三年山东中考数学模拟题分类汇编---方程与不等式

这是一份三年山东中考数学模拟题分类汇编---方程与不等式，共28页。
三年山东中考数学模拟题分类汇编
---方程与不等式
一．选择题（共26小题）
1．（2022•平原县模拟）某部门组织调运一批防疫物资支援某疫情高风险区，一运送物资车开往距离出发地150千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后接到物资告急通知，以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前20分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2022•兰陵县二模）某班组织学生去距学校16千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，走了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学的3倍，设骑车同学的平均速度是x千米/时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022•博山区二模）定义运算：x※y＝（x﹣y）（x﹣y+1）+1，如3※2＝（3﹣2）x（3﹣2+1）+1＝3，则方程x※2＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
4．（2022•博山区二模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a≥2 C．1＜a≤2 D．1≤a＜2
5．（2022•张店区二模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝x+2的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2022•阳谷县二模）不等式组的整数解的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022•淄川区二模）现采购北京冬奥会吉祥物两种大礼包，甲种礼包里面含有4个冰墩墩和1个雪容融，乙种礼包里面含有3个冰墩墩和2个雪容融，现在需要37个冰墩墩和18个雪容融，则需要采购甲种礼包的数量为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2022•沂水县二模）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差4元的2种快餐各1份，结账时，店员说：你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．这位同学想了想说：我还是只多买1瓶指定饮料吧，要求你以最便宜的方式给我结账，这位同学要付的金额是（　　）

A．56 B．57 C．58 D．60
9．（2022•泗水县二模）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．1.5（1+2x）＝4.8
B．1.5×2（1+x）＝4.8
C．1.5（1+x）2＝4.8
D．1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.8
10．（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x12﹣+1的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
11．（2021•沂南县二模）不等式组解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2021•蒙阴县模拟）“五一”假期，小萌一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程120km，线路二全程144km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上时速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少40分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2021•潍城区二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
14．（2021•沂水县一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托．设绳索长x托，则符合题意的方程是（　　）
A．2x＝（x﹣1）﹣1 B．2x＝（x+1）+1
C．x＝（x+1）+1 D．x＝（x﹣1）﹣1
15．（2021•博山区一模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
16．（2021•临沭县二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
17．（2021•莱芜区三模）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＞
18．（2021•滨城区一模）如果不等式组的解集是x＜3，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m≥ C．m＜3 D．m≥3
19．（2021•市中区一模）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．当方程有实数根时k≤2
B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2
C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根
D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|
20．（2021•沂南县二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用根绳子去量一根木条．绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
21．（2020•高青县二模）下列结论正确的是（　　）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
22．（2020•河东区一模）随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
23．（2020•济宁一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
24．（2020•临清市二模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k
25．（2020•山东模拟）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞2 B．k＜2且k≠1 C．k≥2 D．k≤2且k≠1
26．（2020•金乡县一模）如果关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k≤1且k≠0
二．填空题（共4小题）
27．（2020•庆云县模拟）不等式组的解集是　 　．
28．（2020•历城区一模）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为　 　．
29．（2020•德城区一模）关于x的方程ax2﹣x+1＝0有实根，则实数a的范围为　 　．
30．（2020•莒县模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　 　．

