专题7 2022年高考“立体几何”专题命题分析

这是一份专题7 2022年高考“立体几何”专题命题分析，共51页。学案主要包含了解法分析，必研究的经典例题等内容，欢迎下载使用。
专题7 2022年高考“立体几何”专题命题分析
专题7  2022年高考“立体几何”专题命题分析
2022年高考数学立体几何部分试题的命制严格遵循《普通高中数学课程标准》，深化基础考查，突出主干知识．试题注重创新设计，加强教考衔接，发挥高考试题对高中数学教学改革的弓|导和促进作用．试题以几何情境、生活情境和我国重大建设成就的真实情境为载体，依托基本立体图形，将考生的必备知识、关键能力、核心素养等考查内容有机合，将综合性、探究性和创新性等思维品质贯穿始终．
一．考查的内容与方式
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系，是高中数学知识的重要组成部分，也是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体．
卷别
题型
题号
分值
考查内容
全国甲卷（文科）
选择题
4
5
三视图
9
5
线面角
10
5
圆锥侧面展开面积及体积
解答题
19
12
线面平行及柱、椎体体积
全国甲卷（理科）
选择题
4
5
三视图
7
5
线面角
9
5
圆锥侧面展开面积及体积
填空题
15
5
四点共面及与概率交汇
解答题
18
12
线面垂直及线面成角
全国乙卷（文科）
选择题
9
5
面面垂直
12
5
棱锥体积及球
解答题
18
12
面面垂直及棱锥体积
全国乙卷（理科）
选择题
7
5
面面垂直
9
5
棱锥体积及球
解答题
18
12
面面垂直及棱锥体积
新高考全国Ⅰ卷
选择题
4
5
棱台体积
8
5
棱锥体积及球
9
5
线面成角
解答题
19
12
点到面距离及二面角
新高考全国Ⅱ卷
选择题
7
5
棱台表面积
11
5
空间几何体体积
解答题
20
12
线面平行及二面角


1.整体分析：
2022年的高考数学试卷共有10份：全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、浙江卷、天津卷、上海卷．10份试卷涉及的立体几何试题，全面考查了空间中的平行、垂直关系的判断、推理和证明；同时空间角、距离、表面积和体积等基本量的计算仍是考查的重点．试题以考查立体几何的基础知识、基本方法、基本技能和基本活动经验为主线，结合生活实际，突出考查学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．在现有的10份数学试卷中，考查立体几何的试题共有26道题（文理科相同试题不累计），它们分布在试卷的第4题到第20题之间，其中16道选择题或填空题中2道涉及三视图，3道涉及空间角问题，3道涉及有关球的问题，5道涉及体积、表面积问题，2道涉及空间异面、平行、垂直关系的判定问题，还有1道与其他知识进行融合；10道解答题在设置上力求证明与求解并重，全方位考查学生的逻辑推理和数学运算等素养．
2.对比分析：与2021年相比，2022年高考全国乙卷、全国新高考Ⅱ卷立体几何试题在题量上仍保持“两小一大”，共计22分，全国甲卷文理科试卷和全国新高考Ⅰ卷立体几何在题量上由“两小一大”变为“三小一大”共计27分，全国新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷延续了2021年立体几何多选题的设置，全国甲、乙卷的小题在考查内容和表述方式上文、理科完全相同，全国乙卷文、理科对应的解答题背景及第（1）小题完全一致，第（2）小题则因文、理科的要求不同而出现不同的设问，但全国甲卷的立体几何解答题文理科却采取了完全不同的背景材料．整体来看全国甲卷、乙卷和全国新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷在立体几何知识的考查上基本保持稳定，题型搭配协调合理，其他各卷与全国卷情形一致．
二．课标要求与典例分析
（一）课标要求：
1. 立体几何
立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念.
内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系.
（1）基本立体图形
①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.
（2）基本图形位置关系
①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理.
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明.
◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
◆两个平面平行，若果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明.
◆若果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
2．空间向量与立体几何
本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具.
内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用.
（1）空间直角坐标系
①在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
②借助特殊长方体（所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标.
探索并得出空间两点间的距离公式.
（2）空间向量及其运算
①经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
②经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
（3）向量基本定理及坐标表示
①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
④了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）.
（4）空间向量的应用
①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.
③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.
④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.’
(二)典例分析
1．三视图，依据数量与位置关系、根据基本几何体结构特征还原出直观图
例1 （全国甲卷·文4/理4）如图1，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（       ）

A．8    B．12    C．16    D．20
【解法分析】能从三视图中发现几何体各元素之间的位置关系和数量关系，构建出空间直观图是本题的关键．由正视图为直角梯形，且上下边长之比为，侧视图为正方形，俯视图为两个相同的正方形，且边长均为2，可推断该几何体为平躺的直四棱柱，且上下底面为直角梯形，由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解．

【评析】基于近年高考数学立体几何试题分析来看，源于教材的问题很多，如2018全国Ⅰ卷理7文9题利用空间几何体的三视图考查表面最短路径问题，2018全国Ⅲ卷文理第3题通过展示中国古代建筑中的榫卯结构考查空间几何体的三视图问题，2021全国乙卷文理16题，通过空间几何体的结构特征的考查三视图画法，体现了数学应用的模型思想，2022年浙江卷第5题通过分析组合体的三视图解决几何体体积的问题，很多都可以在新旧教材中找到相似的例子．
在复习过程中，强调以下几点：（1）要明确三视图的形成原理，熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图；（2）注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，看到的部分用实线，遮挡的部分用虚线表示；（3）遇到由几何体的部分视图画出剩余的部分视图问题，可以先根据已知部分三视图，推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式，作为选择题，也可逐项代入检验；（4）特殊情况下可以运用转化化归思想把所求几何体放在长方体（或正方体）中思考．
两点注意：（1）三视图不管是所谓“拔高法”还是“去点法”等等技巧方法都不具有普适性，提高空间想象能力，增强直观想象素养才是根本；（2）三视图问题研究能很好的培养学生空间想象能力，从新教材中去除的原因只是因为初中已经学过，不再重复学习.
【类题】
1．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果取整数）

