专题10 焦半径公式的应用 微点2 焦半径公式的应用综合训练

这是一份专题10 焦半径公式的应用 微点2 焦半径公式的应用综合训练，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

微点2 焦半径公式的应用综合训练
一、单选题
1．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于
A．2B．C．D．
2．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
3．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．已知点P是双曲线上的动点，，是左、右焦点，O是坐标原点，若的最大值为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
6．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为
A．B．C．1D．
二、多选题
（2022·福建·闽侯县第一中学高二阶段练习）
7．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线C的离心率等于焦半径的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
（2021·湖北·武汉市新洲区城关高级中学高二开学考试）
8．下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为（ ）
A．设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹是双曲线
B．双曲线与椭圆有相同的焦距
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．已知抛物线，以一焦半径为直径作圆，则此圆与y轴相切
三、填空题
9．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为________.
10．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是__．
11．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_______．
12．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于､两点，直线与交于､两点，则的最小值为________.
13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=____________________．
14．双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______．
四、解答题：
15．设,是双曲线－= 1的左、右两个焦点，为左准线，离心率，是左支上一点，P到的距离为，且，| PF|，| PF|成等差数列，求此双曲线方程．
16．已知双曲线－= 1的左、右焦点分别为F、F，左准线为．能否在双曲线的左支上找到一点P，使| PF|是P到的距离与| PF|的等比中项？若能，试求出P点坐标；若不能，请说明理由．
17．在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．
18．椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程．
19．已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．
20．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
21．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共
线，且，求的取值范围.
22．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．
23．平面直角坐标系中，已知F为椭圆的右焦点，且，过F作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A、B与C、D，以F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；
（2）求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．
【详解】抛物线转化成标准方程：，
焦点坐标，准线方程为，
设过的直线方程为，
，整理得．
设，，，
由韦达定理可知：，，
，
，
根据抛物线性质可知，，，
，
的值为，

