湖北省孝感市孝南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份湖北省孝感市孝南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片，它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是（　　）
A．“抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件
B．“抽出的图形是六边形”属于随机事件
C．抽出的图形为四边形的概率是
D．抽出的图形为轴对称图形的概率是
2．如果，AB是⊙O的弦，半径为OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．2
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+4）2＝19
4．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（　　）

A．π B．π C． D．
5．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．如图，在⊙O中，AB是弦，∠E＝30°，半径为4，OE＝6．则AB的长（　　）

A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为（　　）

A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．无法判断
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为　 　．

11．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
12．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是 　 　．
13．若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为　 　．
14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　．

15．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝（x+m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 　 　．
16．如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为cm，则图中的阴影部分的面积是　 　cm2（用π表示）．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．（8分）解下列方程
（1）x2+x﹣1＝0
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
18．（4分）如图，已知点A，B的坐标分别为（0，0），（4，0），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）点C′的坐标　 　．

19．（8分）已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

20．（8分）如图，正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．
（1）连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？并以图为例说明理由．

21．（10分）在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
22．（12分）为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，施工距离全长为300米．经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：（1）甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1＝27.8﹣0.09x，（2）乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2＝15.8﹣0.05x．
（注：工程款＝施工单价×施工长度）
（1）如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款多少万元？
（2）考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程．因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）．
①如果设甲公司施工a米（0＜a＜300），那么乙公司施工　 　米，其施工单价y2＝　 　万元/米，试求市政府共支付工程款P（万元）与a（米）之间的函数关系式；
②如果市政府支付的工程款为2 900万元，那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工？
23．（8分）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．
（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？

24．（14分）如图，y关于x的二次函数y＝﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．


2022-2023学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片，它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是（　　）
A．“抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件
B．“抽出的图形是六边形”属于随机事件
C．抽出的图形为四边形的概率是
D．抽出的图形为轴对称图形的概率是
【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆，其中抽出的图形为四边形的概率利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆中四边形是平行四边形、矩形，
所以抽出的图形为四边形的概率是，
故选：C．
2．如果，AB是⊙O的弦，半径为OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．2
【分析】过点O作AB的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中根据三角函数进行计算，然后再由垂径定理得到AB的长．
【解答】解：如图：
过点O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC＝60°．
在直角△AOC中，sin60°＝，
∴AC＝AOsin60°＝2×＝．
AB＝2AC＝2．
故选：C．

3．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+4）2＝19
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
故选：C．
4．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（　　）

A．π B．π C． D．
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长．
【解答】解：设底面圆的半径为r，则：
2πr＝＝π．
∴r＝，
∴圆锥的底面周长为，
故选：B．
5．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据运算“☆”的定义将方程1☆x＝2转化为一般式，由根的判别式Δ＝9＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵1☆x＝2，
∴1•x2﹣1•x＝2，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
故选：D．
6．如图，在⊙O中，AB是弦，∠E＝30°，半径为4，OE＝6．则AB的长（　　）

A． B． C． D．
【分析】作OC⊥AB于点C，连接OB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得OC＝3，根据勾股定理可得BC的长，再根据垂径定理可得AB的长．
【解答】解：如图，作OC⊥AB于点C，连接OB，

∵∠E＝30°，OE＝6，
∴OC＝OC＝3，
∴BC＝＝，
∴AB＝2BC＝．
故选：C．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致．反之也可．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0、c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；
B、由一次函数的图象可知a＜0、c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；
C、由一次函数的图象可知a＜0、c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；
D、由一次函数的图象可知a＜0、c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾．
故选：B．
8．如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为（　　）

A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．无法判断
【分析】连接OF，延长FO交AD于点E，连接OD，由切线的性质证明FE⊥AD，设⊙O的半径为R，正方形的边长为x，则OF＝R，OE＝x﹣R，由勾股定理得出（x﹣R）2+（）2＝R2，解得R＝x．比较C1与C2的大小则可得出答案．
【解答】解：连接OF，延长FO交AD于点E，连接OD，

∵CB与⊙O相切，
∴OF⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠C＝90°，
∴FE⊥AD，
∴四边形EFCD为矩形，AE＝DE，
∴EF＝CD，
设⊙O的半径为R，正方形的边长为x，则OF＝R，
∴OE＝x﹣R，
在Rt△ODE中，OE2+ED2＝OD2，
即（x﹣R）2+（）2＝R2，
解得R＝x．
∴正方形ABCD的周长C1＝4x，⊙O的周长C2＝2πR＝2π•x＝x，
∵4＞，
∴C1＞C2，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣1，2）　．
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为　110°　．