（2022年浙江卷5）
2．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A． B． C． D．
2．体积与表面积，基础扎实，灵活转化
例2（新高考Ⅱ卷·11）如图3，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F一ACE的体积分别为，，，则（       ）

A．    B．    C．    D．
【解法分析】关键在于如何正确、快速的求出的值．
（方法1）设M分别为边AC的中点，
令AB＝ED＝2FB＝2，得，由知．而，，，EF＝3，由，则，故．
或．
显然，，，本题答案选择C、D．

（方法2）如图4，取M、H、P分别为边AC、AE、CE的中点，得出点F、H、P到平面ABCD的距离相等，均为BF的长度，故，而，取AB＝2，易知，，，故，即，，本题答案选择C、D．

（方法3）对题目中的几何体补形为正方体，如图5所示，设正方体棱长为2，其体积为2×2×2＝8，
易知：，
故．
即，，本题答案选择C、D．

（方法4）如图6，连接体对角线DK，易证，，即平面ACE，垂足记为O，由，得平面ACE，三棱锥E－ACD与三棱锥F－ACE有公共底面ACE，即：，故．
可得，而，所以，本题答案选择C、D．

（方法5）如图7，由题意知，可建立空间直角坐标系D－xyz，取AB＝2，则，，，，则，，取平面ACE的法向量为，
取，可取x＝y＝z＝1，即，由此可得：点F到平面ACE的距离为，故．
即，，本题答案选择C、D．

【评析】求棱锥、棱柱及柱锥组合体的体积，一直是高考的一个热门考点．往往通过分割法、补体法、转化法等，也可以整体讨论，逆向思维分析．近年高考考查空间几何体体积、表面积的试题较多，但万变不离其宗，都是基本图形的变式．例如2007年重庆文、理科数学试卷第19题；2007年江西文、理科数学试卷第20题；2007年四川文、理科数学试卷第19题；2008年安徽理科数学第18题；2014年全国Ⅱ卷理科数学第18题；2015年广东卷文科数学第18题；2015年湖南卷理科数学第19题；2019年全国Ⅰ卷理科数学第19题；2019年全国Ⅱ卷理科数学第18题；2020年全国Ⅰ卷文科数学第19题；2020年全国Ⅱ卷文科数学第20题；2021年全国Ⅰ卷文科数学第18题，2021年全国Ⅱ卷文科数学第19题等等，复习中应注意以下几点：（1）利用转化思想，转化顶点位置化难为易；（2）不规则几何体体积的计算，采用分割法会事半功倍；（3）试着把要研究的几何体放在正方体、长方体、正棱柱、正棱锥等特殊几何体中，提高类比思维能力、逆向思维能力以及整体思维能力等．
如图5，设三棱柱的底面积（即的面积）为S，高（即点到平面ABC的距离）为h，则它的体积为Sh．沿平面和平面，将这个三棱柱分割为3个三棱锥．其中三棱锥1，2的底面积相等（），高也相等（点C到平面的距离），三棱锥2，3也有相等的底面积（）和相等的高（点到平面的距离）．因此，这3个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是．

试题分析：试题源自人教A版教材（2019年版）必修第二册第122页“探究与发现”——柱体、椎体的体积，如图5所示．方法3的思路与教材中运用的思路如出一辙．由此可见，教材中的一些几何模型是高考命题的“题根”．因此，把握教材中的细枝末节，便可探寻命题规律，实现大道至简，贯通达的目标．
3．有关球体问题，理清关系，建构函数模型
例3（新高考Ⅰ卷·8）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）

A．    B．    C．    D．
目标解析：本题涉及基本知识和基本方法包括正棱锥外接球模型与运用导数求函数的最值的方法及运用不等式求最值的方法．主要运用数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想，特殊与一般思想、极限思想等，对学生直观想象、逻辑推理、数学运算素养有针对性的推动作用．
解法分析：设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，确定正四棱锥体积的函数解析式，最终将问题转化为运用导数或不等式求解三次函数的最值问题．
简解（方法1）∵球的体积为，所以球的半径R＝3，
设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，
则，，所以，，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为，
又l＝3时，，时，，
所以正四棱锥的体积V的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．

