2023年高考数学二轮复习试题专题02 函数与方程（Word版附解析）

这是一份2023年高考数学二轮复习试题专题02 函数与方程（Word版附解析），共57页。试卷主要包含了核心先导，考点再现，解法解密，考点解密，分层训练等内容，欢迎下载使用。
专题02 函数与方程
一、核心先导


二、考点再现

【考点1】函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
【考点3】零点存在定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
【考点4】二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
【考点5】高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
三、解法解密

方法一：确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
方法二：导数研究函数图象交点及零点问题 
利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

四、考点解密

题型一:判断零点所在区间
例1．（1）、（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
函数的一个零点所在的区间是(　 )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
【答案】B
【解析】由题得，
，
所以
所以函数的一个零点所在的区间是.
故选：B
（2）、（2022·北京市西城外国语学校高一期中）函数零点所在的一个区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理判断即可.
【详解】令，解得：，只有一个零点.
而，，
由零点存在性定理知，函数零点所在的一个区间是.
故选：C.
【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函数是上的增函数,是上的增函数,
故函数是上的增函数.
,,
则时,;时,,
因为,所以函数在区间上存在零点.
故选:B.
【变式训练1-2】、（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案
【详解】由在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又，
所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，
故选：C
题型二:零点个数的判断
例2．（1）、（2008·湖北·高考真题（文））方程的实数解的个数为_____________ .
【答案】2
【详解】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.
（2）、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测）函数的零点的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】由于函数在上是增函数，且，
故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.
故选：B.
【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解
【详解】
函数，由，可得，作出和的图象，

由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，
故选：C.
【变式训练2-2】．（2021·陕西·西安中学模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】通过解法方程来求得的零点个数.
【详解】由可得.
当时，，或（舍去），
当时，或.
故是的零点，
是的零点，
是的零点.
综上所述，共有个零点.
故选：C

题型三:根据零点个数，求解析式中参数的范围
例3．（1）、（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）若关于的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（  ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设=，可得函数递增递减区间，由函数在区间上仅有一个零点，列出方程可得的取值范围.
【详解】解：设，可得，
令，可得，令，可得，
可得函数递增区间为，递减区间为，
由函数在区间上仅有一个零点，，
，若，则，显然不符合题意，故，
或，
可得或，
故选C.
【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

（2）、（2022·山西·模拟预测）已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出时，函数有一个零点，故时，函数有两个零点，令，由且解出a的取值范围即可.
【详解】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，
则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．
设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
【变式训练3-1】．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测）已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出的范围．
【详解】，所以函数的图象与直线有两个交点，
作出函数的图象，如下图，

由得，设直线与图象切点为，则，，所以．
由得，，与在原点相切时，，
由得，，与在原点相切时，，
所以直线，，与曲线相切，
由直线与曲线的位置关系可得：
当时有两个交点，即函数恰有两个零点.
故选：C.
【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．
【变式训练3-2】、（2022·云南保山·模拟预测（理））已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出的图象，根据与的图象有个交点来求得的取值范围.
【详解】当时，，的图象向右平移2个单位，
再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，也即在区间上的图象.
以此类推，则在区间上的图象如图所示．
记，若方程恰好有四个实根，
则函数与   的图象有且只有四个公共点，
由图得，点，，，，则，，，，则，所以与的图象有且只有四个公共点时．
故选：D


题型四:根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系
例4．（1）．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式研究、的函数性质，由零点个数知与的交点横坐标一个在上，另一个在上，数形结合可得，且，，进而可得代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.
【详解】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，
函数图象如下：

所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，
要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，
由开口向下且对称轴为，

由上图知：，此时且，，
结合图象及有，，则，
所以，且，
令且，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，故最大值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断与的交点横坐标的范围，进而得到与的关系，代入目标式并构造函数研究最值.

（2）．（2021·普宁市第二中学高三月考）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先画函数图象，再进行数形结合得到和，结合对勾函数单调性解得的范围，即得结果.
【详解】
作出函数的图象，如图所示:

设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
故选：D.
【变式训练4-1】．（2021·云南红河·模拟预测（文））已知函数，若，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，设，则，分析得出，，结合一次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】如下图所示，，则，

由已知可得，由图可知，，则，则，
且、是方程的两个根，所以，
所以.
故选：A.
【变式训练4-2】．（2020·全国·高三零模（文））已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】作出函数的图象及直线，如下图所示，因为函数有个不同的零点，所以由图象可知，，，所以．


题型五:根据零点所在区间，求解析式中参数的范围
例5．（1）、（2017·江苏南通·一模）已知函数的零点在区间内，则正整数的值为________．
【答案】2
【详解】由函数的解析式可得函数在上是增函数，且，，故有，根据函数零点存在性可得函数在区间上存在零点，结合所给的条件可得，故，故答案为2.
（2）、（2021·江西上饶·二模（文））已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可.
【详解】解：由题意，恰有3个正整数解，转换为的图象与的图象交点问题，
作出和的图象，如图：

要使恰有3个正整数解，
则需满足：，
解得：，
故选：A．
【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.

