人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算随堂练习题

向量的数量积

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知，与的夹角为60°，求：

(1)；

(2)；

(3).

2．已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．

(1)若与垂直，求；

(2)若，求的最小值及对应的的值.

3．已知向量，满足，，．

(1)求；

(2)若，求实数k的值．

4．如图，在△ABC中，，，，，．

(1)设，求x，y的值，并求；

(2)求的值．

5．已知中，，，B是中的最大角，若，试判断的形状．

二、填空题

6．已知等边的边长为3，则________

7．在边长为2的等边三角形中，，，则______．

8．如图中，，，，，且，则__.

9．若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.

10．已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．

11．已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.

12．已知向量的夹角为，，，则______．

13．已知向量，满足，，，则_________.

14．已知，，，则向量与向量的夹角为_______．

15．已知向量满足，，与的夹角为，则在上的投影为________．

16．已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______；

三、单选题

17．已知菱形的边长为a，，则（    ）

A． B． C． D．

18．已知平行四边形ABCD满足，，，，，（    ）

A．6 B．10 C．14 D．

19．已知平面向量均为非零向量，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．

C．若，则 D．若，则

20．对于非零向量，，，给出下列结论：

①若，，则；                ②若，则；

③；                        ④

其中正确结论的有（    ）

A．①④ B．①③ C．②③ D．①③④

21．已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为

A． B． C． D．

22．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

23．已知向量满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

24．已知单位向量，满足，若向量，则＝（    ）

A． B． C． D．

25．已知非零向量满足，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

26．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

27．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

28．已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ）

A．12 B．8 C．-8 D．2

29．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（    ）

A．2 B． C． D．

30．在四边形ABCD中，若，则该四边形为（    ）

A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形

31．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（    ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

32．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形

四、多选题

33．设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（    ）

A． B．

C． D．

34．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（    ）

A． B．与的夹角为

C． D．在上的投影向量为

35．设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（    ）

A．与的夹角为 B．

C．的最小值为 D．的最小值为

参考答案：

1．(1)；

(2)；

(3)

【分析】利用数量积的定义及运算律即可得到答案

【详解】（1）；

（2）；

（3）

2．(1)

(2)时，最小值为

【分析】（1）由数量积为0求得后可得；

（2）把平方转化为数量积的运算得的函数，由函数可得最小值．

【详解】（1）因为与垂直，

所以，

所以，，

所以，

；

（2）

，

所以时，取得最小值．

3．(1)6

(2)或2

【分析】（1）先求出的平方，进而求出；

（2）根据向量垂直得到方程，求出实数k的值.

【详解】（1）．

所以；

（2）由题意可得：，即，

∴，解得：或2，

所以实数k的值是-1或2.

4．(1)，；

(2).

【分析】（1）以为基底，由向量的线性运算求出，再由向量数量积的运算性质求模即可；

（2）根据向量的线性运算转化为基底表示，再由数量积的运算求解即可.

【详解】（1），，

，

，

.

（2）

.

5．锐角三角形

【解析】设是与的夹角，由知，即为钝角，又角B是中最大角，所以为锐角三角形.

【详解】如图，设是与的夹角，则，故，所以为钝角，

故可得为锐角．又角B是中最大角，所以为锐角三角形．

【点睛】本题考查向量的数量积，由数量积的符号判断夹角的大小，属于基础题.

6．

【分析】根据平面数量积概念求解即可.

【详解】.

故答案为：

7．##

【分析】把均用基底表示，再利用数量积运算求解

【详解】因为，所以为的中点即，

∵，∴，

∴

.

故答案为：

8．

【分析】结合已知条件，首先用与表示出和，然后利用数量积的定义即可求解.

【详解】由中，，，，

则，，

又，且，即，

故，即，

从而，

故，

因为，

所以.

故答案为：.

9．6

【分析】根据两向量垂直，可得到=0，展开化简即可求出值.

【详解】因为，所以，因为，所以，

即，又是单位向量，所以，即.

故答案为：

10．2

【分析】由已知条件可得的值，再由可得，通过计算即可求出的值.

【详解】因为，所以，即.

又，,与的夹角为，则，

所以．

故答案为：2.

11．11

【分析】根据数量积公式，可得的值，由题意得，展开计算，即可得答案.