（方法2）上同方法1，，，
所以正四棱锥的体积，
∵，∴，∴，
，令得h＝0或h＝4，
∴在上递增，在上递减.
又，，，所以该正四棱锥体积的取值范围是．

（方法3）还可以设正四棱锥的侧棱与高的夹角为，把体积表示为的函数，转化为含三角函数形式加以求解，过程略．
【评析】本题重视数学的综合性，考查学生空间想象能力和逻辑推理能力，对思维品质有较高要求，通过对正四棱锥的考查，契合了教材中对立体几何的学习要求，较好的体现了高考试题源于教材又高于教材的特点．在做题中，学生可能出现的典型错误是想当然认为当侧棱取端点值时得到体积最值，直接代入运算，刚好得到错误答案（B）．表现出学生思维深刻性不够，严谨的逻辑推理能力不足的情况．所以，在今后的教学中要与时俱进，拒绝套路机械刷题，在学习中要多思考、多总结，才能真正提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．
类题赏析：有关球的问题是高考中热点问题，往往是编制创新问题的常用情境，通常设置为中档题或难题，处于压轴的位置．如2017年全国Ⅰ卷理科16题，考查折叠问题；2020年全国Ⅰ卷文12理10，设问方式不同，考查球的表面积计算；2020年全国Ⅱ卷文11理10，也是求点到面的距离，但条件不同；2020年全国Ⅲ卷文16理15考查的是圆锥内切球问题；2021年全国甲卷理科第11题，设问方式不同，考查三棱锥的体积计算；2022年全国乙卷理9文12考查是四棱锥和球的综合问题等．
4．空间角问题，善于构建三角形来解决
例4（浙江卷·8）如图8，已知正三棱柱，，E，F分别是棱BC，上的点．记EF与所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，F－BC－A的平面角为，则（       ）

A．    B．    C.     D.
简解：作直线于G，连接EG（如图9），因为平面ABC，根据线面垂直的性质定理，得，因此，．
，，易知，因此得到．
作交于H，连接BH，CF，作于M，连接GM（如图10），得到．
因此，，由于，可得．综上，，故选A．

目标解析：本题同时考查了线线角、线面角、二面角的定义（基本知识、基本技能），考查学生运用转化与化归思想方法把空间角转化为平面角．对学生分析和解决问题的能力及直观想象素养有针对性的推动作用．
解法分析：主要是要利用定义把空间角转化为平面角，然后利用三角形边角关系比较角的大小．
【评析】此题属于中档题，借助学生熟悉的正三棱柱作为问题情境考查空间角的定义问题，对异面直线所成角、线面角、二面角的考查，既全面又突出重点，条件简单但立意深刻，重视四基考查．新旧教材中类似背景的题目都很多，如2004版人教A版选修2－1P9页练习1、P117页复习参考题A组第四题、2019版人教A版选择性必修—P8页练习1、P48页复习参考题第9题等均以正三棱柱或直三棱柱为情境考查空间角问题．学生可能出现的问题恰恰在于对空间角的定义掌握不牢，对空间角如何转化为平面角不熟练，空间想象能力不足，在把空间角转化为平面角的过程中出现错误．在复习备考中，要重视教材，注重空间角的定义教学，夯实基本概念、基本位置关系，做到对柱体、椎体等基本空间立体图形的结构图形了然于胸，加强学生的空间想象能力的培养，同时应该注重数学思想的提炼和升华，促进学生直观想象素养的提升．
高考数学试题中考查空间角的问题是比较多的，类似题型还有2017年全国Ⅱ卷理科第10题考查了异面直线所成角问题；2018年浙江卷第8题、2019年浙江卷第8题除了把椎体作为命题情境外，考察内容和形式和今年浙江卷第8题几乎完全一样；还有每年几乎每份试卷都在立体几何解答题中考查空间角的计算问题．由此看到今后高考还会重点知识重点考查，不回避基础和高频考点，试题也会更灵活开放．
【类题】
（2018浙江）
3．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A． B． C． D．
4．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
5．平行、垂直关系，在判定定理与性质定理之间熟练游走
例5（全国乙卷·文9/理7）在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（       ）
A．平面平面    B．平面平面
C．平面平面    D．平面平面
目标解析：本题以正方体为载体，重点考查平面与平面的两种特殊位置关系一一平行与垂直，要求学生熟悉面面平行和垂直的定义以及判定定理，能够利用转化思想将面面垂直问题转化为线面垂直．着力考查学生的画图、识图能力，分析问题、解决问题的能力，旨在推动学生直观想象、逻辑推理、数学运算素养的提升．
解法分析：利用转化思想，运用判定定理和性质定理将面面垂直、平行问题转化为线面或线线垂直、平行问题．
【解法一】对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则，又，，，且BD，平面，∴平面，则平面，
又平面，∴平面平面，选项A正确；
对于B，由选项A可知，平面平面，而平面平面，
故平面不可能与平面垂直，选项B错误；
对于C，在平面上，易知与必相交，故平面与平面不平行，选项C错误；
对于D，易知平面平面，而平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，选项D错误．

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，
则，，，，，，，，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，平面的法向量为，
则，所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A．

【评析】实际上，（A）选项源于2019版人教A版必修二P140页例4，其他选项都涉及到已知平面与几何体中特殊平面之间的位置关系问题，源于2019版人教A版必修二P157页例7的变形．源于教材又不同于教材，这种创新，也是高考命题立意的要求所在，突出考查学生的创新思维．同时，要在变中看到不变，永恒不变的是“四基四能”：基础知识、基本技能、基本思想、基本的活动经验；从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，突出通性通法的考查．本题设计的正解是A选项，如果正解位置调整到靠后一些，学生犯错的机会就会加大．因此在复习备考中，要切实抓细每一个环节，充分重视几何体的几何特征，着重培养学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养，切实引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．
【类题】
课本例4
5．已知正方体图，求证：平面平面.

