2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学试题（五）及答案

这是一份2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学试题（五）及答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线C：的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
5．设为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量，，两两之间的夹角均相等，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，则．某次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1000人参加考试，其中甲校成绩，乙校成绩，则（ ）
A．甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校
B．乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校
C．甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比相同
D．甲校成绩在85~95分与乙校成绩在90~100分的人数占比相同
10．如图，椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且AB⊥BF，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义域为的函数，的最小正周期均为，且，，则（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数的最大值是
12．已知数列满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知函数，若，则______．
14．某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为______．
15．已知点，，点为圆上一点，则的最小值为______．
四、双空题
16．棱长分别为的长方体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______，体积为______．
五、解答题
17．已知数列满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)记为的前n项和，证明：当时，．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
19．设的内角的对边分别为，且．
(1)若，求；
(2)证明：当时，是等边三角形．
20．甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为，且相互独立．甲选手依次对所有n个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．
(1)当时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；
(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．
21．抛物线C：的焦点为F，过x轴上一点（其点在F右侧）的直线l交C于A，B两点，且C在A，B两点处的切线交于点P．
(1)若l：，，求C的方程；
(2)证明：．
22．已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．
①当时，；②当时，．
注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．
参考答案：
1．B
【分析】根据集合的定义，结合集合中的元素以及集合的交运算，直接求解即可.
【详解】因为，，则.
故选：B.
2．D
【分析】结合复数的四则运算即可求得答案.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
3．A
【分析】根据焦距得到，根据点到直线的距离公式得到，得到渐近线方程.
【详解】双曲线C的焦距为4，故，，
一个焦点为，一条渐近线为，即，
焦点到渐近线的距离为，故，故，
故渐近线方程为：
故选：A
4．D
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】解：对于A：若，，，则与平行，相交或异面，故A错误；
对于B：若，，，则与平行，相交或异面，故B错误；
对于C：若，，，则与平行，相交或异面，故C错误；
对于D：若，，则或，又，则，故D正确；
故选：D．
5．C
【分析】根据诱导公式及二倍角的正弦公式化简，再由函数的性质可得解.
【详解】，
，且为锐角
，且，
故选：C
6．B
【分析】根据题意确定向量两两间夹角为，利用条件求出， 再求的平方即可得解.
【详解】因为平面向量，，两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，
所以两两之间的夹角均为，
，
且，
则解得，
所以，故.
故选：B
7．A
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的距离为，，根据等体积法解决即可.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为1，
所以,
设平面的法向量为，
所以，令，得，
所以，
所以平面的距离为
又因为,
所以,
所以三棱锥的体积为，
故选：A
8．D
【分析】等价变形后a与b的大小关系等价于比较1与，构造函数，利用单调性可得，得出，由条件大小比较可转化为与大小比较，构造函数，利用单调性即可比较.
【详解】，比较a与b的大小关系等价于比较1与的大小关系，
设，则，当时，，单调递减，
所以，即；
由可知，，即比较与的大小关系等价于比较
与的大小关系，设，
则，当时，，单调递增，所以，
即，综上，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据所给式子，观察，进行等价变形为比较1与的大小关系，构造函数，利用函数单调性比较，对于先放缩为，转化为比较与的大小，再等价变形为与，构造函数，利用单调性比较即可，属于难题.
9．AB
【分析】根据所给正态分布及，逐项分析比较即可得解.
【详解】当时，，当时，，
由标准正态分布可知，故A正确；
当时，，当时，，
所以，故B正确；
由于甲乙学校成绩在90~95分的转化为标准正态分布对应概率分别为，，由正态分布对称性知，，甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比不同，故C错误；
由于甲校方差大于乙校，所以在均值附近左右两侧取相同宽度的取值区间时，转化为标准正态分布，甲校对应概率小于乙校对应概率，故D错误.
故选：AB
10．ABD
【分析】由已知解得a、c的关系式，再依次代入各项计算判断其是否正确；
【详解】
由题意知，，，，则，，
∵ ，
∴，即：， ①
又∵ ，②
∴由①②得：，即：，
又∵ ，
∴，故D项正确；
∴，
∴，
∴，故A项正确；
∴，故B项正确；
∴，故C项错误；
故选：ABD.
11．BC
【分析】根据函数的周期性以及已知条件，求得的解析式；再结合特殊角的三角函数值，诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和最值，即可判断和选择.
【详解】因为，的最小正周期均为，，
则，即，又，
故可得：，，
则；
综上所述，；
对A：，故A错误；
对B：，，
显然，故B正确；
对C：，又为偶函数，
故函数是偶函数，C正确；
对D：，
又的最大值为，故D错误.
故选：BC.
12．BCD
【分析】由已知可得，则，结合可推导得，由此确定，可知数列单调递减，得到，知A错误；采用分析法可知，若B正确，则只需证明，采用数学归纳法可证得结论，知B正确；结合B中结论可知若C正确，只需证明，采用数学归纳法可证得结论，知C正确；结合B中结论可知若D正确，只需证得，构造函数，，利用导数可求得单调递减，由此可得，进而得到，知D正确.
【详解】恒成立，，又，，
，
对于A，，，，……，以此类推，，
而，，
，数列为递减数列，则，
即，，A错误；
对于B，若，则，只需；
当时，，满足；
假设当时，成立，
那么当时，
，
即当时，成立；
综上所述：成立，，B正确；
对于C，，，
由B得：，；
则若，只需，
当时，，不等式成立；
假设当时，成立，
那么当时，
，
即当时，成立；
综上所述：成立；
，C正确；
对于D，由B知：，
若，只需，
则只需，即，
令，，
，在上单调递减，
，即，
又，，则，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，解题关键是能够证得，进而通过数列的放缩对选项中的不等式进行转化；通过数学归纳法或构造函数的方式对转化后的不等式进行证明.
