高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用复习练习题

这是一份高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用复习练习题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，多选题等内容，欢迎下载使用。
余弦定理、正弦定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在中，角的对边分别为.若，则的值为（    ）
A．1 B． C． D．
2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（    ）
A． B．1 C．2 D．3
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ）
A． B． C．3 D．
4．在中，若，，，则的周长等于（    ）
A．8 B．16 C．10 D．20
5．已知分别是内角所对的边，是方程的两个根，且，则（    ）
A． B． C． D．
6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（    ）
A． B． C．2 D．3
7．在中，已知，则（    ）
A．1 B． C．2 D．4
8．在中，若，则（    ）
A． B． C． D．
9．若的三边长分别为、、，则该三角形最大角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
10．在中，，，，则的形状是（    ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
11．在中，若，，，则
A．19 B．-19 C．38 D．-38
12．在中，，则的值为（    ）
A． B．－ C．－ D．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（    ）
A． B． C． D．
14．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（    ）
A． B． C． D．
15．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（    ）
A． B． C． D．
16．已知的内角A，B，C所对的边分别是，，则（    ）
A． B． C． D．
17．在中，角的对边分别是，若，则的大小为（    ）
A． B． C． D．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
19．在中，若，则该三角形一定是（    ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（    ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
21．在中，（分别为角的对边），则一定是（    ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
22．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（    ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
23．在中，若，，则一定是（    ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
24．在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（   ）
A． B．
C． D．
25．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）．
A． B． C． D．
26．在中，若，，，则角的值是（    ）
A． B． C． D．或
27．已知中，，，，则（    ）
A． B． C．或 D．或
28．在中，A＝30°， C＝45°， c＝，则a的值为（    ）
A．2 B．1 C． D．
29．中，，，，则（    ）
A． B．2 C． D．1
30．在中，若，则b等于（    ）
A． B． C． D．
31．在中，如果，那么的长为（    ）
A．72 B． C． D．30
32．在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
33．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个条件中能够使角A被唯一确定的是（    ）
①；②；③，；④，b＝2，．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
34．若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
35．在中，角的对边分别为，，则的形状是（    ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
36．已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
37．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（    ）
A． B． C． D．
38．已知分别为三个内角的对边，且，则为（    ）
A． B． C． D．
39．在△中，内角的对边分别是，且，则等于（    ）
A．1 B． C．3 D．
40．在中，，则外接圆的半径为（    ）
A． B． C．2 D．4
41．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（    ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
42．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（    ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为钝角三角形，则
C．若，则为等腰直角三角形
D．若，，，则符合条件的只有一个
43．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（    ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
44．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
45．若ABC的内角A，B，C所对的边分别为，已知，且，则（    ）
A．3 B． C． D．
46．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
47．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
48．已知在中，，，，则的面积为（    ）
A．3 B． C．6 D．
49．在中，，，，则的面积等于（    ）
A． B． C． D．
50．在中，内角所对的边分别为，且，则的面积为（    ）
A． B．2 C．3 D．
51．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为（    ）
A． B． C． D．
52．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则△ABC的面积为（    ）
A． B． C． D．
53．已知分别为三个内角的对边，且，则（    ）
A．3 B． C．6 D．
54．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（    ）
A． B．2 C． D．3

二、填空题
55．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是__________．
56．已知三个内角、、的对边分别为、、，若，则的最小值为_____.
57．在中，若，则_____．
58．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________.
①，，；
②，，；
③，，；
④，，.
59．在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________．

三、多选题
60．设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（    ）
A． B． C． D．
61．在三角形中，，若三角形有两解，则的可能取值为（    ）
A． B．1.1 C． D．1.01

参考答案：
1．A
【分析】由余弦定理直接求解即可.
【详解】在中，已知，，，
由余弦定理得：.
所以.
故选：A.
2．C
【分析】利用余弦定理列出关于b的方程，解之即可求得b的值.
【详解】由余弦定理得，
即，解得，或（舍去）.
故选：C．
3．A
【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值.
【详解】，∴，
∴.
故选：A.
4．C
【分析】由已知条件利用余弦定理求出，从而可求出的周长
【详解】因为，，，
由余弦定理得，
所以.
所以的周长为.
故选：C.
5．B
【分析】利用余弦定理去求的值.
【详解】是方程的两个根，则有，
则
故选：B
6．D
【分析】根据余弦定理，将已知量代入即可解得答案.
【详解】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.
故选：D.
7．C
【分析】直接利用余弦定理即可求得.
【详解】在中，已知，即为，
由余弦定理得：,解得：（边长大于0，所以舍去）
即.
故选：C
8．B
【分析】利用余弦定理求解可得.
【详解】由余弦定理得,
将各值代入并整理得，
解得或(舍去),
故选:B.
9．A
【分析】先利用大边对大角，确定最大角，进而利用余弦定理进行求解.
【详解】因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为，
则
故选：A
10．C
【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解.
【详解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
11．B
【解析】根据三角形的三边长，求出三角形内角的余弦值，所求角与两向量的夹角互补，然后求向量的数量积．
【详解】在中，若，，，
所以
又因为两向量的夹角与角互补，所以