【详解】因为平面向量，的夹角为，且，

所以，

因为，

所以，

所以，解得，

故答案为：11.

12．

【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果.

【详解】解：因为向量的夹角为，，，

所以，

因此，，

故答案为：.

13．

【分析】根据数量积的性质求向量的模长，解得，再次利用数量积的性质，求得答案.

【详解】由可得，，即，解得：，所以．

故答案为：．

14．##

【分析】化简，结合平面向量数量积的定义可求出向量与向量的夹角

【详解】设向量与向量的夹角为，

因为，，，

所以，

得，

因为，所以，

故答案为：

15．

【分析】根据数量积的定义求解的值，再根据投影的定义求解的值即可.

【详解】解：由于，，与的夹角为，则

则在上的投影为：.

故答案为：.

16．

【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得.

【详解】因为，

所以向量在上的投影向量为.

故答案为：.

17．D

【分析】由题意易知，，，则可求出的值.

【详解】由题意可知，在中，，

，又，

所以.

故选：D.

18．C

【分析】先判断出，然后利用向量数量积的运算求得正确答案.

【详解】由于，两边平方并化简得，所以，

所以

.

故选：C

19．A

【分析】由共线向量、相等向量、向量的数量积依次判断4个选项即可.

【详解】对于A，由可得同向，又分别表示方向上的单位向量，故，A正确；

对于B，，两者不一定相等，B错误；

对于C，只能得到模长相等，方向不确定，C错误；

对于D，当，时，成立，但不成立，D错误.

故选：A.

20．A

【分析】根据向量共线定义判断①，由数量积定义判断②，由向量模的定义判断③，把模转化数量积运算判断④．

【详解】为，，是非零向量，因此由，，知与，与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，可得，①正确；

，当时也成立，不能得出，②错；

由三角形的性质，模的几何意义得，③错；

，④正确．

故选：A．

21．D

【详解】

，

∵，∴，即，

∴，∴，

∴.

22．C

【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算．

【详解】由已知得，，，

，所以.

故选：C．

23．C

【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.

【详解】，，

又，，，

设与的夹角为，

，

从而，所以与的夹角.

故选：C

24．B

【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出.

【详解】因为，是单位向量，

所以，

又因为，，

所以，

，

所以，

因为，

所以．

故选：B．

25．B

【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可.

【详解】解：因为，所以，所以，

由得，所以，

设向量与的夹角为，则，

又，所以．

故选：B.

26．B

【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.

【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，

所以，且，

所以，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：B

27．B

【分析】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.

【详解】延长，交于点，如图所示，

，，

，

又，

向量在向量上的投影向量为，

故选：B.

28．A

【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.

【详解】在方向上投影向量为，

，.

故选：A

29．B

【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.

【详解】解：因为在方向上的投影向量为，

所以，

所以，

因为与垂直，

所以，

即，解得.

故选：B.

30．B

【分析】由结合向量的加减法法则可得，再由得，从而可判断出四边形的形状.

【详解】由得，

所以，∥，

所以四边形ABCD为平行四边形，

又，所以．

所以四边形ABCD为矩形

故选：B

31．C

【分析】结合向量运算以及平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识，确定正确答案.

【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形．

由，，

所以，所以四边形ABCD为菱形．

故选：C

32．A

【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状.

【详解】由题知，所以，即．

因为，所以，即，

所以．

又因为，所以，

所以，即，

两边同时平方并展开化简可得，即，所以．

综上可知，的形状是等腰直角三角形．

故选：A．

33．BC

【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.

【详解】设与的夹角为，

对于A, 当为锐角时，不一定相等，故A错误，

对于B. 当为锐角时，=，成立，

当为钝角时，=，成立，

当为直角时，成立，故正确；

对于C.,故C对，

对于D. ，故D错误.

故选：BC.

34．BC

【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.

【详解】，,

,解得,故A错误

,，

由于，与的夹角为，故B正确,

,故C正确

在上的投影向量为，故D错误,

故选：BC

35．BD

【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.

【详解】对：设的夹角为，，

两边平方可得：，

即对任意的恒成立，

故可得：，即，

则，又，故，故错误；

对：，故正确；

对：

，当且仅当时取得等号，故错误；

对：

，对，当且仅当时取得最小值，

故的最小值为，故正确.

故选：.