专题5 2022年高考“数列”专题命题分析

这是一份专题5 2022年高考“数列”专题命题分析，共28页。学案主要包含了课标要求，典例分析，整体点评等内容，欢迎下载使用。
专题5 2022年高考“数列”专题命题分析
专题5  2022年高考“数列”专题命题分析
       数列是《标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程中函数主线的内容之一，共计14课时，主要内容为等差和等比；明确要求学生感受数列模型的现实意义与应用；感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性，即数列与函数、方程、不等式之间的联系性．


一．考查的内容与方式
卷别
题号
题型
分值统计
考查内容
难度等级
选择题
填空题
解答题
全国甲卷（理）
17


√
12
等差数列定义、前n项和，与的关系
易
全国甲卷（文）
18


√
12
等差数列定义、前n项和，与的关系
易
全国乙卷（理）
4
√


10
数列项的大小比较
难
8
√


等比数列基本量运算
中
全国乙卷（文）
10
√


10
等比数列基本量运算
中
13

√

等差数列基本量运算
易
全国新高考Ⅰ卷
17


√
10
与的的关系、累乘法、裂项求和、不等式放缩
中
全国新高考Ⅱ卷
3
√


15
等差数列前n项和
中
17


√
等差数列和等比数列基本量运算
易
北京卷
15

√

20
数列递推公式、通项、单调性，等比数列定义
难
21


√
数列新定义创新题
难
天津卷
18


√
15
等差数列和等比数列通项公式、错位相减求和、与的关系
中
浙江卷
10
√


19
数列递推、放缩
难
20


√
等差数列和等比数列通项及前n项和
中



     
通过对
2022
年全国高考卷和地方卷中数列试题的特点分析和解题分析，特别是对新旧高考的数列试题对比分析，把握新高考对数列内容考查的目标与重点，掌握解决数列相关问题的基础知识与基本方法，积累分析与解决数列问题的经验，体悟重要数学思想在解题过程中的引领作用，强调数列作为函数主线内容的体现，提出淡化解题技巧、加强概念理解、重视函数与数列综合、学会数学思想引领解题方向的复习备考建议．
全国甲卷和乙卷中数列试题着重考查与等差数列、等比数列有关的基础知识、基本方法和常规题型，学生容易上手，不需过多分析，见到试题即可知道解题路径，这类试题为结构良好试题．全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷，以及新高考省、市地方卷与旧高考试卷的显著区别在于结构不良试题、开放性问题、情境性问题等非常规试题的比例增大，学生初见试题无法入手，需要深入分析、综合运用所学知识设计解题路径，着重考查学生的关键能力和数学核心素养．2022年新高考数学试卷中多道数列试题为非常规试题，无固定套路，学生必须深刻理解基础知识，掌握基本方法，综合运用知识方法解决问题，这既体现了高考考查要求的基础性，也体现了高考考查的综合性，同时注重对学生数列模型应用能力和创新能力的考查．
二．课标要求与典例分析
【课标要求】本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式：能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性。内容包括，数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法。
（1）数列概念
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
（2）等差数列
①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情填中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。
④体会等差数列与一元一次函数的关系。
（3）等比数列
①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
【典例分析】
1．等差（比）数列的通项、前n项和及基本量的运算
首项、公差（比）是等差（比）数列中最为关键的基本量，求等差（比）数列，即是求其首项和公差（比）．得到了等差（比）数列的首项和公差（比），就得到了等差（比）数列及其通项、前n项和等．具体到等差（比）数列的相关问题中，往往需要建立方程或方程组求解，方程或方程组中主要涉及，d（q），n，，这5个基本量，可“知三求二”．2022年高考数列试题注重考查学生对数列概念的理解和基础知识的掌握，淡化技巧、回归本质，部分问题通过基本量建立方程或方程组运算即可解决，这也是高考考查要求基础性的体现．
（全国乙卷·理8）
1．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）
A．14 B．12 C．6 D．3
2．等差（比）数列的证明
等差（比）数列的证明是高考中的常见题型，要求学生深刻理解相关概念，回归数学本质．证明一个数列是等差（比）数列的方法主要有定义法和中项法．
（1）定义法：证明数列是等差或等比数列，即证或为常数；
（2）中项法：证明数列是等差或等比数列，可以证明对任意的正整数n都有或．
（全国甲卷·理17）
2．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
3．等差（比）数列性质的应用
对等差（比）数列性质的灵活应用是高考数列复习训练的重点，在历年高考数列试题中也不乏灵活运用性质的试题，即利用基本量运算繁杂而运用性质可以巧解的试题，这就导致高考数列复习过程中学生所记性质越来越多．综观2022年高考数列试题，没有一道试题可以运用性质大幅度减少运算，大都是直接用基本量运算即可解决且不复杂的试题．由此可以看出高考“淡化技巧、回归本质”的教学导向，但这不意味高考不考查等差（比）数列的性质，这些主要性质仍然需要深刻理解和灵活运用，只是无须强记更多的性质结论．
等差数列的主要性质：
（1）等差数列中，当时，则．特别地，当时，则有．
（2）等差数列中与首末两端等距离的两项之和均相等，即．
（3）从等差数列中抽取等距离的项组成的新数列是一个等差数列，即，，，…成等差数列．
（4）等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列，即，，，…成等差数列．
等比数列的主要性质：
（1）等比数列中，若，则，．特别地，若，则．
（2）等比数列中与首末两端等距离的两项的乘积相等，即．
