考点19 直线和圆的方程（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练

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考点19 直线和圆的方程（核心考点讲与练）

一、直线与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠)，则k＝tan__θ.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
二、 两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
三、 圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
四、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ0，b>0)对称，则＋的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（       ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
7．（2022·海南海口·模拟预测）已知a>0，圆C：，则（       ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
8．（2022·重庆·二模）已知点，过直线上一点作圆的切线，切点分别为，则（       ）
A．以线段为直径的圆必过圆心
B．以线段为直径的圆的面积的最小值为
C．四边形的面积的最小值为4
D．直线在轴上的截距的绝对值之和的最小值为4
三、填空题
9.（2021浙江省高三高考数学预测卷（二））已知直线，若直线与直线平行，则实数的值为______，动直线被圆截得弦长的最小值为______．
四、解答题
10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求a.




圆与圆的位置关系
1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教学质量检测）已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2.（2021江苏省盐城市伍佑中学高三第一次阶段考试）已知，分别为圆：与：的直径，则的取值范围为________．
直线与圆的综合问题
1.过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）动点与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为，，，（逆时针方向），且点到，，的距离分别为，，．若，则点的轨迹是________；点到点的最大距离为________．

1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+
4.（2021年全国高考甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．






一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(       )
A．2 B． C．1 D．
2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直线与直线垂直，则m=（       ）
A．-2 B． C．2 D．
3．（2022·天津河西·一模）抛物线的准线与圆相交于A，B两点，则（       ）．
A．2 B． C．4 D．
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知直线恒过定点M，点N在曲线上，若（O为坐标原点），则的面积为（       ）
A． B．2 C． D．
5．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（       ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022·山西临汾·三模（理））已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（       ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
二、多选题
7．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(       )
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－2）到l的距离相等，则l的方程可能是（       ）
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知Р是圆上的动点，直线与交于点Q，则（       ）
A．
B．直线与圆O相切
C．直线与圆O截得弦长为
D．长最大值为
10．（2022·湖北·二模）设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（       ）
A．直线l过定点
B．当取得最小值时，
C．当最小时，其余弦值为
D．的最大值为24
11．（2022·广东深圳·二模）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（       ）
A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上
三、填空题
12．（2022·河北唐山·二模）若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．
13．（2022·上海宝山·二模）已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为__．
14．（2022·重庆八中模拟预测）已知点A为圆和在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆，于C，D两点（C，D异于点A），且，则直线CD的斜率是___________.
四、解答题
15．（2022·山东淄博·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且．
(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．




16．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，动直线过与相交于，两点．
(1)当轴时，求的内切圆的方程；
(2)求内切圆半径的最大值．