以，解得，

又，所以，所以，

要使函数在内单调递减，所以，解得，

即；故选：B

5．已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】5.4 三角函数的图像与性质

【答案】A

【解析】因为是上的奇函数，则，

所以，，

因为的图象关于直线对称，则，可得，

当时，，

因为函数在区间内是单调函数，则，解得，

所以，，，故，因此，.故选：A.

6．函数的值域为（       ）

A． B．

C． D．

【来源】安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题

【答案】A

【解析】设,因为，所以，

因为正切函数在上为单调递增函数，且,

所以．

∴函数的值域为，

故选：A．

7．已知且，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【来源】陕西省渭南市韩城市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】B

【解析】：因为在上单调递增，

当时，则即，解得，所以，

当时，则即，解得，所以，当时，此时无意义，故舍去，

综上可得.故选：B

8．已知函数在上单调递增，则的值可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时，，则，解得，

当时，，结合选项可知，只有B选项符合.故选：B.

9．函数的一个单调递减区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解得，，

时，；时，；时，，

是的一个单调递减区间．

故选：B．

10．已知函数在上有且只有4个零点，则取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【来源】辽宁省沈阳市第三十一中学、丹东二中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

【答案】B

【解析】由题意，，，∴，解得．故选：B．

11．函数的定义域是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】河南省濮阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】B

【解析】令，则，故选：B.

12．函数的单调减区间是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】A

【解析】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.

令，

所以.故选：A.

13．已知函数为偶函数，则的取值可以为（       ）

A． B． C． D．0

【来源】浙江省金华第一中学2021-2022学年高一（2-4班）下学期开学检测数学试题

【答案】A

【解析】因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.故选：A

14．记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）

A．1 B． C． D．3

【来源】辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】D

【解析】：函数的最小正周期为，

则，由，得，，

的图像关于点中心对称，，

且，则，．

，，取，可得．

，则．故选：D．

15．已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】北京市中国人民大学附属中学 2021-2022学年高一下学期期末数学模拟练习试题

【答案】B

【解析】因为函数的最大值为4，最小值为0，

所以，解得，

因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，

所以，所以，

所以，得，所以，

因为直线是该函数图象的一条对称轴，

所以，得，因为，所以，

所以，故选：B

二、多选题

16．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．在定义域内是增函数 B．是奇函数

C．的最小正周期是 D．图像的对称中心是

【来源】辽宁省大连市第八中学2021-2022学年高一下学期4月阶段性测试数学试题

【答案】BD

【解析】A错误，∵的定义域是，其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性；

B正确，，易知其是奇函数；

C错误，函数的最小正周期为；

D正确，令，解得，所以图像的对称中心是.

故选：BD.

17．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（       ）

A．为奇函数

B．若的一个零点为，且，则

C．在区间的零点个数为3个

D．若大于1的零点从小到大依次为，则

【来源】江西省上饶中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题

【答案】ABD

【解析】因为，

所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，

，

所以当，时，，

当，时，，

当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；

如图：

当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；

由图可知，大于1的零点，，，所以，

而，故推出，故D正确.

故选：ABD.

18．已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】陕西省榆林市第十中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

【答案】AD

【解析】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为，得.

则由得，即得.

由，且存在单调减区间，则可得，

∴.

由得，因，可得或，

当时，，

由，得，

则函数的单调减区间为，

令，由，得函数在上单调递减，

所以满足题意；

当时，，

由，得，

则函数的单调减区间为，

令，由，得函数在上单调递减，

所以满足题意；

综上可得：或满足题意.故选：AD.