【变式训练5-1】．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】由条件作函数的图象，根据方程有三个不同的实根结合图象求参数的范围.
【详解】由已知当时，，
当时，，
当时，

作函数图象如下，

因为关于x的方程有三个不同的实根，
所以函数的图象与的图象有三个交点，
观察图象可得，
故答案为：.
【变式训练5-2】．（2019·安徽·三模（文））已知函数有唯一的零点，且，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再结合图象确定满足的条件，解得结果.
【详解】令即：，在同一坐标系中分别作出与的图象知，为增函数，而为减函数，要是交点的横坐标落在区间内，必须：
，即：，故选

【点睛】本题考查函数零点，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.

题型六:复合函数的零点问题（自我嵌套）
例6．（1）、（2021·吉林长春外国语学校（理））已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分、两种情况讨论，由可得出的值或取值范围，再分、两类讨论，利用代数法或数形结合思想，利用关于的方程有且只有一个实数根可求得实数的取值范围.
【详解】
令，则.
①当时，若，；若，，得.
所以，由可得或.
如下图所示：

满足的有无数个，方程只有一个解，不合乎题意；
②当时，若，则；若，，得.
所以，由可得，
当时，由，可得，
因为关于的方程有且只有一个实数根，则方程在时无解，
若且时，，故；
若且时，，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
（2）．（2022·全国高三专题练习）设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】
分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】
①当时，由，可得，
当时，由，可得或，
当时，.
即当时，函数只有个零点，不合乎题意；
②当时，由，可得或.
当时，由，可得或，方程无解，
当时，由，即，，
解方程可得，
其中合乎题意，舍去，
所以，方程在时有唯一解，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，
故，解得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
【变式训练6-1】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【分析】
利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】
解：时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
【变式训练6-2】、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；
【详解】令．
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得．
作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．
故选：D．

题型七:复合函数的零点问题（与二次函数嵌套）
例7．（1）、（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（文））设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出的图象，由图象求得与有个交点时，的取值范围.结合一元二次方程零点分布的知识列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】画出函数的图象如下图所示，
令，则方程可化为.
由图可知：当时，与有个交点，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同实数根，
∴，
解得，
∴实数的取值范围为.
故选：B

（2）、（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知函数的值域为，且，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
函数的值域要为，则，又，故，画出函数图象，利用数形结合的方法即可求解
【详解】
根据该分段函数的图象，函数的值域要为，则，
但，，
当时，函数图象如图2所示：
关于的方程有三个不同的实数根，
即有三个不相等的实数根，
由图象可知有两个实数根，则有一个实数根，
，
故选：A．

【变式训练7-1】、（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数，则关于x的函数的零点的个数为（    ）
A．8 B．7 C．5 D．2
【答案】B
【分析】问题转化为要求方程的解的个数，对应于函数或的解的个数．故先根据题意作出的简图，由图可知，函数或的解的个数，可以得出答案．
【详解】根据题意，令，
得或．
作出的简图：

由图象可得当或时，分别有4个和3个交点，
故关于x的函数的零点的个数为7．
故选：B．
【变式训练7-2】．（2021·黑龙江鹤岗一中（理））已知函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
方程左边先进行因式分解得，作出函数的图象如图所示，可得，解不等式即可得到答案；
【详解】
,
或，
作出函数的图象如图所示，
当，，

，解得：，
故选：A.
【点睛】
本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到两条直线与曲线分别要有1个交点和3个交点.

题型八:高考压轴真题训练
例8．（1）、（2007·湖北·高考真题）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（     ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】令，则，作出这两个函数的图象，利用两个函数的图象可得结果.
【详解】令，则，
作出这两个函数的图象，如图：

由图可知，
当时，只有一个大于的根，则方程恰有两个实根；故①为真命题；
当时，由得或，
当时，，当时，或，此时原方程恰有5个实根，故③为真命题；
当时，有两个实根，两个实根在内，此时原方程有8个实根，故④为真命题；
当时，由得，则方程恰有4个实根；此时原方程恰有4个实根，故②为真命题.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造两个函数，利用两个函数的图象求解是本题的解题关键.
（2）、（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】.
【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
  
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.