课本例7
6．如图，已知正方体，试求证：平面平面．

分析：要证平面平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可．这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线．
【评析】空间平行、垂直关系的判定与性质及其应用在每份高考试卷中几乎都有体现，特别是在立体几何解答题的第一问，在这里不再一一赘述，但根据统计分析我们发现近两年新高考和全国甲乙卷中，以长（正）方体为载体考查空间点线面的位置关系或空间角的客观题出现的频率较之前明显加大．2018年至2020年三年间全国卷中只出现了2道以长（正）方体为载体的题目，但是2021、2022年全国卷就有6道以长（正）方体为载体的题目．
实际上，这在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中可以找到命题依据：在必修课程主题三《几何与代数》中短短两页内容有四次提到“长方体”，实际上，长方体模型是学生最熟悉的空间几何体，由具体模型通过直观观察抽象出定义、公理、定理，符合学生具体一抽象一具体的认知规律．能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球，圆柱，棱柱及其简单组合）的直观图.
①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实和定理．
②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出性质定理，并加以证明．
③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出一系列判定定理．
建议：
1、平时多针对长（正）方体进行灵活多样的研究，引导学生注重在长（正）方体的基础上进行切割、补形、组合等变式研究.
2、重视对公理（定理）、定义的理解，站在更高处看待问题.不少学生或老师比较重视推理证明与数学运算，但却轻视数学抽象，感觉数学抽象有点看不到、摸不着，不如推理与运算来得“实在”.表现在于轻视公理与定理体系，只重视所谓套路、方法.实际上立体几何的一个很重要的特点就是：理论就是方法.
【必研究的经典例题】
比如三线共点与三点共线问题、多线（多点）共面问题、教材中的经典例习题及变式设计问题．
7．如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证.

8．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点．求证：平面平面．

分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知，，，从而平面PAC，进而平面平面PBC．
9．已知平面平面，直线，，求证：.
三．命题的形式与特点分析
1．覆盖考点全面，题型一应俱全
◆围绕空间几何体的基本结构和度量；
◆围绕点、线、面之间的位置关系；
◆围绕空间向量及其在立体几何中应用；
2．考查重点突出，增加试题比例
◆“一大两小”（一道解答题和两道选择题或填空题），分值为22分，约占总分值的14.7%；
◆“一大三小”（一道解答题和三道选择题或填空题），分值为27分，约占总分值的18%；
◆“一大四小”（一道解答题和四道选择题或填空题），分值为32分，约占总分值的21%．
3．试题档次分明，科学调控难度
2022年高考数学立体几何试题设置层次鲜明的多档次试题，发挥考查基础知识和区分选拔作用．如新高考全国Ⅰ卷第8题、新高考全国Ⅱ卷第20题、全国乙卷（文科）第12题、全国乙卷（理科）第8题等，突出考查了考生的创新性和应用性，对考生思维水平和知识方法的综合运用能力均有较高的要求，增大了思维含量，提升了试卷的难度梯度，使试卷具有非常好的区分度．
4．文理趋于一致，符合时代需求
《普通高中数学课程标准》中文、理科对立体几何初步的要求一致，因此，全国甲卷和全国乙卷中文、理科立体几何客观试题基本一致．理科要求将二维平面向量知识迁移到三维空间向量的学习中，并能够运用空间向量知识来解决空间几何图形的位置关系和数量计算等问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，所以在主观题情境一致的情况下，第二问改变了设问角度，进一步传递了未来全面实现取消文理分科的信号，体现高考改革要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针．
5.探寻高中数学教学的着力点
例6（新高考Ⅱ卷·20）如图11，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，，E是PB的中点．

（1）求证：平面PAC；
（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值．
题意理解：本题考查了线面平行的证明和二面角的计算，通过运用直观感知、推理论证、数学运算等认识和探索空间图形的性质，借助空间直角坐标系，通过空间向量坐标运算实现二面角的求解，聚焦直观想象、逻辑推理、数学运算素养．第（1）问，线面平行的证明问题，考查线线、线面、面面平行关系的相互转化，综合利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理完成论证；第（2）问，二面角C－AE－B的正弦值，可以转化为平面AEB与平面AEC的法向量的夹角的正弦值，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．
思路探求：（1）（方法1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OA＝OB，再根据直角三角形的性质得到AO＝DO，即可得到O为BD的中点从而得到，即可得证；
（方法2）连接OA，OB，取AB的中点F，连接OF，EF．根据三角形全等得到OA＝OB，则，由得，再根据E是PB的中点，得出即可得出平面平面PAC，即可得证．
书写表达：
（1）（证法1）证明：如图12，连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P－ABC的高，所以平面ABC，AO，平面ABC，所以，，又PA＝PB，所以，即OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA，
又，即∠BAC＝90°，所以∠OAB＋∠OAD＝90°，∠OBA＋∠ODA＝90°，所以∠ODA＝∠OAD，
所以AO＝DO，即AO＝DO＝OB，所以O为BD的中点．
又E为PB的中点，所以，又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC．

（证法2）证明：如图13，连接OA，OB，取AB的中点F，连接OF，EF．由题意知平面ABC，AO，平面ABC，所以，，又PA＝PB，所以，即OA＝OB，由F是AB的中点，可得，又，在平面ABC内，，再由E是PB的中点，得出，因为，所以可得平面平面PAC，由平面EFO，所以平面PAC．