19．设函数，若在上有且仅有3条对称轴，则（       ）

A．在上有且仅有2个最大值点

B．在上有且仅有2个零点

C．的取值范围是

D．在上单调递增

【来源】江西省上饶市六校2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题

【答案】ACD

【解析】∵，，

∴，∴，

令，∴，

画出图象进行分析：

对于A选项：由图象可知：在上有且仅有，对应的这2个最大值点，故A选项正确；

对于B选项：当，即时，在有且仅有2个零点；

当，即时，在有且仅有3个零点，故B选项不正确；

对于C选项：∵在有且仅有3条对称轴，

∴，∴，

∴的取值范围是，故C选项正确；

对于D选项：∵，，∴，∴，

由C选项可知，，∴，

即在上单调递增，故D选项正确.

故选：ACD.

20．已知函数，则下列命题正确的是（       ）

A．若在上有10个零点，则

B．若在上有11条对称轴，则

C．若＝在上有12个解，则

D．若在上单调递减，则

【来源】云南省保山市2021-2022学年高一下学期期末质量监测数学试题

【答案】ACD

【解析】

【分析】：因为，所以，

对于A，因为在上有10个零点，

所以，解得，故A正确；

对于B，若在上有11条对称轴，

所以，解得，故B错误；

对于C，若＝在上有12个解，又，

所以，解得，故C正确；

对于D，因为，所以，

若在上单调递减，

则，解得，

又因，所以，故D正确.

故选：ACD.

21．函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（       ）

A． B． C． D．

【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题

【答案】AC

【解析】由可得：.

因为，所以.

因为，所以.

因为对于任意的，方程仅有一个实数根，

所以，解得：.

对照四个选项，只有A、C在.故选：AC

22．已知函数，则下列关于的判断正确的是（          ）

A．在区间上单调递增 B．最小正周期是

C．图象关于直线成轴对称 D．图象关于点成中心对称

【来源】黑龙江省哈尔滨市第一六二中学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【答案】ABD

【解析】对于选项A，时，，此时为增函数；对于选项B，的最小正周期为；

对于选项C，因为，，所以图象不是关于直线成轴对称；对于选项D，令，，得，令得，所以图象关于点成中心对称.故选：ABD.

三、解答题

23．已知

(1)函数（）在区间上恰有三条对称轴，求的取值范围．

(2)函数，

①当时，求函数(x)的零点；

②当，恒有，求实数的取值范围．

【来源】宁夏银川唐徕回民中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

【答案】(1)

(2)①或；②

【解析】(1)解：当时，，

由函数（）在区间上恰有三条对称轴，

所以，

解得；

(2)解：①当时，令得，

因为，所以，

即，

因为，所以，

因为，所以或；

②令，则，

函数，对称轴，

当即，，得，

所以，

当即，令，得，

所以，

当即，令，得，

所以，

综上：为实数的取值范围为．

24．已知函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．

(1)求函数的单调区间和对称中心．

(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析(2)

【解析】(1)函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．

周期，即，那么，可得．

，

令，，解得，，

可得函数的单调递增区间，，

令，，解得，，

∴可得函数的单调递减区间，

令，解得，可得对称中心为；

(2)

方程在上有实数解，即在上有实数解，

令，上，，

则在上有解，，

易得在上单调递增，且时，，所以，

所以范围为.

25．已知函数.

(1)请用五点法做出一个周期内的图像；

(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.

【来源】北京市石景山区2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】(1)答案见解析

(2)

【解析】（1）列表

（2）的取值范围是.

26．已知函数，）函数关于对称.

(1)求的解析式；

(2)用五点法在下列直角坐标系中画出在上的图象；

(3)写出的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量的取值集合．

【答案】(1),(2)详见解析

(3)单调递增区间是，，最小值为，取得最小值的的集合.

【解析】(1)因为函数关于直线对称，所以，

，因为，所以，

所以

(2)首先根据“五点法”，列表如下：

(3)令，

解得：，，

所以函数的单调递增区间是，，

最小值为 令，得，

函数取得最小值的的集合.

27．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的所有零点之和.

【来源】陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】(1)(2)

【解析】（1）解：由，解得.函数的单调递增区间为.

（2）解：由，得，则或.或又，或或.即函数在区间上的所有零点为，，，故零点之和为.