江苏省苏州市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附答案）

江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，，则下列结论错误的是（    ）

A．  B．

C．  D．

2．已知a，，那么“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1050km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（    ）

A．2200km B．1650km C．1100km D．550km

4．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．4

6．设函数．若对任意的实数x都成立，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

7．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

8．定义：正割，余割．已知m为正实数，且对任意的实数均成立，则m的最小值为（　　）

A．1 B．4 C．8 D．9

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9．下列选项中，与的值相等的是（　　）

A．  B．

C．  D．

10．下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数有（　　）

A．  B．

C．  D．

11．函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（　　）

A．的最小正周期为

B．是的最小值

C．在区间上的值域为

D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

12．若，，则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若对任意a＞0且，函数的图象都过定点P，且点P在角的终边上，则______．

14．已知，则的值为______．

15．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则______．

16．设函数，则______，若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）求实数a的取值范围，使_____成立．

从①，②，③中选择一个填入横线处并解答．

18．（12分）已知二次函数（a，b，c均为常数，），若和3是函数的两个零点，且最大值为4．

（1）求函数的解析式；

（2）试确定一个区间D，使得在区间D内单调递减，且不等式在区间D上恒成立．

19．（12分）已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（12分）设a，b为实数，已知定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域．

21．（12分）为了研究其种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为8，14，26．根据实验数据，用y表示第t（）天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且．

（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；

（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500．

22．（12分）若函数在定义域内存在实数x满足，，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”．

（1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”并说明理由；

（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；

（3）对于任意的实数，函数恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合．

江苏省苏州市2022—2023学年高一上学期期末数学试题

【参考答案】

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】分别根据交集，并集，补集的定义即可求出．

【解答】解：，，，则，，，．

故选：C．

【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础题．

2．【分析】由对数不等式和指数不等式的解法，结合充分必要条件的定义，可得结论．

【解答】解：，，

由可推得，但，不可推得，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】本题考查不等式的解法和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．

3．【分析】利用弧长公式即可求解．

【解答】解：因为昆仑站距离地球南极点约1050km，地球每自转，

所以由弧长公式得：．

故选：C．

【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．

4．【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过n次操作后，区间的长度为，据此可得，解可得n的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，原来区间[0，1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为，若，即．

故选：C．

【点评】本题考查二分法的定义和运用，注意二分法区间长度的变化，考查运算能力和推理能力，属于基础题．

5．【分析】由，可判断，，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值

【解答】解：∵，

∴，，

∵（当且仅当时取等号），

∴，

解可得，，即ab的最小值为，

故选：C．

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题

6．【分析】根据恒成立，得到当时，函数取得最大值，利用最值性质进行求解即可．

【解答】解：若对任意的实数x都成立，

则是的最大值，

即， ，

即，，

∵，∴当时，ω取得最小值为，

故选：C．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定当时，函数取得最大值是解决本题的关键．

7．【分析】由条件知，，可得．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式．

【解答】解：幂函数在上单调递减，故，解得，

又，故或2，

当时，的图象关于y轴对称，满足题意，

当时，的图象不关于y轴对称，舍去，故，

不等式化为，

函数在和上单调递减，

故或或，解得或．

故选：D．

【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．

8．【分析】先将原不等式化简，再利用均值不等式求最值即可．

【解答】解：由已知得，

即．

因为，所以，

则，

当且仅当时等号成立，故．

故选：D．

【点评】本题考查三角函数同角关系式，基本不等式，属于基础题．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9．【分析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D．

【解答】解：.

对于A，；

对于B，；

对于C，；

对于D，因为，可得.

∴与的值相等的是ABD．

故选：ABD．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是基础题．

10．【分析】根据指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，逐一进行检验即可求解．

【解答】解：，定义域为R，又，故函数为偶函数，

当时，单递增，故A正确；

要使函数有意义，则有，定义域不关于对称．故不为偶函数，故B错误；

，对称轴，函数在上单调递增，且为偶函数，故C正确；

，定义域关于原点对称，且，故不为偶函数，故D错误．

故选：AC．

【点评】本题主要考查指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，属于基础题．

11．【分析】由题意的图象过点，可得，利用五点作图法可得φ，可求函数解析式为，进而利用正弦函数的性质即可得出结论．

【解答】解：由题意的图象过点，

可得，

可得，

利用五点作图法可得，

可得，

对于A，的最小正周期为，正确；

对于B，，正确；

对于C，由，可得，可得，

可得，错误；

对于D，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，

可得到函数的图象，正确．

故选：ABD．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．

12．【分析】首先推得，，由不等式的性质和二次函数的性质，可得结论．

【解答】解：若，，则，，

则，且，，，

故，，故A正确，B正确；

，故C错误；

若，，则，故D错误．

故选：AB．

【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解．

【解答】解：令，求得，，

可得函数（，）的图象经过定点，

所以点P在角θ的终边上，则．

故答案为：．

【点评】本题主要考查指数函数的特殊点，任意角的三角函数的定义，属于基础题．

14．【解答】解：∵，

则

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了利用诱导公式及拆角技巧在三角化简求值中的应用，属于中档试题．