【评析】第一问属于常规的线面平行论证试题，两种证明方法也都比较常规，属于通性通法，两种方法比较来看，证法一更为常见，也是解决这类问题首先考虑的方向，论证的目标明确，链条清晰，但论证的思维入口稍显隐蔽，思维量稍大；法二也是论证线面平行常用的方法，由“E是PB的中点”这一条件，自然想到寻找平面PAC的中位面，并且在实现这一目标上更为容易，但是论证的步骤稍显多一点．总之，这两种方法都是学习者应该掌握的常规方法，在论证上要做到目标方向明确，思维过程缜密，逻辑表达清晰．本题最大的障碍点是第（1）问中，完成“O为BD的中点”的论证，试题的情景设置较为开放，有一定的创新性，较好地考查了利用平面几何知识进行逻辑推理的能力．
（2）解：过点A作，以A为原点，AB，AC，Az所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图14所示的空间直角坐标系．因为PO＝3，AP＝5，所以．
又∠OBA＝∠OBC＝30°，所以BD＝2OA＝8，则AD＝4，，
所以AC＝12，所以，，，，所以，
则，，，
设平面AEB法向量为，，
令z＝2，则y＝－3，x＝0，所以；
设平面AEC的法向量为，则，
令，则c＝－6，b＝0，所以；
所以，设二面角C－AE－B为，所以，故二面角C－AE－B的正弦值为．

变式设计
10．如图，是三棱锥的高，，，．

(1)求证：平面；
(2)若，，求二面角的正弦值．
例7（浙江卷·19）如图16，已知ABCD和EFCD都是直角梯形，，，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角为60°，设M、N分别是AE、BC的中点．

（1）证明：；
（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
题意理解：第（1）问的证明，运用分析法，要证线线垂直，需证线面垂直，在线面垂直与线线垂直之间相互转化，最终得证．在第（2）问角的求解中，不但考察了线面角的定义和求解，还涉及到了二面角的定义和二面角平面角的定义．整道题考查学生对空间立体几何图形的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．既能检验学生的知识水平，也是检验学生思维品质的试金石．
书面表达：（1）如图17，过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH，分别交DC、AB于点G、H，
∵ABCD和EFCD都是直角梯形，，，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，∴DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形．
∴在和中，，∴，
∵，，且，
∴平面BCF，∠BCF是二面角F－DC－B的平面角，则∠BCF＝60°，
∴是正三角形，由平面ABCD，得平面平面BCF，
∵N是BC的中点，∴，且平面平面BCF＝BC，
∴平面ABCD，且平面ABCD，∴．

（2）解法一（空间向量法）以点N为原点，过点N做AB平行线，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图19所示的空间直角坐标系N－xyz，
∵，，，，则，
∴，，，
设平面ADE的法向量为，
由，得，取，
设直线BM与平面ADE所成角为，
∴．
即直线BM与平面ADE所成角的正弦值为．

解法二（传统几何综合法）由（1）知在直角梯形ABFE中，∠ABF＝∠EFB＝90°，
AB＝5，EF＝1，如图20，连接BD，DM，BE，
过点M、E分别做直线BF的平行线交AB于点P、Q，
则，，BP＝3，AQ＝4，
中，
中，
由（1）知和中AD＝DE＝4，∵M是AE的中点，，
，中，，∴，又，
∴平面ABFE，∵平面ADE，∴平面平面ABFE，平面平面ABFE＝AE，
过点B在平面ABFE内做于点H，则平面ADE，∴∠BME为直线BM与平面ADE所成的角．∵，∴，
∴，即直线BM与平面ADE所成角的正弦值为．

解法三（等积换底法）：设点B到平面ADE的距离为h，如图21，过点M、E分别做直线BF的平行线交AB于点P、Q，
中，
中，
由（1）知和中AD＝DE＝4，等腰中AE边上的高为，
，∴，
又由（1）知，∴平面ABCD，且FN是等边三角形FCB的中线，∴FN＝3，
∵，平面ABCD，∴平面ABCD，
∴E到平面ABCD的距离等于F到平面ABCD的距离等于FN＝3，，
∴，∵，，
直线BM与平面ADE所成角的正弦值为．

【评析】第（1）问可能会被大多数人看做是送分题，但是实际情况可能并没有设想的那样理想，学生很可能出现逻辑不连贯或者心中有逻辑，却没有能力清楚、流畅、简洁的表述出来．本题的设计，可以很好地用来检验学生的空间想象能力，逻辑推理能力．在复习备考中，有针对性的训练提高逻辑推理能力，要求思维连贯，一环套一环，环环有依据．切忌无中生结论，凭空添题设，一定不能想当然，要做到有果必有因．可以在日常教学中通过学生习作点评和学生互评或者是答辩式点评来锤炼学生这方面的思维能力．
第（2）问的方法三仍然属于传统立体几何的方法．本方法回避了线面角的做法和证明，要求学生在深刻理解了线面角定义的基础上，挣脱具体图形的束缚，对学生直观想象素养和逻辑推理能力要求较高，但若运用得当，就会达到“会当凌绝顶，一览众山小”的效果．
例8（新高考Ⅰ卷·19）如图22，直三棱柱的体积为4，的面积为．

（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角A－BD－C的正弦值．
题意理解：第（1）问，考查点到面的距离问题，所给条件有一定的新意．考查了等体积法，涉及到柱体、椎体的体积公式，体现了转化化归思想的数学思想．第（2）问考查了二面角问题．关键在于建系前需要证明线线垂直关系．在垂直关系的证明部分，要由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直，或者由线线垂直得到线面垂直再到线线垂直，最终得到线线垂直．涉及面面垂直性质定理，线面垂直的判定定理和线面垂直的定义，二面角的定义和二面角平面角的定义，平面几何知识，解三角形，向量法和等面积法等知识点，体现了转化化归思想、方程思想和数形结合思想．
思路探求：（1）利用几何体的顶点转化，运用等体积法求解，解答过程简洁，运算结果不易出错；（2）既可以由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解；也可以运用传统几何法由面面垂直的性质和二面角的平面角的概念，做出平面角，构造三角形求解平面角的正弦值．
书写表达：（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；
（2）（方法1）如图23，取的中点E，连接AE，因为，所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面ABC，
由平面，平面ABC可得，，
又AE，平面且相交，所以平面，
所以BC，BA，两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系