（3）等比数列中连续k项的和组成的新数列是等比数列，即，，，…成等比数列（公比为－1且k为偶数的情况除外）．
（全国乙卷·文13）
3．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
4．利用与的关系求通项
数列的通项与前n项和紧密相关，数列的前n项和本身也是数列，具有数列的一切性质，通项与前n项和是数列研究的主要对象．在等差数列中，直接体现通项与前n项和之间关系的有：，，解题过程中常用此实现等差数列通项与前n项和之间的转化．而对于任何数列均有，对非等差（比）数列而言，除此公式外，等差（比）数列的所有性质均不可用，可见此公式的重要性．但是运用时一定要注意适用范围，同时还需要用求，以此检验通项公式是否适用的情形．
（全国新高考Ⅰ卷·17）
4．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
5．利用错位相减等方法求和
常见数列求和方法有公式法、分组求和法、并项求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，求和时并不一定单一使用某种方法．倒序相加法、错位相减法、裂项相消法技巧性较强，适用类型均有限制，倒序相加法适用于与两端等距的两项和为定值的数列；错位相减法适用于等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列；裂项相消法适用于通项可裂为新数列两项之差的数列．
裂项相消法需要构造新数列，恰使，通过相互抵消使数列的前n和为新数列有限几项之和．构造新数列是学生的主要困难，历年高考试卷中有很多用裂项相消法求和的试题，是学生复习过程中的重点方法，但从2022年高考试题来看，对裂项相消法的考查有弱化趋势，淡化新数列的构造技巧，趋于常规．因此，复习中掌握主要的裂项技巧即可．使用裂项相消法求和时，需要弄清相互抵消的规律，不能盲目认为只剩下第一项和最后一项，例4第（2）小题即是考查裂项相消法的常规题型．
普遍来说，错位相减法的理解和运算都具有一定难度，但是方法、步骤明确，多数学生都可以掌握．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，那么求数列的前n和时可以用错位相减法．方法是和式两边同乘以等比数列的公比，与原和式相减转化为等比数列求和，进而化简可得．
（天津卷·18）
5．设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
《标准（2017年版2020年修订）》突出了数列的函数特性，将数列作为函数主线的内容之一，北师大版教材将等差（比）数列的函数特性单列成节，可见其重要性．从2021年和2022年全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷可以看出，不再注重数列知识的覆盖比例，2021年全国新高考Ⅱ卷和2022年全国新高考Ⅰ卷在选择题和填空题中未考查数列内容，2022年全国新高考卷更注重考查数列模型的应用和数列作为函数的特性．由此说明，新高考数学不再把数列内容作为独立知识板块考查，而是将其融入函数主线，数列内容考什么、怎么考、考多少，取决于函数主线考查和数学素养考查的需要．
（北京卷·6）
6．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．运用数学思想突破思维阻碍点
2022年高考数列试题给人的直观印象是非常规试题较多，非常规试题无法直接套用复习过程中反复使用、训练的套路，需要学生深刻理解问题、深入分析条件、综合运用知识方法解决问题，这是考查学生关键能力和数学素养的重要载体，也是高考考查要求综合性和创新性的体现．
面对非常规试题，学生直接套用所学套路，当解题受阻便束手无策，此时可用数学思想调整解题策略，突破思维阻碍点．例如，当正面解决问题有困难时，可以考虑解决反面问题或用反证法；当问题的一般情形不易解决时，可以考虑特殊情形或取特值、特例发现规律；当问题分析较为困难时，可以考虑画图直观化发现某些本质关系（数形结合思想）；当问题解决具有不确定性时，可考虑分多种情形逐一解决（分类讨论思想）；等等．
综观2022年高考数列压轴试题或其他内容压轴试题，大都有反证法或反证思维的影子，由于推出矛盾的不确定性，需要学生具有发散思维，在深入分析、多次尝试后确定推出的矛盾，这又需要学生具备聚合思维和批判性思维，而这恰恰是创新能力的主要体现．下面着重举例说明反证思想在学生调整解题策略解决问题中的重要性．
（北京卷·15）
7．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；   ②为等比数列；
③为递减数列；       ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
（全国新高考Ⅱ卷·3）
8．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
（全国新高考Ⅱ卷·17）
9．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
三．命题的形式与特点分析
1.数列考查内容——四层——必备知识
数学的基础
内涵
特征
基础知识
数学中的基本概念、基本性质、基本法则、基本公式、基本定律和基本定理等
结果
基本技能
按照一定的程序与步骤进行运算、推理、作图、处理数据等心智活动方式：数学阅读技能、数学作图技能、数学运算技能、数学推理技能、数学表达技能
流程
基本方法
问题解决所必需的程序和步骤：如分析法，综合法，穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方法，列表法，图像法，等
操作
基本思想
“数学抽象的思想”派生出来的有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想等，例如由“数学推理的思想”派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的想，等等，例如由“数学建模的思想”派生出来的可以有：简化的思想，量化的想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等，例如由“数学审美的思想”派生出来的可以有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想
概括
基本活动经验
数学活动中所感受的观察、联想、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、验证等思维方式
反思