三年山东中考数学模拟题分类汇编---方程与不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．（2022•平原县模拟）某部门组织调运一批防疫物资支援某疫情高风险区，一运送物资车开往距离出发地150千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后接到物资告急通知，以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前20分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设原计划速度为x千米/小时，根据“一运送物资车开往距离出发地150千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶”，则实际的时间为：+1，根据“实际比原计划提前20分钟到达目的地”，列出关于x的分式方程，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
原计划的时间为：，
实际的时间为：+1，
∵实际比原计划提前20分钟到达目的地，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022•兰陵县二模）某班组织学生去距学校16千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，走了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学的3倍，设骑车同学的平均速度是x千米/时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】关键描述语：“走了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间﹣乘车同学所用时间＝．
【解答】解：若设骑车同学的平均速度是x千米/时，则汽车的平均速度为3x千米/时．
根据题意，列方程得．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3．（2022•博山区二模）定义运算：x※y＝（x﹣y）（x﹣y+1）+1，如3※2＝（3﹣2）x（3﹣2+1）+1＝3，则方程x※2＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【考点】根的判别式；实数的运算；一元一次方程的解．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】方程利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，即可作出判断．
【解答】解：根据题中的新定义得：（x﹣2）（x﹣2+1）+1＝0，
整理得：x2﹣3x+3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×3＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4．（2022•博山区二模）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a≥2 C．1＜a≤2 D．1≤a＜2
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】求出第二个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x＜6，得x＜2，
由x＞a且不等式组无解，
可得a≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（2022•张店区二模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝x+2的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】方程整理后，求出根的判别式的值，即可作出判断．
【解答】解：将原方程整理得：x2﹣x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣）2﹣4×1×（﹣4）＝＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
6．（2022•阳谷县二模）不等式组的整数解的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的个数即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x＞﹣，
由②得：x＜，
∴不等式组的解集为﹣＜x＜，
则整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，共5个．
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
7．（2022•淄川区二模）现采购北京冬奥会吉祥物两种大礼包，甲种礼包里面含有4个冰墩墩和1个雪容融，乙种礼包里面含有3个冰墩墩和2个雪容融，现在需要37个冰墩墩和18个雪容融，则需要采购甲种礼包的数量为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设需要采购甲种礼包x个，乙种礼包y个，根据采购的两种礼包中包含37个冰墩墩和18个雪容融，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设需要采购甲种礼包x个，乙种礼包y个，
依题意得：，
解得：．
∴需要采购甲种礼包4个，乙种礼包7个．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2022•沂水县二模）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差4元的2种快餐各1份，结账时，店员说：你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．这位同学想了想说：我还是只多买1瓶指定饮料吧，要求你以最便宜的方式给我结账，这位同学要付的金额是（　　）