∵，∴，又，解得，
则，，，，，
则，，，
设平面ABD的一个法向量为，则，令x＝1，则y＝0，z＝－1，
∴平面ABD的一个法向量为，设平面BCD的一个法向量为，
，令b＝1，则a＝0，c＝－1，
平面BCD的一个法向量为，，
二面角A－BD－C的正弦值为．
（方法2）证明BC，BA，两两垂直同（方法1）．
由（1）得，所以，，所以BC＝2，
因为AB＝BC＝2，，BD＝BD，所以，
过A作，则，所以∠AHC为二面角A－BD－C的平面角，
由AB＝2，，在中，根据等面积法可知，
所以，又因为，所以在中，由余弦定理得
，故，
所以二面角A－BD－C的正弦值．
例9（全国乙卷·文18）
11．如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【评析】本题主要考查面面垂直判定定理的应用、线面角的求法等知识与方法．考查学生运用转化回归思想及空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力等关键能力，对学生的直观想象、逻辑推理及数学运算等素养提出了较高要求．第（1）小题主要错误：①线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定方法掌握不牢靠、运用不熟练，导致推出结论的条件不充分，如直接由，平面平面ACD；②逻辑推理素养水平较低，导致逻辑混乱，证明错误．如出现，面BED等推理错误，再如出现由三角形全等证明时理由不充分等有果无因或有果少因等逻辑问题．第（2）小题主要错误：①面积何时最小说理不充分或根本方向不正确，如错误认为“当点F与点D重合”或“”时，面积最小；②数学思维严密性欠缺，如想当然认为“”，“面ABC”，缺乏推理论证的过程，再如确定的高时，缺少由线线垂直到线面垂直的推理过程；③运算错误．

6. 2022高考试题命题导向分析
1．以教材为基础，挖掘核心元素
2022年高考数学立体几何命题充分体现以各版本教材为基础将教材中的核心育人元素融入试题，因此教师在教学时要高度重视教材，从知识认知角度，用好教材中的例题、习题，充分挖掘教材中的情景设计以及教材中隐含的数学思想与数学方法；从知识建构角度，带领学生理解与把握教材中的“尝试与发现”，领会编者的用意；从知识应用的角度，借助教材中的“拓展阅读”开展研究性学习，让学生感受用数学知识解决现实生活中实际问题的魅力，提升学生的数学核心素养，实现数学教学的目的与本质．
2．设置现实情景，发挥育人作用
2022年高考数学立体几何命题坚持思想性与科学性的统一，充分发挥数学来源于生活又服务于生活的特点，设置真实情境，以我国的社会经济发展、生产生活实际为情境素材设置试题，发挥教育功能和引导作用．如：新高考全国Ⅰ卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查学生的空间想象、运算求解能力，引导学生关注社会主义建设成果，增强社会责任感．
例10 （新高考全国Ⅰ卷·4）
12．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）
A． B． C． D．
例11 （全国甲卷·文19）
13．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
3．加强素养考查，强调能力立意
2022年高考数学立体几何试题优化试题设计，加强核心素养考查，强化数学思想方法，重点考查关键能力，不仅发挥数学学科高考的选拔功能，更推动学生综合素质进一步提升．如新高考全国Ⅰ卷第19题立体几何大题围绕面积和体积，重点考查线线关系、线面关系、点面关系等几何知识，要求学生既能在纵向上整体架构，形成完整的知识链条，又能从横向上综合运用来解决问题，有利于弓|导减少机械刷题；全国2卷理科第9题、文科第12题，研究球内四棱锥体积的最大值问题，要求学生有较强的空间想象能力和分析问题能力，将问题转化为三次函数的最值问题，进而利用导数求解．
4．遵循教育规律，注重数学本质
《普通高中数学课程标准》提出：以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、线、平面的位置关系的定义；借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出判定定理．因此，2022高考数学立体几何试题多以柱、锥等常见的几何体为载体，突出通性通法，选材多为学生熟悉且最能够体现空间几何体结构特征及点、直线、平面相互位置关系的长方体、正方体及正棱锥等简单空间几何体，深化基础性考查，强调对基础知识全面深刻的理解和融会贯通的运用，领会在义务教育平面几何学习的基础上，进一步体会几何学的研究范围与方法，力求将知识、能力与素养融为一体．如：新高考全国Ⅰ卷第9题、全国甲卷（理）第7题、15题、全国甲（文）第9题、全国乙卷（理）第7题、全国乙卷（文）第9题均为长方体或正方体模型，新高考全国Ⅱ卷第11题、全国甲卷（文）第19题同样可以通过割补法，借助长方体或正方体来准确作答．
5．借助数形关系，探寻内在联系
2022年高考数学立体几何试题依据新课程标准，要求学生具备数形结合意识，能够利用图形语言来描述问题，并借助几何直观来分析解决问题．通过立体几何试题强化数学是研究数量关系和空间形式的学科，通过数形结合的思想方法建立数与形的联系，发展学生数学思维．如新高考全国Ⅰ卷第19题、全国甲卷（理）第9题、全国甲卷（文）第10题等，引导教学不仅要关注空间几何体的表面积和体积公式的记忆和应用，更为重要的是要提炼公式推导的内涵；如类比、以直代曲等思想方法的运用．同时挖掘各种几何体表面积及体积公式的内在联系，真正实现从计算的视角去认识空间几何体．通过公式推导思路的探究（如侧面展开图）和各种几何体计算公式内在联系的分析，帮助学生从计算的角度去认识空间几何体．
四．复习的思考与建议
1．研究高考，掌握动向
新课程新教材背景下，“一核、四层、四翼”的高考评价体系，推动着高考命题的变革，由以往能力立意向如今素养导向的转变．教师在复习备考时首先要认真思考和研究高考数学的命题方向和命题原则．明确考什么、怎么考，弄清楚各个单元、各个主题必备知识有哪些，关键能力是什么，所承载的主要核心素养是什么其次要认真研究高考试题，挖掘其在各个知识上如何体现基础性、综合性、应用性和创新性等特点．
2．回归教材，重视基础
教材是落实数学课程目标、培养学生数学核心素养的重要教学资源，也是历年高考命题的重要素材．因此教材就是高考复习的重要依托，高三备考阶段考生应回归教材，系统地进行回顾与归纳，要对教材进行再阅读和再理解，特别要重视教材中数学的重要公式、定理的推导过程．教师在梳理数学知识点的联系、基本的数学解题思路与方法上要肯花时间和精力，同时要引导学生关注教材中的例题、习题及尝试与发现等栏目，挖掘其中蕴含的思想，提炼通性通法，准确把握立体几何的本质，提高复习效率．用好教材上的阅读材料、史料，并进行必要拓展，开展数学文化渗透，结合相应的教学内容，有意识地将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，激发学生的数学学习兴趣，开拓学生视野、提升数学学科核心素养.关注教材上和实际生活相关的应用型题例.
14．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V（单位：）表示为x（单位：cm）的函数.

