人教版九年级数学下册课件 27.2 相似三角形（多课时）

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27.2 相似三角形第7课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入 埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了金字塔的高度．你知道他是怎样测量的吗？今天我们就利用这些知识测量一些不能直接测量的物体的高度吧.新课精讲探索新知1知识点利用光照下的影子 对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的．但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度．结合右面的图形，大家思考如何求出高度.探索新知利用阳光下的影子测高：(1)构造相似三角形，如图.(2)测量数据：AB (身高)，BC (人影长)，BE (旗杆影长)；待求数据：DE (旗杆高)．(3)计算理由： 因为AC∥DB (平行光)，所以∠ACB＝∠DBE. 因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)， 所以△ABC∽△DEB，有探索新知测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示.探索新知(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性．(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平行光线．(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．探索新知例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF 长2 m，它的影长FD 为3 m，测得OA为201 m， 求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？ 探索新知太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°， ∴ △ ABO∽ △DEF.∴ ∴因此金字塔的高度为134 m.解：探索新知利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高．典题精讲在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高度是多少？设这栋楼的高度是x m．由题意得解得x＝54.因此这栋楼的高度是54 m.解：典题精讲如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB 的高度，使用长为2 m的竹竿CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O 处重合，测得OD＝4 m，BD＝14 m，则旗杆AB 的高为________m. 9探索新知2知识点利用工具 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2 m，又测得地面部分的影长2.7 m，他求得的树高是多少?问 题探索新知解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E， 因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m， 由 所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m). 答：这棵树的高为4.2 m． 可得AE=3 m，探索新知1.与测量有关的概念： (1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点． (2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物体的视线间 的夹角称为仰角． (3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区．2.测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边，利用视点和盲区 的知识构造相似三角形．探索新知3.测量方法：如图，观测者的眼睛C 必须与标杆的顶端D 和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要垂直，测量出标杆的高度DF， 人眼离地面的高度CE，人与标杆的距离EF，标杆与物体的距离FG. 利用相似三角形“对应边的比相等”的性质求物体的高度AG.探索新知 利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测，在日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的身高和臂长等作为测量工具．探索新知例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和CD = 12 m， 两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面1. 6 m. 她 沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低 的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了？探索新知分析：如图 ，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG， 分别交AB，CD 于点H，K．视线FA 与FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮 挡， 区域Ⅰ和Ⅱ ，观察者都看不到.探索新知解：如图，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位 置点E 与两棵树的顶端A，C 恰在一条直线上. ∵AB⊥l，CD ⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH ∽△CEK. ∴ 即 解得EH=8(m). 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距 离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的 顶端C.探索新知 解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．典题精讲如图，测得BD = 120 m，DC =60m，EC =50 m，求河宽AB.∵∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△EC D.∴解得AB＝100 m.因此河宽AB 为100 m．　解：典题精讲如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m．　5.5探索新知3知识点利用镜子反射 若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗？ 用镜面反射(如图，点A是一面小镜子，根据光的反射定 律：由入射角等于反射角构造相似三角形)． 分析：根据光的反射定律由入射 角等于反射角构造△AOB 与△AFE 相似，即可利用 对应边的比相等求出BO．问 题探索新知利用相似三角形测量的一般步骤：利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进行测量，一般要经历以下几个步骤：(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任　 意一组对应边的长度；(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括 未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；(4)检验并得出答案．探索新知例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一　　 个目标点P，在近岸取点Q 和 S，使点P，Q，S 共线且 直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，确定PT 与 过点Q 且垂直PS 的直线b 的交 点R．已 测得QS = 45 m， ST = 90 m，QR = 60 m，请 根据这些数据，计算河宽PQ. 探索新知解： ∵ ∠PQR= ∠PST =90°, ∠P = ∠P, ∴ △PQR ∽ △PST. ∴ 即 PQ×90=(PQ+45) ×60. 解得 PQ = 90(m). 因此，河宽大约为90 m.探索新知 测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离．典题精讲如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意 图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射 后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD， 测得AB＝2 m，BP＝3 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度 CD 是________．8 m典题精讲如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (DE＝BC＝0.5米，A，B，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG＝15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB 约为(　　)A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米A学以致用小试牛刀如图，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)(　　)A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m1C小试牛刀济南大明湖畔的“超然楼”被称为“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的高度CD约为(　　)A．47 m B．51 m C．53 m D．54 m2B小试牛刀如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是(　　)A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m3C小试牛刀4 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果 保留根号)；(2)求旗杆CD 的高度.小试牛刀　解：(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)；小试牛刀(2)求旗杆CD 的高度.　解：小试牛刀5 如图，我们想要测量河两岸相对两点A，B 之间的距离(即河宽)，你有什么方法？小试牛刀　解：小试牛刀小试牛刀6 某中学平整的操场上有一根旗杆(如图)，一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具(皮尺、标杆)可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求：(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a，b，c…表示)．小试牛刀(1)画出你设计的测量平面图；解：小试牛刀(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a，b，c …表示)．解：小试牛刀7 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF 恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8 m的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6 m，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军的身高BE.(结果精确到0.01 m)小试牛刀　解：课堂小结课堂小结一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面： 1 . 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)； 2 . 测距(不能直接测量的两点间的距离).、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 .、测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.