13．##
【分析】根据即可得解.
【详解】，
故答案为：.
14．
【分析】设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，根据贝叶斯公式直接求解.
【详解】设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，由贝叶斯公式可得:
故答案为：.
15．
【分析】设，利用两点间距离公式可表示出，令，可化简得到；利用导数可求得在上的最小值，对比可得最终结果.
【详解】圆的方程可整理为：，
则可设，，
，；
令，
，，，则，
，令，
当时，；
当时，；
令，则；
当时，，， 即，
在上单调递增，
令，即，解得：，
当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，；
，在上的最小值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查圆上的点到两定点的距离之差的最值问题的求解，解题基本思路是将所求距离之差表示为关于某一变量的函数的形式，通过导数判断出函数的单调性后，通过求解函数最值得到所求距离之差的最值.
16．
【分析】长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，利用体对角线公式求得半径，结合球的表面积和体积公式，即得解.
【详解】由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心即为体对角线交点，
半径为体对角线的一半，即球的半径，
则球的表面积为，球的体积为
故答案为：；
17．(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】(1)将递推公式整理变形可得，利用等差数列的定义即可证明；
(2)结合（1）的结论得出，然后利用分组求和的方法求出，进而得到证明.
【详解】（1）因为数列满足，
所以，也即，
所以，
故数列是等差数列.
（2）由（1）可知：当时，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，故，则，
所以
，因为，所以，
所以得证.
18．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，连接，先证明平面，再由线线垂直证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，取中点，连接，
则,
因为平面平面，且平面平面，平面
所以平面,
因为平面，所以 ,
又因为F为CD的中点，所以，
又，平面PGB，
所以平面，平面，
所以，
，为的中点，
所以，又，平面，平面，
所以平面.
（2）不妨设正方形的边长为2，以点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，为轴建立空间坐标系，
则,
，
设平面与平面的法向量分别为，夹角为，
则
不妨设,所以，
，
所以.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由以及，得到、，再根据余弦定理可求出结果；
（2）由及，由正弦定理转化，将代入，
利用诱导公式和三角恒等变换公式转化计算得，从而结论成立.
【详解】（1）因为及
所以,.
由余弦定理可知.
所以.
（2）由，
又由正弦定理可得，
由可知，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
因为，所以不成立，
故，即得
所以是等边三角形.
20．(1),；
(2)当时，乙更可能获胜；当时，甲更可能获胜.
【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；
（2）设为甲累计获得的星数，为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论及的，得出结论.
【详解】（1）当时，甲击中3个目标的概率为，
乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，
其概率为.
（2）设为甲累计获得的星数，则，设为乙累计获得的星数，
则，设击中了m个目标，其中，
则甲获得星数为m的概率为，
所以甲累计获得星数为;
记，
所以，
所以,
乙获得星数为的概率为，
当时，，
所以乙累计获得星数为，
记，则，
所以，
，
当时，，当时，，
当时，，当时，
所以当时，乙更可能获胜；当时，甲更可能获胜.
21．(1)；
(2)见解析.
【分析】(1)联立与抛物线的方程可得,，求出过A，B两点处的切线方程，联立两切线方程解得，再由，求出即得抛物线的方程；
(2)利用导数求出两条件切线分别与轴交于点，，则有以=，，从而得，，再分和分别证明即可.
【详解】（1）解：由，可得或，
设,，
当时，，
所以，
所以曲线在处切线斜率=，
所以过的切线方程为：，
当时，，
所以，
所以曲线在处切线斜率=，
所以过的切线方程为：，
由，解得，
即，
又因为，
所以，
解得，
所以C的方程为；
（2）证明：
设，其中，
因为当时，，
所以，
所以曲线在处切线斜率=，
所以过的切线方程为：，
即，
所以,
当时，解得，
即直线与轴交于点，
所以，
设抛物线的准线为，
由抛物线的几何性质可得点A到点F的距离等于到直线l的距离，
所以=，
所以，
同理可得直线与轴交于点，
，
所以，
当时，则三点重合，其坐标为，
所以，，
所以；
当时，不妨设，
则M在N的左侧，P在第二象限，
则，，，，
所以；
综上所述：.
22．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）对函数进行求导，由是函数的极值点，则，即可得，然后将带入原函数进行分析说明即可；
（2）选择①因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，找出等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结合已知的条件即可得；
选择②因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，找出等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结合已知的条件即可得；
【详解】（1）因为，所以，
若是函数的极值点，则，，即，
此时，
设，则，，
所以存在，使得当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，是的极值点.
（2）选择①：
因为分别为的零点和极值点，所以，
，所以.
当时，，则，即
因为，所以当，即时，成立，
当时，若，则只需证明，
设，则
设，
则为增函数，且
所以存在唯一，使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故，所以，单调递增，
所以，则，等价于.
设，则，
当时，若时，，，单调递减，
所以当，所以当时，成立，
设，则，
当时，，单调递增所以当时，，
即成立，
综上，若，分别是的零点和极值点，当时，.
选择②：
因为分别为的零点和极值点，所以，
，所以.
当时，，则，即
若，即则只需证明，
设，则，
当时，，单调递减，所以.
若，设，则，单调递增，
所以，所以，，
所以只需证明.
设，则，
当时，，当时，即时，，
设，
则，
因为当时，函数单调递增，
所以当时，，
，单调递减，此时也有，
所以当时，单调递减，，即当时，，
综上，综上，若，分别是的零点和极值点，当时，.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.