【变式训练8-1】．（2018·全国·高考真题（理））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
【变式训练8-2】．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．

五、分层训练

A组 基础巩固
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数的零点所在的区间为（   ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】A
【分析】分别求区间端点处的函数值，利用零点存在定理判断零点所在的区间.
【详解】函数是定义在R上的连续递增函数，
，，
由零点存在定理，函数零点所在的区间为（0，1）.
故选：A
2．（2022·重庆八中高一期末）的零点所在区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算各区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断出答案.
【详解】在定义域 上是单调增函数，
,故函数在不存在零点；
，故函数在不存在零点；
，故函数在不存在零点；
，故函数在存在零点；
故选：D.
3．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由题意可得函数的周期为，令可知当时，有两个零点，又因为，即可得出在上的零点个数.
【详解】因为函数满足，所以，
所以函数的周期为，
当时，，
令，解得：或或（舍去），
所以当时，有两个零点，
所以在上的零点个数为，
又因为，所以在上的零点个数为个.
故选：D.
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知函数，则函数的所有零点之和为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】令，则，令，说明这两个函数的图象都关于对称，做出函数图像，结合函数图象即可得出答案.
【详解】解：，
令，则，
令，
因为，，
所以函数得图象关于对称，
因为，所以函数在上递增，
令，则，
所以函数在上递增，
所以函数在上增长得速度越来越快，
，，
如图，作出函数的图象，
由图可知，函数的图象有三个交点，设这三个交点依次为，
则，
所以函数有三个交点，且，
即函数的所有零点之和为3.
故选：D.

5．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（    ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
【答案】D
【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根据的取值范围求出零点个数.
【详解】因为，所以的周期为2，
又因为为奇函数，，
令，得，又，所以，
当时，，
由单调递减得函数在上单调递增，
所以，得，
作出函数图象如图所示，

由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时在上只有3个零点.
当时，有4个零点.
所以当时，函数在上有4个或5个零点.
故选：D
6．（2021·河南·罗山县教学研究室一模（理））已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．(0，1)
【答案】C
【分析】由递增，先求出的范围，再根据恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围.
【详解】
在定义域上单调增，∴，∴，
∵在处切线为，即，
又故与没有公共点
∴与有且仅有一个公共点且为
∴在处的切线的斜率必须大于等于1，
，，∴，∴，
综上：
故选：C.
【点睛】本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题.
7．（2019·安徽·安庆一中模拟预测（理））设函数，若函数有三个零点，则（　　）
A．12 B．11 C．6 D．3
【答案】B
【分析】画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】作出函数的图象如图所示，

令，
由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），
由，可得的值分别为，
则
故选B．
8．（2020·内蒙古·鄂尔多斯市第一中学一模（文））函数，若存在实数，使得方程有三个相异实根，则实数的范围是（  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑时的单调性，再就分别求在的最值，结合存在实数，使得方程有三个相异实根，可得实数的范围.
【详解】解：当时，，
当时，，在为增函数；
当时，，在为减函数；
又，，
因为存在实数，使得方程有三个相异实根，
所以当，的最小值小于2，的最大值大于或等于1，
当，时，，故，解得：；
当，时，总成立，舍去；
综上可得，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数研究函数的单调性，注意先研究不含参数的函数的单调性，再结合函数的零点个数判断另一范围上函数的性质，本题属于难题.
9．（2016·辽宁鞍山·一模（文））设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图象，不妨设，，由数形结合及二次函数图象性质可得，，即可求范围.
【详解】不妨设，，如图所示，，由 ，
故，，故.
故选：D

10．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数的最大值为2，若方程在区间内有三个实数根，且，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程根的问题可转化为函数图象交点的横坐标问题，利用图象，根据对称性即可得出解.
【详解】，由题知，且，
解得，于是．
方程在区间内的实数根，即为在区间内的图象与直线的交点的横坐标，如图所示，

由图象的对称性可知，，即，，所以，
故选：A．
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数，是的导函数，则方程在内实数根的个数是______．
【答案】5
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，由正弦函数的有界性，只需研究与在上的交点个数，结合函数图象即可判断；
【详解】解：因为，所以，即，
即，由于，直线经过点，
所以只要考虑直线和曲线在区间上的交点个数即可，
作出与在上的大致图象，数形结合可知两图象有5个交点，
其中，，

