数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换课后复习题

专题5.5  三角恒等变换

（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；

T(α＋β)：tan(α＋β)＝；

T(α－β)：tan(α－β)＝.

2．变形公式：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；

.

sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，

cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，

3．辅助角公式：

函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式

1.S2α：sin 2α＝2sinαcosα；

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

T2α：tan 2α＝.

2.变形公式：

（1）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，sin αcos α＝sin 2α.

（2）升幂公式

1＋cos α＝2cos2；

1－cos α＝2sin2；

1＋sin α＝；

1－sin α＝.

（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2

1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2

（4）sin 2α＝＝；

cos 2α＝＝.

tan ＝＝.

（三）常见变换规律

 (1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．

(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．

一、单选题

1．等于（       ）

A． B．1 C．0 D．

【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】C

【解析】由两角和的余弦公式得：

故选：C

2．已知，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题

【答案】D

【解析】：因为，所以，

所以，又，

所以.

故选：D

3．已知均为锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题

【答案】A

【解析】：因为，

所有，则，

又均为锐角，所以，所以，

所以，

所以.故选：A.

4．已知，，则的值为（       ）

A．2 B． C． D．

【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】B

【解析】，解得，

所以.

故选：B

5．已知，则（       ）

A． B． C．± D．±

【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B卷）

【答案】D

【解析】，则，即，

故，所以，故，所以

故选：D

6．下面公式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】D

【解析】

对A，，故A错误；

对B，，故B错误；

对C，，故C错误；

对D，，故D正确；故选：D

7．已知，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】B

【解析】：因为，，

所以

.故选：B

8．设，，，则a，b，c大小关系正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题

【答案】C

【解析】，

，

，

因为函数在上是增函数，

故，即.故选：C.

9．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A）

【答案】B

【解析】：因为，所以

故选：B

10．若，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题

【答案】D

【解析】：因为，

所以.故选：D.

11．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题

【答案】B

【解析】：因为，

即，

即

即，即，所以，

所以

.故选：B

12．已知，是第三象限角，则=（       ）

A． B． C． D．

【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题

【答案】A

【解析】由，，可得

由是第三象限角，可得

则

故选：A

13．若，，且，，则的值是（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【解析】，又∵，∴.

又∵，∴，

于是

，易得，则.

故选：B.

14．（       ）

A． B． C． D．

【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题

【答案】D

【解析】原式

.故选：D.

15．若，则角的值为（       ）

A． B． C． D．

【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

【答案】A

【解析】∵，

，

由，，得，，

若，

则

，

与矛盾，故舍去，

若，

则

，

又，

.

故选：A.

16．若，且，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题

【答案】A

【解析】由，得．

因为，所以，

所以，所以

所以．

故选：A

17．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】D

【解析】：因为，所以，

即，即，所以，

又，

即，

因为，所以，

所以，即，

所以，所以，

所以

；

故选：D

18．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

【答案】C

【解析】，因为

所以，，

因为，，

所以，，

则．故选：C

19．已知，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】A

【解析】由得：

，

所以，，

所以，.

故选：A.

20．已知，且，则（       ）

A． B． C． D．

【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】C

【解析】因为，所以．

又，

所以，

故选：C.

二、多选题

21．对于函数，下列结论正确的是（       ）

A．的最小正周期为 B．的最小值为

C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增

【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题

【答案】AB

【解析】，

，A正确；

最小值是，B正确；

，C错误；

时，，时，得最小值，因此函数不单调，D错误，故选：AB．

22．下列各式中，值为的是（       ）

A． B．

C． D．

【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

【答案】ABC

【解析】A：，符合；

B：，符合；

C：，符合；

D：，不符合.

故选：ABC

23．已知函数，则下列结论正确的有（       ）

A．的最小正周期为

B．直线是图象的一条对称轴

C．在上单调递增

D．若在区间上的最大值为，则

【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

【答案】BD

【解析】：，

所以的最小正周期为故A不正确；

因为，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；

当时，，而函数在上不单调，故不正确；

当时，，

因为在区间上的最大值为，即，

所以，所以，解得，故D正确.

故选：BD.

24．已知函数的周期为，当时，的（       ）

A．最小值为 B．最大值为 C．零点为 D．增区间为

【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题

【答案】BCD

【解析】

，

因为的周期为，所以，得，

所以，

当时，，所以，所以，所以 的最小值为，最大值为2，所以A错误，B正确，

由，，得，解得，所以的零点为，所以C正确，

由，得，所以的增区间为，所以D正确，

故选：BCD

25．关于函数，下列命题正确的是（       ）

A．若，满足，则成立；

B．在区间上单调递增；

C．函数的图象关于点成中心对称；

D．将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．

【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

【答案】ACD

【解析】，

对于A，若，满足，则成立，故A正确；

对于B，由，得：，即在区间上单调递增，故B错误；

对于C，因为，所以函数的图象关于点成中心对称，故C正确；

对于D，将函数的图象向左平移个单位后得到，其图象与的图象重合，故D正确．

故选：ACD

三、解答题

26．求下列各式的值

(1)

(2)

(3)

(4)

【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

【答案】(1)0；(2)；(3)；(4).

【解析】(1).

(2).

(3).

(4).

27．已知，其中.

(1)求；

(2)若，求的值.

【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A组）

【答案】(1)  (2)

【解析】(1)由可得，因为，故，进而

(2)，故；

28．已知角为锐角，，且满足，

(1)证明：；

(2)求.

【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】

(1)证明：因为，

所以，

因为为锐角且函数在上单调递增，所以

(2)由，结合角为锐角，解得，，

因为，且

所以.

又，

所以

29．已知，为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求角．

【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题

【答案】(1)(2)

【解析】(1)因为，所以，又

所以

所以

(2)因为，为锐角，所以，则，

因为，所以．

又为锐角，，所以，

故

，

因为为锐角，所以．

30．已知

(1)求的值；

(2)若都是锐角，，求的值.

【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题

【答案】(1)(2)

【解析】(1)解：，

.

(2)因为都是锐角,所以，，，

31．已知是方程的两根，求下列各式的值：

(1)

(2)；

(3).

【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题

【答案】(1)(2)(3)

【解析】（1）由题意可知：

（2）

（3）