15．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到，可用计算工具）

16．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
  
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是______，为什么？
3．把握原理，深度学习
从2022年高考立体几何试题的分析不难得出，立体几何考查的主要内容大都以简单熟悉的空间几何体为载体．这也是数学课程标准中一再提到的借助长方体来研究问题的初心，因此复习过程中，要充分利用简单几何体模型，研究其典型结构特征，深度挖掘蕴含的空间点、直线、平面之间的位置关系，进而梳理立体几何知识体系，形成解决立体几何问题的基本思维模式复习备考中要关注立体几何文字语言、符号语言及图形语言之间的转化，要注重通用通法，在深刻理解的基础上融会贯通，灵活运用，举一反三，主动进行探究和深层次学习，而不是把精力放在解题的技巧性上．
4．强化联系，形成体系
在立体几何的复习备考中，应遵循从整体到局部、从具体到抽象，准确把握空间几何体基本特征的原则，关注核心概念，准确把握空间立体几何的基本事实和公理（定理）之间的关联，构建有效的知识块、结构网、方法链，进而在义务教育平面几何基础上掌握空间几何问题的研究思路和方法，明确空间几何体位置关系如线线、线面、面面平行与垂直等既相互独立又彼此相融、因此，在复习时要从整体出发，构建大单元教学设计，提高学生对空间几何体位置关系的逻辑推理能力，进而形成从“知识点”到“方法块”从“线性思考”走向“立体思维”的思维改变，促进培育学生的数学核心素养．
5．重视情境，类比迁移
新课程背景下，高考立体几何试题更加注重引入真实情境，即“重基础、重应用、重时事、重生活”，考查学生的能力和素养水平的特点，所以，考生要时刻关注社会生活中的热点问题及国家发展的重大成就增强提取新情境下信息的能力，进而利用已掌握的知识去解决陌生情境下问题，实现学以致用，进而体现学科价值．
6. 重视问题，明确方向
一要重视引导学生用好教材．教材是落实数学课程标准、发展学生数学学科核心素养的重要教学资源，也是历年高考命题的重要素材，通过对教材中的知识体系进行系统梳理，依托学生熟悉的几何体，熟悉线线、线面、面面之间的相互转化，准确把握立体几何的本质，形成基本的直观想象素养；
二要重视引导学生进行“有图想图”与“无图想图”等思维过程，逐步提高他们的空间想象能力，建构起立体的空间概念；
三要重视引导学生规范作图，逐步弄清楚柱体、椎体和球体等基本图形的几何特征，进而能够识别由基本图形组合或分拆后形成的新图形，强化其推理与计算相结合的意识；最后要重视引导学生规范书写表达，在逻辑证明过程中注重规范严谨，思维连贯，要做到有果必有因，切忌无中生结论，凭空添题设，不断提高逻辑思维能力，实现解题效率的不断提高．
四要体会向量方法的特点，不能把向量教学等同于坐标运算（一线教学中常见现象）．加强向量方法，应该强调综合运用向量及其运算解决几何问题．这里，一个是要注意使用“向量回路”、数乘向量、数量积等解决问题（平行、垂直、长度、角度等问题），另一个是要强调空间向量基本定理的核心地位．
比如，教材在运用向量研究空间中的垂直关系时，举了如下例子：
如图1.4－14，在平行六面体中，，，求证：直线平面．

分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．
再比如，教材在运用向量研究空间角问题时，举了如下例7并配套练习2：
如图1.4－19，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．

分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此需要把向量，用适当的基底表示出来，进而求得向量，夹角的余弦值．
练习
17．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角．