【分析】根据圆周角定理求得∠BOC＝100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC＝70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵∠B＝30°，∠BOC＝∠B+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，
故答案为110°．
11．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　m≥1　．
【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
【解答】解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象x＜m时，是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，∵x＜m，
∴m≥1．
故答案为：m≥1．
12．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是 　y＝（x﹣2）2+1　．
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
13．若函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为　﹣1或0　．
【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑：当二次项系数为零时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出a＝﹣1符合题意；当二次项系数非零时，由根的判别式Δ＝0可求出a值．综上即可得出a的值．
【解答】解：当a+1＝0，即a＝﹣1时，原函数为一次函数y＝﹣2x+1，与x轴交于点（，0），
∴a＝﹣1符合题意；
当a+1≠0，即a≠﹣1时，∵二次函数y＝（a+1）x2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（a+1）＝0，
解得：a＝0．
综上所述：a的值为﹣1或0．
故答案为：﹣1或0．
14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　x＜﹣1或x＞3　．

【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x＝1可以确定另一交点坐标为（﹣1，0），又y＝ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当y＝ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
15．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝（x+m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 　1﹣或﹣+　．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论x＝﹣2，x＝1时y取最大值．
【解答】解：∵y＝（x+m）2+m2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣m，m2+1），对称轴为直线x＝﹣m，
∵＝﹣，
∴当﹣m＞﹣时，x＝﹣2时对应函数值最大，
将x＝﹣2代入y＝（x+m）2+m2+1得y＝（﹣2+m）2+m2+1＝4，
解得m＝1﹣或m＝1+（舍），
当﹣m＜﹣时，x＝1时对应的函数值最大，
将x＝1代入y＝（x+m）2+m2+1得y＝（1+m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣﹣（舍）或m＝﹣+．
故答案为：1﹣或﹣+．
16．如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为cm，则图中的阴影部分的面积是　π﹣2　cm2（用π表示）．

【分析】因为阴影部分的面积等于扇形AOB的面积减去三角形AOB的面积，所以只要求出两个的面积，就可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵正方形内接于圆O，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为cm，
∴正方形对角线的长为＝4，
∵OA是正方形对角线的一半，
∴AO＝×4＝2，S△OAB＝OB•OB＝2，S扇形OAB＝＝π，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAB﹣S△OAB＝（π﹣2）cm2．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．（8分）解下列方程
（1）x2+x﹣1＝0
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵a＝1、b＝1、c＝﹣1，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则x＝；

（2）∵（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1
18．（4分）如图，已知点A，B的坐标分别为（0，0），（4，0），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）点C′的坐标　（﹣2，5）　．

【分析】将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，也就是将点C，B的坐标分别绕点A按逆时针方向旋转90°，连接个点就是我们所求图形．
【解答】解：（1）将点C，B的坐标分别绕点A按逆时针方向旋转90°，得到对应点C′，B′，连接两点即可得到我们所要图形．
（2）结合图象可得到C′坐标为：（﹣2，5）

19．（8分）已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接DO，由△ABC是等边三角形，OA＝OD，可得△OAD是等边三角形，即得∠ADO＝60°，根据DF⊥BC，可得∠CDF＝30°，即得∠FDO＝90°，从而DF为⊙O的切线；
（2）由△OAD是等边三角形，得AD＝AO＝AB＝2，即有CD＝2，在Rt△CDF中，CF＝CD＝1，即得DF＝＝；
（3）连接OE，由△BOE是等边三角形，可得CE＝2，EF＝1，即得S直角梯形FDOE＝（EF+OD）•DF＝，S扇形OED＝＝π，从而求出S阴影＝S直角梯形FDOE﹣S扇形PED＝﹣π．
【解答】（1）证明：连接DO，如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°
∵DF⊥BC，
∴∠CDF＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠FDO＝180°﹣∠ADO﹣∠CDF＝90°，
∴DF⊥OD，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：∵△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AB＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
Rt△CDF中，∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝1，
∴DF＝＝；
（3）解：连接OE，
∵∠B＝60°，OB＝OE，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝AB＝2，
∴CE＝2，
∵CF＝l，
∴EF＝1．
∴S直角梯形FDOE＝（EF+OD）•DF＝，
∴S扇形OED＝＝π，
∴S阴影＝S直角梯形FDOE﹣S扇形PED＝﹣π．
20．（8分）如图，正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．
（1）连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？并以图为例说明理由．

【分析】（1）显然，当A，F，B在同一直线上时，DF≠BF．
（2）注意使用两个正方形的边和90°的角，可判断出△DAG≌△BAE，那么DG＝BE．
【解答】解：（1）不正确．
若在正方形GAEF绕点A顺时针旋转45°，这时点F落在线段AB或AB的延长线上．（或将正方形GAEF绕点A顺时针旋转，使得点F落在线段AB或AB的延长线上）．如图：
设AD＝a，AG＝b，
则DF＝＞a，
BF＝|AB﹣AF|＝|a﹣b|＜a，
∴DF＞BF，即此时DF≠BF；