2．数列考查内容——四层——必备知识——数学知识＋数学方法

3.  2022年高考数列真题四层分析
（2022·全国乙（文）T10）
10．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）
A．14 B．12 C．6 D．3
必备知识
等比数列通项公式、前n项和公式；数学运算技能；方程思想；数列基本量思维活动经验
关键能力
逻辑思维能力，运算求解能力
学科素养
理性思维
核心价值
科学精神，思维能力

（2022·新高考Ⅰ卷T17）
11．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
必备知识
等差数列通项公式；累乘法，裂项求和法；数学推理技能；化归思想；数列项、和互化思维活动经验
关键能力
逻辑思维能力
学科素养
理性思维，数学探索
核心价值
科学精神，思维能力

4.数列专题命题之四翼分析
基础性：应知应会的知识方法线性使用
综合性：思想观念引领下的通性通法使用
应用性：建模意识与能力
创新性：批判，选择，创造
（一）考查敢于质疑和批判的思维能力
创新从思考和质疑开始．高考要考查敢于质疑、敢于批判的思维能力，要求学生多角度、开放式思考问题，考查其独立地对问题或观点提出不同看法并进行论证和探讨的能力．
（二）考查自主决策并发表见解的能力
设计试题时应努力创设自主思考的情境，鼓励学生独立发表自己的见解，考查学生审阅资料获取信息，分析、比较、评价不同观点的能力，同时能够根据自己的独立判断就某一种观点运用相关知识阐明理由．
（三）考查独立自主设计方案的能力
通过试题设问，考查学生综合运用归纳、演绎、比较、概括等逻辑学的方法，辩证地讨论问题的条件、要求和结论等各个影响因素，提出分析和研究问题的思路、策略、方法和步骤，独立地解决问题，并能用文字和专业术语进行清晰的表达和交流．
（2022·全国乙（理）T4）
12．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）
A． B． C． D．
数列考查要求——四翼   应用性提炼数量关系
（2022·浙江卷T10）
13．已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
（2022·新高考Ⅱ卷T17）
14．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
5.数学考查载体——情境
数学课程学习情境
数学探索创新情境
生活实践情境
数学课程学习情境包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问题情境，关注已有知识的基础和准备程度；
数学探索创新情境包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境，关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索；
生活实践情境是需要考生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题；生活实践情境关注与其他学科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体．
考查学生数学基础和数学抽象的重要载体，指向考查学生理性思维素养和数学探究素养，为高校选才提供关于学生应对大学数学学习准备程度的依据．