【点睛】本题考查解三角形问题与数量积，解题的关键是注意三角形中所求角与两向量的夹角互补，属于简单题．
12．C
【分析】由题意可设，再根据余弦定理求解即可.
【详解】解：因为，
所以设，
由余弦定理可得.
故选：C.
13．B
【分析】直接利用余弦定理计算可得.
【详解】解：因为，所以．
故选：B
14．D
【分析】由余弦定理即可求解.
【详解】解：因为，
所以由余弦定理可得，
因为，
所以，
故选：D.
15．B
【分析】由已知利用余弦定理的推论可得，结合范围，可求角得值.
【详解】解：

由余弦定理的推论，可得，
又

故选：B.
16．B
【分析】由已知，根据题意，可使用余弦定理直接求解出.
【详解】，即，
由余弦定理得：.
故选：B.
17．B
【分析】化简已知等式可求得，由此可得.
【详解】，
，则，
又，.
故选：B.
18．A
【分析】根据可解得，代入余弦定理整理计算．
【详解】由得，或（舍），.
故选：A．
19．A
【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果.
【详解】因为，
所以由余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，
故选：A
20．A
【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形.
【详解】∵，
∴，
由余弦定理可得：，
整理可得：，①
∵，
∴，②
由①②得，
∴该三角形是直角三角形.
故选：A
21．B
【分析】根据二倍角公式将已知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断.
【详解】∵，∴，即，根据余弦定理可得
，整理得，由勾股定理知，为直角三角形.
故选：B
22．B
【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，
又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
故选：B.
23．A
【分析】由，利用余弦定理可求，再利用三角形内角的关系结合两角和与差的三角函数可求，进而可得三角形的形状.
【详解】解：由 ，根据余弦定理，故，所以，所以，，所以，
所以，因为，所以，即，所以，
因为，所以，
所以，从而.所以三角形为等边三角形，
故选:
24．D
【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，
于是得，，解得，而有，即，
所以最大边的取值范围是：.
故选：D
25．B
【分析】由正弦定理直接求解即可.
【详解】解：因为，，，
由正弦定理得.
故选：B.
26．D
【分析】利用正弦定理求出，再根据三角内角和定理计算可得.
【详解】解：，，，
，
，
或，
或.
故选：D
27．A
【分析】利用正弦定理与大边对大角、小边对小角即可求解.
【详解】根据正弦定理，得，故，
因为，所以或，
又因为，所以，故.
故选：A.
28．B
【分析】由正弦定理即可求解.
【详解】解：因为在中，A＝30°， C＝45°， c＝，
所以由正弦定理可得，即，
故选：B.
29．B
【分析】先利用三角形内角和定理求角B，然后由正弦定理可得.
【详解】因为，，所以
由正弦定理知：，所以.
故选：B
30．C
【分析】先利用两角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求解.
【详解】解：在中，因为，
所以，
所以
，
由得．
故选：C
31．D
【分析】利用同角关系式及正弦定理即得.
【详解】在中，因为，
所以，
又，
所以．
故选：D.
32．C
【分析】根据正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.
【详解】由正弦定理，得，
得，
因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.
故选：C.
33．B
【分析】利用同角三角函数的基本关系，三角函数的图像与性质以及正弦定理，再结合三角形的图象逐项检验即可求解.
【详解】对于①，则或，故①不满足题意；对于②，则，故②满足题意；对于③，，则，，，∵，∴，∴，则角被唯一确定，故③满足题意；对于④，，，∵，∴如图所示，角不唯一，故④不满足题意．

