高中人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题

专题5.6  函数的图像和性质

1 性质

(1) 简谐运动可用函数，表示，

是振幅，周期，频率 ，相位，初相.

(2) 对的影响

影响函数的最值，影响周期，影响函数水平位置.

1．对函数的图象的影响

（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向右（当φ<0时）或向左（当φ>0时）平行移动个单位长度而得到的.

2．对函数的图象的影响

函数（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或缩短（当ω>1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.

3．对函数的图象的影响

函数（其中A>0）的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的.

2 函数的变换

(1) 平移变换

① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)；

②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减).

PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是.

(2) 伸缩变换

①

将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短).

②

将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)；

问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？

解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是.

图像平移变换

将函数的图象变换得到函数（其中）的图象的过程为:

（1）作出函数在长度为2π的某闭区间上的简图;

（2）将图象沿x轴向左或向右平移个单位长度，得到函数的简图；

（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的倍，得到函数的简图;

（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到函数的简图;

（5）沿x轴扩展得到函数，的简图.

由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：

（1）先平移后伸缩：

（2）先伸缩后平移：

一、单选题

1．已知函数，则函数的图象可以由的图象（       ）

A．向左平移得到 B．向右平移得到

C．向左平移得到 D．向右平移得到

2．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数表达式为（       ）

A． B．

C． D．

3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

4．为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（       ）

A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位

D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（       ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

6．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论不正确的是（       ）

A． B．的图象关于点对称

C．的图象关于对称 D．在上的最大值是1

7．关于函数有如下四个命题：

甲：该函数在上单调递减；

乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；

丙：该函数图象的一条对称轴方程为

丁：该函数图象的一个对称中心为．

如果只有一个假命题．则该命题是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．若将函数的图像先向左平移个单位长度，然后再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图像，则（       ）

A． B．

C． D．

9．将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（       ）

A． B． C． D．

10．已知函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，则在上的值域为（       ）

A． B． C． D．

11．已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（　　）

A．直线是图象的一条对称轴

B．的图象可由 向左平移个单位而得到

C．的最小正周期为

D．在区间上单调递增

12．函数的部分图像如图所示，若，，且，则（       ）

A．1 B． C． D．

13．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（       ）

A．函数的图象关于点对称

B．

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在区间上单调递增

14．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

15．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）

A．1 B． C． D．3

16．已知函数的部分图象如下图所示，先将的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（       ）

A． B．

C． D．

17．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（       ）

A． B． C．3 D．4

18．函数在区间上单调且，则的范围是（       ）

A． B． C． D．

19．将函数向右平移个单位长度得到函数，若函数在上的值域为，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

20．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

21．函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（       ）

A．函数解析式为

B．函数的单调增区间为

C．函数的图象关于点对称

D．为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度

22．设函数，则（       ）

A．为奇函数

B．的图象关于直线对称

C．当时，的最小值为

D．将的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象

23．已知的图象关于点对称，相邻两条对称轴的距离为，则下列说法正确的是（       ）

A．，

B．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称

C．函数在上的单调递减区间为

D．为了得到的图象，可以将函数的图象向右平移个单位

24．函数，部分图象如图所示，下列说法不正确的是（       ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

25．将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象，若函数是奇函数，则的可能取值为（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

26．已知函数的部分图象如图所示，则___________．

27．已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合．则的值为________.

28．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t的最小值为________．

29．设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．

四、解答题

30．已知函数的部分图象如图．

(1)求f（x）的表达式；

(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

31．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有两个不等的实数根，且，

①求的取值范围；

②求.

32．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．

33．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式：

(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数m的取值范围．

34．已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．

35．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若为偶函数，求t的值；

(3)若，，的值域为，求实数a，b的值．