（2）连接BE，可得△ADG≌△ABE，
则DG＝BE．如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵四边形GAEF是正方形，
∴AG＝AE，
又∵∠DAG+∠GAB＝90°，∠BAE+∠GAB＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG＝BE．


21．（10分）在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）设花园靠墙的一边长为x（m），另一边长为，用面积公式表示矩形面积；
（2）就是已知y＝200，解一元二次方程，但要注意检验结果是否符合题意；即结果应该是0＜x≤15．
（3）由于0＜x≤15，对称轴x＝20，即顶点不在范围内，y随x的增大而增大．∴x＝15时，y有最大值．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝x•，
即y＝﹣x2+20x（0＜x≤15）
（2）当y＝200时，即﹣x2+20x＝200，
解得x1＝x2＝20＞15，
∴花园面积不能达到200m2．
（3）∵y＝﹣x2+20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝20，
∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大．
∴x＝15时，y有最大值，
y最大值＝﹣×152+20×15＝187.5m2
即当x＝15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m2．
22．（12分）为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，施工距离全长为300米．经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：（1）甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1＝27.8﹣0.09x，（2）乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2＝15.8﹣0.05x．
（注：工程款＝施工单价×施工长度）
（1）如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款多少万元？
（2）考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程．因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）．
①如果设甲公司施工a米（0＜a＜300），那么乙公司施工　（300﹣a）　米，其施工单价y2＝　（0.05a+0.8）　万元/米，试求市政府共支付工程款P（万元）与a（米）之间的函数关系式；
②如果市政府支付的工程款为2 900万元，那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工？
【分析】（1）把x＝300代入y1表达式中计算求值；
（2）市政府支付的工程款＝甲公司所得工程款+乙公司所得工程款﹣节省工程款140，分别表示两个公司所得工程款后便可得P的表达式；
（3）解P＝2900时关于a的方程，求出a的值，计算300﹣a便得结论．
【解答】解：（1）由题意得：（27.8﹣0.09×300）×300＝240（万元）．
答：甲公司单独完成此项工程需工程款240万元；

（2）①（300﹣a），（0.05a+0.8）．
由题意，得P＝（27.8﹣0.09a）a+（0.05a+0.8）（300﹣a）﹣140
＝27.8a﹣0.09a2﹣0.05a2+14.2a+100
＝﹣0.14a2+42a+100；
②当P＝2 900时，﹣0.14a2+42a+100＝2 900，
整理，得：a2﹣300a+20 000＝0，
解得：a1＝100，a2＝200，
则300﹣a＝200或300﹣a＝100．
答：应将200米或100米长的施工距离安排给乙公司施工．
故答案为（300﹣a），（0.05a+0.8）．
23．（8分）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．
（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？

【分析】（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，根据旋转的时间可以求得旋转角∠COD，利用三角函数即可求得OD的长，从而求解；
（2）当旋转到E处时，作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA，在直角△OEH中，利用三角函数求得∠HOE的度数，则∠EOF的度数即可求得，则旋转的时间即可求得．
【解答】解：（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，DA即为小明离地的高度，
∵∠COD＝×4＝60°，
∴OD＝OC＝×20＝10，
∴DA＝20﹣10+1＝11（m）．
答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；

（2）∵当旋转到E处时，作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA．
当HA＝31时，OH＝31﹣1﹣20＝10，
∴OH＝OE，
∴∠HOE＝60°，
∴∠FOE＝120°．
∵每分钟旋转的角度为：＝15°，
∴由点E旋转到F所用的时间为：＝8（分钟）．
答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．

24．（14分）如图，y关于x的二次函数y＝﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．

【分析】（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；
（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；
（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣（x+m）（x﹣3m）＝0，解得x1＝﹣m，x2＝3m；
令x＝0，则y＝﹣（0+m）（0﹣3m）＝m．
故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．

（2）设直线ED的解析式为y＝kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：

解得，k＝，b＝m．
∴直线ED的解析式为y＝mx+m．
将y＝﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y＝﹣（x﹣m）2+m．
∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y＝mx+m得：m2＝m
∵m＞0，
∴m＝1．所以，当m＝1时，M点在直线DE上．
连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．
∵OD＝，OC＝1，
∴CD＝2，D点在圆上
又∵OE＝3，DE2＝OD2+OE2＝12，
EC2＝16，CD2＝4，
∴CD2+DE2＝EC2．
∴∠EDC＝90°
∴直线ED与⊙C相切．

（3）当0＜m＜3时，S△AED＝AE．•OD＝m（3﹣m）
S＝﹣m2+m．
当m＞3时，S△AED＝AE•OD＝m（m﹣3）．
即S＝m2_m．
S关于m的函数图象的示意图如右：