故选：B．
34．B
【分析】令，再利用余弦定理得解.
【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，
由余弦定理可得，所以角为直角.
故是直角三角形．
故选：B．
35．D
【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解.
【详解】由及正弦定理，得,
在中，，所以,
所以，即，于是有，
因为所以
所以,即，
所以的形状是等腰三角形.
故选：D.
36．D
【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.
【详解】由及正弦定理，得,
因为，所以,
所以,即，
当时，因为，所以，
当时，所以，即，
因为所以，
所以为等腰或直角三角形.
故选：D.
37．D
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，求出，再结合角的取值范围，即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理可得，
所以，即，
因为，所以，因为，所以.
故选：D.
38．D
【分析】利用正弦定理边化角可化简求得，由此可得.
【详解】由正弦定理得：，
，，，即，
，.
故选：D.
39．A
【分析】根据正弦定理，结合已知条件，即可容易求得结果.
【详解】在三角形中，
由正弦定理可得：.
故选：A.
40．C
【分析】先求得，结合正弦定理，即可求解.
【详解】因为，可得，
由正弦定理得外接圆的半径．
故选：C.
41．B
【分析】根据正余弦定理中，边角互化即可求解.
【详解】对于A:由正弦定理以及得，因为,所以,故是等边三角形，故A对，
对B:由以及正弦定理得：,
由于，因此,或者,即,或者，故为等腰三角形或者直角三角形，故B错误，
对C:由正弦定理得,
由于在中，,因此可得,
由于,故,故C正确，
对于D:由得，故为钝角，因此D正确
故选：B
42．D
【分析】A选项，只能证明A为锐角，不能说明B和C的大小，故不能得到是锐角三角形；B选项，不确定哪个角是钝角，所以可能大于0，也可能小于0；C选项，由正弦定理得到或，得到为等腰三角形或直角三角形，故C错误；由余弦定理求出，确定三角形个数为1个.
【详解】，则，只能说明A为锐角，
不能说明B和C的大小，故不能得到是锐角三角形，A错误；
若为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角，若角A为锐角，则，
若角A为钝角，则，B错误；
，由正弦定理得：，即，
所以或，故或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
由余弦定理得：，
因为，所以，故符合条件的只有1个，D正确.
故选：D
43．B
【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到△ABC为等腰三角形.
【详解】因为，，所以，
所以由正弦定理和余弦定理得，
化简得，所以，所以△ABC为等腰三角形.
故选：B
44．B
【分析】利用正弦定理可得，根据三角形性质和边角互化得出，，解方程组可得结果.
【详解】因为，所以，即；
因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.
故选：B.
45．D
【分析】利用正弦定理得到，再利用余弦定理和得到.
【详解】因为，所以，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得：.
故选：D
46．A
【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.
【详解】由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，
所以，而，
则且，
又，当时的最大值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值.
47．C
【分析】由已知及正弦定理得，结合余弦定理得，结合正弦定理对化简求解.
【详解】由已知及正弦定理得，所以，所以＝.
故选：C.
48．B
【分析】首先求出，再根据面积公式计算可得；
【详解】解：因为，A为三角内角，所以，
所以；
故选：B
49．D
【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可
【详解】由可得，
又，解得，，
又由可得，
所以的面积为，
故选：D
50．A
【分析】利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，可得，利用平方关系可得的值，利用正弦定理角化边可得的关系式，利用余弦定理可解得的值，进而得到的值，利用三角形面积公式即可求解.
【详解】解：由正弦定理得，∵，
∴
，
∵，∴，
∴，由正弦定理得，∴，
由余弦定理得，
解得，∴，∴．
故选：A．
51．A
【分析】由结合三角形的内角和得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，，即可求出△ABC的面积.
【详解】因为，则，所以得：，
又即，
由正弦定理可得：，即，
有余弦定理可得：，
即，解得：，，
则△ABC的面积为.
故选：A.
52．A
【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积．
【详解】因为，故，
而，故，
故，故三角形的面积为，
故选：A．
53．A
【分析】根据正弦定理可得，由三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式可得，由三角形内角的范围可得，再由面积公式即可求解.
【详解】由正弦定理及得.
又因为在中，，
所以，整理得.
因为在，，所以，即.
又因为，所以.
又，所以.
故选:A.
54．B
【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，结合余弦定理及正弦定理即可求解.
【详解】因为，，三角形的面积，
所以,即，解得，
由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得,解得.
故选：B.
55．
【详解】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足
，解得，
∴实数的取值范围是．
答案：
点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．
56．
【解析】利用二倍角的降幂公式以及余弦定理推导出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由余弦定理得，
所以，则，∴，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形中的最值是一种常见的类型，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求解；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性来求解.
57．##
【分析】根据正弦定理直接代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得，即
故答案为:
58．①④
【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确.
【详解】对于①，由正弦定理得：，
，，即，，则三角形有唯一解，①正确；
对于②，由正弦定理得：，
，，即，或，则三角形有两解，②错误；
对于③，由正弦定理得：，无解，③错误；
对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确.
故答案为：①④.
59．
【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，根据的度数确定出的范围，要使三角形有两解确定出的具体范围，利用正弦函数的值域求出的范围即可
【详解】解：由可得
因为，所以
要使三角形有两解，所以且
所以，即，解得，
故答案为：
60．BD
【分析】由正弦定理求角．
【详解】解：正弦定理得，又，，
，，则，，故或，
或
故选：BD．
61．BD
【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足，即可求解.
【详解】若三角形有两解，则满足，故，
故选：BD