故方程在内实数根的个数是；
故答案为：
12．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函数，则函数的零点个数是______个．
【答案】3
【分析】函数的零点个数等价于函数函数与的交点个数，
作出函数与的图象，结合图象即可求出结果.
【详解】函数有的零点个数等价于函数函数与的交点个数，
作出函数与的图象，如图：
，
由图可知，函数与有3个交点，故函数有的零点个数为3，
故答案为：3.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
13．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））函数的零点个数为_________.
【答案】3
【分析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，

由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.
故答案为：3
42．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））函数的零点个数是__________.
【答案】1
【分析】根据函数的单调性和零点存在定理可判断零点的个数.
【详解】因为均在上为增函数，
故在上为增函数，
而，，
所以的零点个数为1，
故答案为：1.
14．（2021·全国·模拟预测（文））方程的实数根的个数为___________.
【答案】
【分析】转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象可得答案.
【详解】显然不是方程的实数根，所以方程的实数根的个数等于函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象，如下图所示，所以函数的图象与函数的图象的交点个数为，所以方程的实数根的个数为，
故答案为：.

【递减】本题的关键点是转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，考查了学生转化与数形结合的能力.
15．（2022·北京昌平·二模）若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】由零点的概念求解
【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，
故当时，有一解，得
故答案为：（答案不唯一）
16．（2020·云南文山·模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），若有三个零点，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】当时，显然只有一个零点；考虑当时函数有两个零点即可.
【详解】设，

当时， ，单调减，
当时， ，单调增，
所以当时， ；
又当时， ；而令 ，
综上： .
故答案为:
【点睛】此题是利用导数解决函数零点问题，属于中档题.
17．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解.
【详解】解：∵时，，
∴在上的图象与上的图象关于对称，
不妨设，如图：

可得，.
∴.
∴
，.
令，
则原式化为，其对称轴为，开口向上，
∴在上单调递增.∴.
∴的取值范围为.
故答案为：.
18．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知定义在上的奇函数，满足，且当时，，若方程在区间上有四个不同的根，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据函数的条件，判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论．
【详解】解：，
，
即函数的周期是4，
且，
则函数的对称轴为：，是奇函数，
所以也是对称轴，，时，，
函数是增函数，
作出函数的简图如下：

若方程在区间，上
有四个不同的根，，，，
则四个根分别关于和对称，
不妨设，
则，，
则，
故答案为：．





B组 能力提升
19．（2022·山西·一模（文））设函数，若有四个实数根、、、，且，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出图象，分析可知，，，利用对数的运算性质可得出，可得出，利用单调性求出函数在上的值域，即可得解.
【详解】作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为、、、，且，
由图可知，点、关于直线对称，则，
由图可知，，，
由可得，所以，，
所以，可得，
所以，，
易知函数在上为减函数，且，，
故.
故选：A.
20．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，则求出值，可得，由分离参数，结合图象即可求解．
【详解】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，.
当时，由，得；当时，由，得.
结合函数的图象可知，若有3个零点，则．
故选：A

21．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知a>0，函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】写出，根据零点个数转化即可得解.
【详解】， ，

恰有两个零点，
即恰有两个零点，
，恰有两个零点，
，恰有两个零点，
恰有两个零点，
记，

单调递减，
单调递增，


恰有两个零点，
所以.
故选：C
22．（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数，则关于x的函数的零点的个数为（    ）
A．8 B．7 C．5 D．2
【答案】B
【分析】问题转化为要求方程的解的个数，对应于函数或的解的个数．故先根据题意作出的简图，由图可知，函数或的解的个数，可以得出答案．
【详解】根据题意，令，
得或．
作出的简图：

由图象可得当或时，分别有4个和3个交点，
故关于x的函数的零点的个数为7．
故选：B．
23．（2021·甘肃白银·模拟预测（理））已知函数，若函数，则下列结论正确的是（    ）
A．若没有零点，则
B．当时，恰有1个零点
C．当恰有2个零点时，的取值范围为
D．当恰有3个零点时，的取值范围为
【答案】D
【分析】作出的图象，令，可得或，分别讨论在、、、、、、、和情况下，和图象与图象交点个数，即可得零点个数，综合分析，即可得答案.
【详解】作出的图象，如图所示：