A．56 B．57 C．58 D．60
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+4）元，根据购买2组优惠价的套餐的金额与只买2份快餐的金额一样，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其价格较高的快餐搭配1瓶指定饮料，求出该同学应付金额即可得出结论．
【解答】解：设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+4）元，
依题意得：x+（x+4）＝29×2，
解得：x＝27，
∴x+4＝27+4＝31，
∴这位同学要付的金额是x+29＝27+29＝56．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2022•泗水县二模）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．1.5（1+2x）＝4.8
B．1.5×2（1+x）＝4.8
C．1.5（1+x）2＝4.8
D．1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.8
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由4月份第1周接到订单数及周平均增长率，可得出第2周接到1.5（1+x）万件订单，第3周接到1.5（1+x）2万件订单，根据前3周共接到4.8万件订单，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵4月份第1周接到1.5万件订单，且第1周到第3周订单的周平均增长率为x，
∴第2周接到1.5（1+x）万件订单，第3周接到1.5（1+x）2万件订单．
依题意得：1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.8．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x12﹣+1的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12+1＝2022x1，则x12﹣+1变形为2022×，再根据根与系数的关系得到x1x2＝1，然后利用整体的方法计算即可．
【解答】解：∵x＝x1为方程x2﹣2022x+1＝0的根，
∴x12﹣2022x1+1＝0，
∴x12+1＝2022x1，
∴x12﹣+1＝2022x1﹣＝2022×，
∵方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1x2＝1，
∴x12﹣+1＝2022×＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
11．（2021•沂南县二模）不等式组解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可．
【解答】解：，
解①得x≥﹣2；
解②x＜1，
表示到数轴上如下：
，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．
12．（2021•蒙阴县模拟）“五一”假期，小萌一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程120km，线路二全程144km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上时速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少40分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少40分钟，列方程即可．
【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
13．（2021•潍城区二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
14．（2021•沂水县一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托．设绳索长x托，则符合题意的方程是（　　）
A．2x＝（x﹣1）﹣1 B．2x＝（x+1）+1
C．x＝（x+1）+1 D．x＝（x﹣1）﹣1
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣1）尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣1）尺，
依题意，得：x＝（x﹣1）﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2021•博山区一模）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，求出a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，得出a2+a＝2022，把a2+2a+b变形后（a2+a）+（a+b）进行计算即可．
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2022，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
16．（2021•临沭县二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，
依题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17．（2021•莱芜区三模）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＞
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤且k≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
18．（2021•滨城区一模）如果不等式组的解集是x＜3，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜ B．m≥ C．m＜3 D．m≥3
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式＜1﹣，得：x＜3，
∵x＜m且不等式组的解集为x＜3，
∴m≥3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2021•市中区一模）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．当方程有实数根时k≤2
B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2
C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根
D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】根据一元二次方程的解，结合根的判别式解答即可．
【解答】解：A、原方程可以化为（x﹣1）2＝k，当k≥0时，方程有实数解，故A不正确．
B、当k＝1时，则x2﹣2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2．故B正确；
C、∵当k≥0时，方程有实数根，
∴当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；故C正确；
D、当k≥0时，由（x﹣1）2＝k可以求得x＝1±，
则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|．故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键．
20．（2021•沂南县二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用根绳子去量一根木条．绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据“用根绳子去量一根木条．绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（2020•高青县二模）下列结论正确的是（　　）
A．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
B．如果a＞b，那么
C．如果a＞b，那么
D．如果，那么a＜b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵c＞d，
∴﹣c＜﹣d，
∴如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d不一定成立，
∴选项A不符合题意；

∵b＝0时，无意义，
∴选项B不符合题意；

∵a＞0＞b时，＞，
∴选项C不符合题意；

∵如果，那么a＜b，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
22．（2020•河东区一模）随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题；分式方程及应用．
【分析】根据“第一次购买的单价＝第二次购买的单价”可列方程．
【解答】解：设该书店第一次购进x套，
根据题意可列方程：＝，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
23．（2020•济宁一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣×绳长＝1，据此列方程组即可求解．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
24．（2020•临清市二模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；符号意识；运算能力．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
25．（2020•山东模拟）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞2 B．k＜2且k≠1 C．k≥2 D．k≤2且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）＜0，然后求出两个不等式解的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）＜0，
解得k＞2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
26．（2020•金乡县一模）如果关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k≤1且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有不相等的实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0．
【解答】解：根据题意得：4﹣4k＞0且k≠0，
解得：k＜1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
二．填空题（共4小题）
27．（2020•庆云县模拟）不等式组的解集是　﹣2≤x＜3　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式≤，得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
故答案为：﹣2≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
28．（2020•历城区一模）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为　5　．
【考点】解二元一次方程组；整式的加减．
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．
【解答】解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，
则a＝2，
故a+b＝5．
方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
∴2a+2b＝10，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
29．（2020•德城区一模）关于x的方程ax2﹣x+1＝0有实根，则实数a的范围为　a≤　．
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的方程ax2﹣x+1＝0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式的值是一个非负数，由此即可求出a的取值范围；（2）当a＝0时，方程为﹣x+1＝0，此时一定有解．
【解答】解：（1）当a＝0时，方程为﹣x+1＝0，此时一定有解；
（2）当a≠0时，方程ax2﹣x+1＝0为一元二次方程，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4a≥0，
∴a≤．
所以根据两种情况得a的取值范围是a≤．
故答案为：a≤．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义．
30．（2020•莒县模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＜1且m≠0　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】判别式法．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：m＜1且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．

考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
4．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
5．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
6．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
10．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
13．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
14．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
15．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
16．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
17．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案。