18．如图，在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点．求异面直线AN，CM所成角的余弦值．

（2015浙江）
19．如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．

“空间向量的应用”的主题是立体几何中的向量方法，教科书通过丰富的例题、习题体现这一主题．教学时要注意结合例习题，使学生对向量方法的认识逐步深化；结合习题进一步掌握向量方法；并通过引导学生自己归纳概括向量方法，提高他们的抽象概括能力．
7.大概念单元复习教学举例：开放式现象教学
如图，已知边长为a的正方体，点P为面对角线上的一个动点，当点P沿着运动时，尝试探究过点P的线（或面）与平面的位置关系．

学生经过探究、讨论得到：
1、平面
2、平面
3、点P到平面的距离为定值，并求出定值为
4、为定值，并求出定值为
5、二面角是定值，并求出二面角的三角函数值
6、可以求出CP与平面所成角的正弦值的范围是
○涉及多个概念、定理的使用（线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、三棱锥体积公式、等体积法求点到面的距离、空间线面角的求解、空间二面角的求解）
○反映多种数学思想方法的运用（数形结合思想、函数思想、转化与化归思想）
○促进多种数学能力的提升（空间想象能力、运算能力、推理能力、建模能力）
○形成多种学科核心素养的发展（直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模）



参考答案：
1．表面积：，体积：
【解析】图复原的几何体下部是底座是四棱台，中部是圆柱，上部是球，根据三视图的数据，利用上中下三部分几何体的体积公式直接求出这个奖杯的体积；先求出侧面的面积和上下底面的面积，再相加求这个奖杯的表面积．
【详解】解：由该奖杯的三视图可知，奖杯的上部是直径为4cm的球；中部是一个四棱柱，其中上、下底面都是边长分别为8m、4cm的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm、8cm的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm、4cm的矩形；下部是一个四梭台，其中上底面是边长分别为10cm、8cm的矩形，下底面是边长分别为20m、16cm的矩形，四棱台的高为2cm
解：三视图复原的几何体下部是底座是四棱台，中部是棱柱，上部是球，
这个奖杯的体积：
，



；
这个奖杯的表面积：（其中奖杯底座的侧面上的斜高等于和．


因此它的表面积和体积分别约为.
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．
2．C
【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．
【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为，圆台的下底面半径为，所以该几何体的体积．

故选：C．

3．D
【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.
【详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于，
因此
从而
因为，所以即，选D.

【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.
4．B
【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.

方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
5．证明见解析.
【解析】先证明四边形为平行四边形，可得平面，同理平面，可得证明.
【详解】证明：为正方体，
.
.
∴四边形为平行四边形.
.
又平面，平面,
∴平面.
同理平面.
又，
∴平面平面.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，属于中档题.
6．证明见解析
【分析】由，结合面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】因为平面，平面，所以.
又，，平面
所以平面，又平面，所以平面平面．
7．见解析
【分析】连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD，由面面平行的性质定理可得，所以，同理可得，从而可得结果.
【详解】证明：如图，连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD.

因为平面，平面，
所以，所以.
同理,且，
所以.
【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理的应用，考查了空间想象能力，证明过程要注意线面平行的性质定理应用的条件，本题属于中档题.
8．证明见解析
【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】证明：因为平面,
平面，
所以.
又因为，,平面，

所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
9．证明见解析
【分析】过直线a作平面､，使得，，根据线面平行的性质定理，得、，所以，根据线面平行的判定定理得，再根据线面平行的性质定理得，继而得证.
【详解】如图，过直线a作平面､，使得，.

因为，，，所以.
同理可得，所以，又m不在平面上，而，所以.
因为，，所以，又，所以.
10．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）延长交于点，连接，可证得，由此得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式得解．
【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，

因为是三棱锥的高，所以平面，又，平面ABC，
所以，，又PA＝PB，所以，即，
所以，则
又，所以，则，
所以在中，
又，所以，又平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC．
（2）解：过点作，以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由于，，由（1）知，
又，则，

，，
又，则，所以
由正弦定理得，，所以
则
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
，即二面角正弦值为．
11．(1)证明详见解析
(2)

【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.

[方法二]：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，

连接






12．C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．

故选：C．

13．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
【详解】（1）如图所示：

分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：

分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：

连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积


14．
【解析】根据题意，求得正四棱锥的底面边长和高，结合棱锥的体积公式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，如图所示，可得，且四边形ABCD为正方形，
所以，所以，
所以.

【点睛】本题主要考查了正棱锥的结构特征，以及棱锥的体积的计算，其中解答中熟记棱锥的几何体结构特征，结合棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.
15．
【解析】上部四棱柱的侧面积容易求出；要计算四棱台侧面积需先计算出斜高，再计算侧面积，两者相加即为需要瓷砖面积．
【详解】解；由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积.
，
四棱台的斜高，

故需要瓷砖的面积为.
【点睛】本题考查几何体的侧面积求解，关键是得出所需要的数据，准确利用公式，属于基础题．
16．（1）（2）（4）（5）
【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.
【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以（1）和（2）正确；
因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误；
因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确；
因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值，
所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确，
故答案为：（1）（2）（4）（5）.
17．
【分析】利用向量求解，，两边平方可求平面与平面的夹角．
【详解】设平面与平面的夹角为，
由可得



所以，即平面与平面的夹角为.
18．
【分析】连结，取的中点，连结，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果．
【详解】连结，取的中点，连结，
则，是异面直线，所成的角，
，，，
又，，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．

19．
【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直
线，所成角（或其补角）易得，
，，
∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

考点：异面直线的夹角.