令，即，
可得或，即或，
当时，和均无解，此时无零点，
当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；
当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，
，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误；
综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.
故选：D
【点睛】解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.
24．（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
【分析】函数在定义域的零点个数可转化成的根的个数，根据偶函数的图像关于轴对称，只需考虑时的根的个数，从而可得结论.
【详解】当时，
当时，令，解得或2共有两个解；
当时，令，即，当时，方程无解；
当时，，符合题意，方程有1解；
当时，，不符合题意，方程无解；
所以当时，有2个或3个根，而函数是定义在R上的偶函数，所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6.
故选：BC
25．（2020·全国·模拟预测）（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．的解集为
D．，，都有
【答案】CD
【分析】当时，结合函数奇偶性可求出解析式；结合奇偶性和零点的含义可判断函数零点的个数；令，分，两种情况进行讨论，即可求出解集；结合导数求出函数的最大值和最小值，即可判断D.
【详解】当时，，由奇函数定义可知，，故A错误；
对于B，当时，，可知是函数的一个零点．当时，
令，解得，即是函数的一个零点．
由奇函数的性质可知，是函数的一个零点，因此函数有3个零点，
故B错误；
对于C，当时，令，解得，当时，
令，解得，综上可知，
的解集为，故C正确；
对于D，，，都有．当时，
，当时，是增函数，当时，是减函数，
且时，，根据奇函数图象的性质可知，时，
，，可知，故D正确，
故选:CD．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查了函数零点个数的求解，考查了及利用导数研究不等式，属于中档题．
26．（2022·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知函数fx=2x-1,x≤1,x-22,x>1,函数有四个不同的零点，，，，且，则（    ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
【答案】AC
【分析】结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.
【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．
的图象如图所示，由图可知，，，所以，
即的取值范围是，
由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．
故选：AC.

27．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（    ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【分析】由题意设，则在上， 与有相同的零点，即讨论在区间内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.
【详解】，设
则在上， 与有相同的零点.
故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点

当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增.
所以，显然在区间内没有零点.
当时, 令，得，令，得
所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增.
所以
设，则
所以在上单调递减,且
所以存在，使得
要使得在区间内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的的范围是
由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
28．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（    ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
【答案】BC
【分析】由可得或，作函数的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察图象确定的关系，由此判断C，
【详解】的大致图像如图所示，令，即，即或．若有4个零点，则实数t的取值范围为或或，故A项错误；由图可知，当时，有5个零点，故B项正确；当有6个零点时，则，所以，即有，故C项正确；当时，有4个零点，故D项错误，
故选：BC．

29．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知函数，若方程有三个不同的实数根、、，且，则（    ）
A． B．
C． D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】作出函数的图象，数形结合可判断AB选项的正误，利用对数的运算性质可判断C选项的正误，利用利用导数法可判断D选项的正误.
【详解】作出函数与函数的图象如下图所示：

对于A选项，由图可知，当当时，方程有三个不同的实数根，A正确；
对于B选项，由图可知，，，解得，此时，
B正确；
对于C选项，当时，；当时，.
由图可知，，由可得，即，
所以，，C错误；
对于D选项，因为，所以，且，
记，，则，
令，得（舍去），
所以当时，，当时，，
所以的极小值也是最小值，，
，，所以的取值范围是，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
30．（2015·江苏南通·一模）设函数满足，且当时，．若在区间内，存在个不同的实数，使得，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【详解】试题分析：，，当时，，，在直角坐标系内作出函数的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为（利用导数解决：设切点为则，因此斜率为）．结合图形可知，满足题意得实数的取值范围为．
考点：函数零点，导数应用
31．（2022·广东茂名·一模）已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是___________
【答案】
【分析】不妨设，结合函数图像可得，从而得出，即可得出答案.
【详解】不妨设，由图可得，，
所以即，
由得，，所以的取值范围是
故答案为：

32．（2022·广东·模拟预测）设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由解析式画出函数图象，若且、为的两根，结合图像可知：、，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【详解】由题设，的图象如下图示：

令，则化为，
∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，
∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，
综上，.
故答案为：.



C组 真题实战练
33．（2017·天津·高考真题（文））已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；

当时，函数图象如图所示，排除B选项，

本题选择A选项.
34．（2012·北京·高考真题（文））函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B
【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数
35．（2015·湖南·高考真题（理））已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围
【详解】有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意

②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意

④时，单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点

综上可得，或
故答案为：
【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
36．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则
【答案】
【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.
【详解】解：定义在R上的奇函数，所以，，
又，所以，8是函数的一个周期，
所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像:

有图像知，，所以，
故答案为：
【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.