15．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程，求出是周期为4的周期函数，根据条件建立方程求出a，b的值即可．

【解答】解：∵是奇函数，是偶函数，

∴，

则，则，

即是周期为4的周期函数，

则时，，则，

∵，∴，

即，

则，得，，

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质和对应，建立方程求出a，b的值是解决本题的关键，是中档题．

16．【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围；

【解答】解：函数，则．

时，，，，对称轴为：，开口向下，

函数的最大值为：，时，，函数的图象如图所示，

方程有且仅有1个不同的实数根，

则函数与有且只有1个交点，则实数b的取值范围是：．

故答案为：;．

【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【分析】（1）由对数不等式和二次不等式的解法，化简集合A，B，再由并集的定义可得所求集合；

（2）选①②，分别求得A，B的补集，再由集合的包含关系可得a的不等式组，可得所求取值范围；选③，求得A的补集，由交集的定义可得所求取值范围．

【解答】解：（1）集合，

，所以；

（2）选①，由，

可得，

所以或，

解得或，

则a的取值范围是

选②，由，，

所以或，解得或，

则a的取值范围是；

选③，由，，

可得，解得，

则a的取值范围是．

【点评】本题考查集合的运算、集合的关系和不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

18．【分析】（1）利用零点的定义以及二次函数的性质，列出方程组，求出a，b，c的值，即可得到答案；

（2）利用二次函数的性质，求出的单调区间，将不等式转化为在区间D上恒成立，求出不等式的解集，结合题意，即可得到答案．

【解答】解：（1）二次函数且和3是函数的两个零点，且最大值为4，

所以解得，，，

所以；

（2）函数的图象开口向下，对称轴为，

则函数在上单调递增，在区间上单调递减，

由不等式在区间D上恒成立，

则在区间D上恒成立，

即在区间D上恒成立，

由不等式，可得，

所以不等式的解集为，

要使得在区间D内单调递减，且不等式在区间D上恒成立，

则，

故可取区间．

【点评】本题考查了二次函数图象与性质的应用，二次函数解析式的求解，函数零点的理解与应用，二次函数单调性的应用，不等式恒成立的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

19．【分析】（1）由同角三角函数的关系，可得和的值，再由二倍角公式，得解；

（2）先由二倍角公式求得的值，再由同角三角函数的平方关系求得的值，根据，结合两角差的余弦公式，可得的值，最后确定的正负性，即可得解．

【解答】解：（1）因为为锐角，且，所以，，

所以．

（2）由（1）知，，

因为，为锐角，，所以，

，

因为，所以，

因为，为锐角，且，所以，

所以．

【点评】本题主要考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角差的余弦公式和同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

20．【分析】（1）根据已知可得，，列方程组可求解a，b的值，从而可得的解析式；

（2）利用定义法即可证明单调性，利用函数的单调性即可求得值域．

【解答】解：（1）因为是定义在R上的奇函数，

所以，可得①，且其图象经过点，可得②，

联立①②，解得，，所以，

，满足是奇函数，

所以的解析式为．

（2）证明：设任意且，

则，

因为，所以，所以，，，

所以，，

所以为R上的增函数，

在上单调递增，，，

所以在上的值域为．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的证明，函数值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

21．【分析】（1）对于函数模型①：把及相应y值代入，能求出函数模型的解析式．

对于函数模型②：把及相应y值代入，能求出函数模型的解析式．

（2）对于模型①，当和代入，得到模型①不符合观测数据；对于模型②，当和代入，得到函数模型②更合适．要使，则，由此能求出从第8天开始该微生物的群落单位数量超过50．

【解答】解：（1）对于函数模型①：把及相应y值代入，

得，解得，，，所以；

对于函数模型②：把及相应y值代入得：，

解得，，，所以．

（2）对于模型①，当时，；当时，，故模型①不符合观测数据；

对于模型②，当时，；当时，，符合观测数据，所以函数模型②更合适．

要使，则 ，即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500．

【点评】本题考查函数模型的应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，是中档题．

22．【分析】（1）根据题意，由“二阶局部奇函数”可得，即，变形可得的值，结合θ的范围分析可得答案，

（2）根据题意，分析可得在区间上有解，变形可得，据此分析可得答案；

（3）根据题意，可得在R上有解，则有，即有解，结合二次函数性质分析可得答案．

【解答】解：（1）由题意得，是上的“二阶局部奇函数”，

证明：函数，若，即，

即，

变形可得：，即，则，

又由，则有，

故是上的“二阶局部奇函数”，

（2）由题意得，函数是上的“一阶局部奇函数”，

即在区间上有解，

又由，

即，

（3）由题意得，函数恒为R上的“k阶局部奇函数”，

即在R上有解，

则有即有解，

当时，，满足题意，

当时，对于任意的实数，

变形可得，解可得：，

由，故．

【点评】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“k阶局部奇函数”的定义，属于综合题