（2022·全国乙（文）T13）
15．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
（2022·新高考Ⅱ卷T3）
16．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
（2022·浙江卷T20）
17．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
四．复习的思考与建议
1. 数列解题逻辑培养
数列解题逻辑-1：求通项之六大常规操作
数列解题逻辑-2：通项公式之待定系数终结不动点法与特征根法
数列解题逻辑-3：递推数列的极限与不动点还有单调性
数列解题逻辑-4：放缩法解证数列不等式的底层逻辑与基本操作
数列解题逻辑-5：数列奇偶项问题的解题准则
2．淡化特殊技巧，回归数学本质
“把握数学本质，启发思考，改进教学”是《标准（2017年版2020年修订）》的基本理念之一，从2022年高考数列试题也可以看出，关于数列性质使用和递推求通项的技巧考查有所弱化，回归到对数列的基本概念和函数属性的考查，多数试题通过基本量运算即可解决．因此，在高考数列复习中，不必大量机械训练等差（比）数列性质的灵活运用，以及用数列递推公式求通项的不常用的特殊技巧（如特征根法、不动点法等），而是要注重回归基础，深刻理解数列的相关概念，掌握基础知识和基本方法（等差或等比数列的主要性质，常用的求和方法，以及基本的递推求通项的技巧）．
3．掌握基本方法，培养解题思维习惯
对于2022年高考数列试题，学生未能正确解题的主要原因不在于学生没有掌握基本方法，而是没有深刻理解方法并正确使用，只是机械套用方法步骤解题，未关注方法适用的类型和条件．例如，利用，转化问题时，没有注意公式适用条件，也没利用n＝1特殊情形求并检验通项公式：在公比q未知的情况下使用等比数列前n项和时，没有注意q≠1的条件：在使用累加法、累乘法、裂项相消法时，没有认真观察和分析相约、相消规律，受思维定式影响直接保留第一项和最后一项而导致错误；忽略等比数列公比不为0的条件，等等．因此，在高三数列复习过程中，教师要重视培养学生正确使用基本方法的思维习惯．例如，利用公式求通项时首先考虑n＝1的特殊情形：使用首先判断公比q是否可以取1：使用累加法、累乘法、裂项相消法时，至少写出前三项和后两项寻找规律；等等．粗心致错不是教师多强调几次或学生背一背易错点能解决的，只有形成良好的、有序的正确解题思维习惯，才可能一定程度上克服粗心．
4．重视函数内容的学习，强化函数与数列的综合应用
《标准》将数列归为函数主线内容，要求学生感受数列的函数特性和数学的整体性，以及数列模型在实际生产、生活中的应用．基于《标准》，各版本新教材在不同程度上强化了数列的函数特性，在例、习题中可见一斑．从近几年新高考中的数列试题来看，加大了对数列的单调性、最大（小）项或最值和数列的周期性等与函数性质相关问题的考查力度，这些问题的解决与数列的学习有关，但更与函数、不等式的学习密切相关．数列内容的考查服从函数主线与数学素养考查的需要．因此，高考复习过程中要重视函数内容的学习，重视函数内容与数列内容的融合应用，重视数列模型的实际应用．
5．克服题型模式的思维定式，用数学思想引领解题方向
新高考命题从“知识立意”“能力立意”转向“价值引领，素养导向，能力为重，知识为基”的综合评价体系，数学学科高考命题重视考查学生的理性思维能力和数学核心素养．刷题教学重视题型归纳和解题套路训练，而忽视了数学思想的渗透和理性思维能力的培养，很难应对新高考．2022年全国新高考数学Ⅰ卷被评为“历史最难”，凸显了刷题教学与素养导向命题的冲突与差距．不仅是高考数列内容复习，在所有内容的复习过程中，教师都应该注重数学思想在解题中的引领作用，特别是面对非常规试题或复杂情境试题时，要引导学生利用数学思想调整解题方向和解题策略，在不断试错中寻找解题路径，进而提升理性思维能力
数学解题过程大致可以划分为四个阶段：理解题意、探求思路、书写解答、回顾反思．每一个阶段都至关重要．理解题意就是弄清问题，准确把握或翻译已知和所求；探求思路就是在弄清题意的基础上，探索已知与所求之间的联系，特别是分析问题本质，关注数学思想与方法的运用；规范书写解答不仅是正确解题的重要保证，也是理清思维逻辑顺序的重要过程．
回顾反思是优化解法，提炼处理“类问题”的经验，提升迁移能力的至关重要的环节．很多学生会忽视这一环节，所以教师要积极引导学生回顾反思解题的过程，让学生在原问题的基础上站得更高、看得更远．












参考答案：
1．D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.

2．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

3．2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.

4．(1)
(2)见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴

5．(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
6．C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.

7．①③④
【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

8．D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D

9．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．

10．D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.

11．(1)
(2)见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴

12．D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.

13．B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
        
14．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．

15．2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.

16．D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D

17．(1)
(2)

【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以