数学必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题

人教A版（2019） 必修第二册 实战演练 第六章  课时练习11平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．

2．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.

3．已知为坐标原点，向量，，，．

（1）求证：；

（2）若是等腰三角形，求的值．

4．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：

(1)，分别对该质点做的功；

(2)，的合力对该质点做的功.

5．已知，，一动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为.另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？

二、单选题

6．在平行四边形中，，则当时，该平行四边形为

A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都不正确

7．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（    ）

A．(－2，－2) B．(2，－2)

C．(－1,2) D．(－2,2)

8．两个大小相等的共点力,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为

A．40N B． C． D．

9．点是三角形所在平面内的一点，满足，则点是的

A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点 D．三条高的交点

10．长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（    ）

A． B． C． D．

三、多选题

11．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

12．设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（    ）

A．若，则的形状为等边三角形

B．若，则点M是边BC的中点

C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心

D．若，则点M在边BC的延长线上

四、填空题

13．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．

14．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s．

参考答案：

1．证明见解析

【解析】先由题意，得到，设，根据三角形相似，推出，，再由向量的线性运算，得到，即可得出结论成立．

【详解】证明：由题意，，，∴．

设，则．

同理．

于是．

∴，∴．

【点睛】本题主要考查向量的应用，熟记向量的共线定理，以及向量的线性运算法则即可，属于常考题型．

2．

【分析】如图建立平面直角坐标系，求出，，以及位移的坐标，进而可得合力的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算即可求解.

【详解】如图建立平面直角坐标系，

由题意可得，，，位移，

所以，

所以合力所做的功为，

3．（1）见解析；（2）

【分析】（1）先求，再求.

（2）由（1）可知,且，由数形结合可知，若是等腰三角形，则,转化为三角函数的方程求解.

【详解】（1）∵，∴，∴．

（2）若是等腰三角形，则，

，

∴，整理得：，

解得，或，∵，∴，．

【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，意在考查三角函数和向量的综合运算，属于基础计算问题，本题的难点是第二问，若三角形时等腰三角形，需结合数形结合分析只有.

4．(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；

(2)（）.

【分析】（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；

（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.

(1)

根据题意，，，，

故对该质点做的功（）；

对该质点做的功（）.

(2)

根据题意，，的合力，

故，的合力对该质点做的功（）.

5．

【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解.

【详解】根据题意，易知，

，

两式相减得，，

由，，，得，

因为，所以，解得.

故当时，所需的时间t为.

6．B

【分析】由，根据向量的运算，求得，得到，即，即可得到答案.

【详解】由题意知，向量满足，即，

解得，所以，即，所以平行四边形为矩形，故选B.

【点睛】本题主要考查了向量的运算性质的应用，以及四边形形状的判定，其中解答中熟记向量的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．D

【分析】根据向量加法运算坐标表示公式，结合相反向量的定义进行求解即可.

【详解】因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)，

所以F1F2F3，要想使该物体保持平衡，

只需F4 ，

故选：D

8．B

【解析】作出示意图，根据向量加法的平行四边形法则求出两个力的大小，再求合力．

【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，为这两个力的合力．

由题意，易知，∴，

当它们的夹角为120°时，以为邻边作平行四边形，

此平行四边形为菱形，此时合力的大小，

故选：B．

【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题．

9．D

【详解】，，即，，同理可以得到，点是的三条高的交点，故选

点睛：在三角形,若是的垂心（即三边高线的交点），则满足，反之成立；若是的重心（即三边中线的交点），则满足,反之成立．

10．D

【分析】设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可.

【详解】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，

要使得游船正好到达处，则，即，

又因为，所以，

故选：D.

11．AD

【解析】由条件可得，再两边平方即可得答案.

【详解】∵P是所在平面内一点，且，

∴，

即，

∴，

两边平方并化简得，

∴，

∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，

故不可能是钝角三角形，等边三角形，

故选：AD.

【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.

12．AB

【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.

【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，

由，得，

即，结合三角形性质易知，，

同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；

对于选项B，由，得，即，

因此点M是边BC的中点，故B正确；

对于选项C，如图当过点时，，

由，得，则直线经过的中点，

同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；

对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.

故选：AB.

13．10 J

【详解】由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小

|F|＝×20 N＝10 N，

∴W＝|F|·|s|＝10 J.

或由斜面高为m，W＝|G|·h＝20×J＝10 J.

答案为10 J

14．

【分析】“垂直于河岸方向10m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即10是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边形的边长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度．

【详解】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，

河水速度v2=2m/s平行于河岸；

静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．

∴静水速度v1=m/s．

故答案为．

【点睛】本题考查小船的静水速度的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的加法法则的合理运用．