故选：C．
【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
2．D
【分析】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果.
【详解】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故选：D
3．B
【分析】根据得，，再换元利用函数的单调性求解.
【详解】解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
4．B
【分析】根据双曲线的定义，将用点的横坐标表示出来，利用函数的单调性求出的最大值，进而利用离心率的定义，即可求解.
【详解】不妨设为右支上的一点，其中，可得，，
又由，
则，所以时，取得最大值，
所以，可得，故选B.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
5．A
【分析】由两条直线垂直，以及取得最小值时，有与，与关于轴对称，可得直线的斜率为1，进而可求出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．
【详解】因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，
所以直线的方程为：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：．
6．D
【分析】当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1）．分别利用弦长公式求出|AB|、|CD|的长度，由此能推导出=为定值．
【详解】由椭圆，得椭圆的右焦点为F（1，0），
当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，
则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
则=；
当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣（x﹣1）．
又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程组，
消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
∴，
∴|AB|===，
由题知，直线CD的斜率为﹣，
同理可得|CD|=．
∴=为定值．
故选D．
【点睛】本题考查定值的证明，考查弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，难度较大．
7．CD
【分析】根据双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，直线和双曲线的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】双曲线焦点在轴上，且，渐近线为，
对于A选项，双曲线的离心率为，
焦半径为(其中为曲线上一点的横坐标)，所以A选项错误.
对于B选项，双曲线的渐近线为，
与曲线的渐近线不相同，故B选项错误.
对于C选项，双曲线的一条渐近线方程为，右焦点坐标为，
所以焦点到渐近线的距离为，故C选项正确.
对于D选项，直线，当时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个；当且直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个，所以它们的公共点个数可能为，故D选项正确.
故选：CD
8．BCD
【分析】以椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质出发依次判断各选项即可得出结果.
【详解】对于A.当且时，动点的轨迹是双曲线，A错误；
对于B，双曲线的焦点为，椭圆其焦点为，故两曲线有相同的焦距，B正确；
对于C,方程的两根分别为和2可为椭圆和双曲线的离心率，C正确；
对于D，如图，，中点,所以以一焦半径为直径作圆，则此圆与y轴相切，D正确.
故选:BCD.
9．
【分析】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，根据不等关系列出含的不等式，转化为离心率的不等式，即可求解出椭圆C的离心率的最小值．
【详解】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，可得，化简得，即，且，解得，所以椭圆C的离心率的最小值为．
【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，在解题时构造有关的不等式，转化为离心率的不等式是关键．
10．
【分析】由椭圆方程求出准线方程，设的坐标为，根据焦半径公式表示出、，再根据函数的性质计算可得；
【详解】解：设的坐标为，椭圆中，，，
，所以椭圆的准线方程为，即，
作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连接，
根据圆锥曲线的统一定义，得，
，同理可得，
，
点在椭圆上，得，，
由此可得，得，
即，当时，
当时，所以，所以
所以，．
故答案为：
11．
【分析】由题意可设：，：，联立抛物线方程，若，，，可得、，结合抛物线的定义写出、，根据垂直关系即可求.
【详解】由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，将它们联立抛物线方程，
∴，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，
，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，
∵，有，
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据直线、抛物线的位置关系，应用韦达定理并结合抛物线定义求相交弦的弦长.
12．36
【解析】设直线的方程为，联立方程组，分别求得和，结合基本不等式，即可求得的最小值，得到答案.
【详解】由题，抛物线的焦点，准线方程为，
设直线的方程为，，
联立方程组，则，
设，，可得，
由抛物线的定义可得，
由，可将上式中的换为，可得，
则，
当且仅当，上式取得等号，
则的最小值为36.
故答案为：36.
【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：
1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；
2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点到焦点的距离：或.
13．
【详解】设，则 ,
又所以,
则
【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系，当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题，属于难题
14．
【分析】设出点P坐标（x，y），由PF1⊥PF2得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值．
【详解】设点P（x，y），∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，
∴=-1，
∴x2+y2=25 ①，
又，
∴，
∴y2=，
∴|y|=，
∴P到x轴的距离是．
【点睛】本题考查双曲线的方程、性质的应用．结合题意，建立两个等式，解方程，即可得出答案．
15．
【分析】利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数即可.
【详解】由双曲线的第二定义可知,
又因为，
，
由已知得，即，
得，
所以双曲线方程为.
16．符合条件的P点不存在,理由见解析．
【分析】设P(x，y)，P到的距离为d，利用题目条件结合双曲线第二定义，表示出，d，再由| PF|= d·| PF|，求出，即可得出结论.
【详解】由a = 5，c =13，知 =，=．
设P(x，y)，P到的距离为d，则，
，.
令| PF|= d·| PF|，即(－5－x)= (－－x)(5－x)，
解得：x=－或x=－．①
另一方面，因为P在左支上，所以x≤－5．②
①与②矛盾．故符合条件的P点不存在．
17．
【分析】先求出椭圆的准线方程为，利用椭圆的定义表示出的关系，求出点P的横坐标，再代入标准方程，求出纵坐标.
【详解】设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
因为椭圆的准线方程为， 所以，
因为，所以，所以.
把代入方程，解得：
因此，P点的坐标为．
18．
【分析】由题意得，又由离心率公式得到a、c的关系，
解出a、c.由 算出b，写出椭圆方程即可.
【详解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴，
又，，
∴椭圆的方程为．
19．.
【分析】由椭圆的定义，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】由题可知，，
因为，
∴时，有最大值，或时，有最小值，
即的取值范围为.
20．（1）；（2）证明见解析，公差为或．
【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．
（2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法
设，则.
两式相减，并由得，
由题设知，于是.①
由题设得，故.
［方法二］：【通性通法】常规设线
设，，当时，显然不满足题意；
由得，，所以，，
，即，而，所以，
又，所以，
，即，解得： ．
［方法三］：直线与椭圆系的应用
对原椭圆作关于对称的椭圆为．
两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．
又点在椭圆C内部可得，解得：．
所以．
［方法四］：直线参数方程的应用
设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．
（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想
由题意得，设，则
.
由（1）及题设得.
又点P在C上，所以，从而，.
于是.
同理，所以.
故，即，，成等差数列.
设该数列的公差为d，则
.②
将代入①得.
所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.
所以该数列的公差为或.
［方法二］：硬算
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．
由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．
由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，
，所以，而，故．
即该数列的公差为或.
［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用
因为线段的中点为，得．
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，
由椭圆方程可知，
由椭圆的焦半径公式得，．所以．
由方法二硬算可得，或，从而公差为，即该数列的公差为或.
【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；
方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可证出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法．
方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；
方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；
（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；
方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）利用椭圆的几何性质确定内切圆面积最大时点P的位置，再借助面积关系列式求解作答.
（2）按斜率存在与否讨论，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式求出的函数关系，再求其范围作答.
【详解】（1）由椭圆的几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，的面积最大，点P在椭圆的上或下顶点，
令椭圆半焦距为c，，内切圆面积最大时半径为r，由得，
而的周长为定值，因此有，即，
又，即，，解得，，，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，由得，则过垂直于x轴的椭圆的弦长为6，
依题意，，当直线与中有一条直线垂直于轴时，，
当直线斜率存在且不为0时，设的方程为：，由消去并整理得：
，设，则，
，
直线BD的斜率为，同理得，
则，
令，则，于是得，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
22．(1)； ；
(2)8 ．
【分析】（1）根据已知条件解方程以及圆的性质和抛物线的定义求解.
（2）利用直线方程与圆锥曲线方程联立，韦达定理进行处理.
【详解】（1）由已知可得，
则所求椭圆方程．
由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，
则动圆圆心轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时的长即为椭圆长轴长，，
从而．
设直线的斜率为，则，直线的方程为：，
直线的方程为，设，，，，，，
，，由，消去可得，
由抛物线定义可知：，
由，消去得，
从而，所以，
令，因为，则，则，因为.
所以.所以四边形面积的最小值为8．
23．（1），其中，；（2）．
【解析】（1）由右焦点为极点，轴正半轴为极轴得椭圆的极坐标方程，设点的极角为，可表示出；
（2）由（1）可计算出表示为的函数，然后求得其范围．
【详解】由已知，
（1）设，，，
以右焦点F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为，即，其中．
设，则
所以，
，即，
（2）由（1）得
，
因为，所以且，解得．
记，，
，当时，，是增函数，
所以．即．
【点睛】结论点睛：椭圆与双曲线的极坐标方程：以左焦点为极点，从左焦点指向右焦点的方程为极径方向，它们的极坐标方程为，其中表示焦点到相应准线的距离，为离心率．
如果极点改为右焦点，极径方向不变，则极坐标方程为．利用极坐标方程易求得曲线上的点到极点（焦点）的距离．