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2023高中数学必修一全册期末总复习
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这是一份2023高中数学必修一全册期末总复习，文件包含专题15导数的综合应用教学案-解析版doc、专题14导数在函数研究中的应用教学案-解析版doc、专题12函数模型及其应用教学案-解析版doc、专题01集合的概念与运算教学案-解析版doc、专题11函数的图象教学案-解析版doc、专题17同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案-解析版doc、专题13导数的概念及其运算教学案-解析版1doc、专题18三角函数的图象和性质教学案-解析版doc、专题05函数的单调性与最值教学案-解析版doc、专题08函数与方程教学案-解析版doc、专题04函数及其表示教学案-解析版doc、专题10对数函数教学案-解析版doc、专题09指数函数教学案-解析版doc、专题06函数的奇偶性与周期性教学案-解析版doc、专题16任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案-解析版doc、专题07二次函数与幂函数教学案-解析版doc、专题03充分条件必要条件与命题的四种形式教学案-解析版doc、专题02命题与量词基本逻辑联结词教学案-解析版doc等18份试卷配套教学资源，其中试卷共357页， 欢迎下载使用。
专题05 函数的单调性与最值（教学案）
1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；
2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；
3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．
1．函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当[来源:学科网ZXXK][来源:学科网][来源:学科网][来源:Z§xx§k.Com]
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．学-科网
【特别提醒】
1．函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．
2．函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；
如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．
3．单调区间的表示
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
高频考点一 确定函数的单调性(区间)
例1、(1)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
(2)解 法一 设－1
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
法二 f′(x)＝
＝＝－.学+科网
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.
【方法规律】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．
(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
【变式探究】 判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．
解 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明如下：
法二 f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，
解得x>或x<－(舍)．
令f′(x)<0，则1－<0，解得－
高频考点二 函数的最值
例2、(1)已知函数f(x)＝
则f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________．
(2)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)且a≤1.
①当a＝时，求函数f(x)的最小值；
②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
(1)解析 ①由于f(x)＝
所以f(3)＝log3＝－1，
则f(f(3))＝f(－1)＝－3，
②当x>1时，f(x)＝logx是减函数，得f(x)<0.
当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.
答案 －3 1
(2)解 ①当a＝时，f(x)＝x＋＋2，设1≤x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，
∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，
∴0＜＜，1－＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
②当x∈[1，＋∞)时，>0恒成立．
则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)上恒成立．
即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，
∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.
又a≤1，
∴当－30在x∈[1，＋∞)上恒成立．
故实数a的取值范围是(－3，1]．
【方法规律】(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②均值不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．
(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．学——科网
【变式探究】 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
解析 根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，
则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为
f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)
＝log28＋log22＝4.
答案 C
高频考点三 函数单调性的应用
例3、 (2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(2|a－1|)>f(－)＝f()，
因此2|a－1|<＝2，又y＝2x是增函数，
∴|a－1|<，解得
【变式探究】(1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式f(logx)>0可化为
f(logx)>f或f(logx)>f，
∴logx>或－
答案 (1) (2)
【方法规律】(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
1.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得．
2.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
3.【2016高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
, ,
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得,
也有
∴②正确
故选D.
【2015高考湖北，理6】已知符号函数 是上的增函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数 知，.
【2015高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）
①；②；③；④；⑤.
【答案】①③④⑤
【解析】令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，
，要使方程仅有一根，则或者
，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.
（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
【答案】A
【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】D
（2014·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
【答案】1 【解析】由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.
（2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．对于f(x)＝aln(x＋2)＋ (x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．
（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
当
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当
(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，
则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.
故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以
因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－2
从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.
又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)
综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．
（2013·四川卷）已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，
B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1
(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值；
(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．
(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.
因为x1
因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，
当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立．
所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.
(3)当x1x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<0
y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，
即y＝(2x1＋2)x－x＋a.
当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为
y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<0
设h(x1)＝x－ln(2x1＋2)－1(－1
所以，h(x1)(－1
所以a>－ln 2－1.
又当x1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，
所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
（2013·四川卷）设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )
A．[1，e] B．[e－1－1，1]
C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]
【答案】A
当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0，
当x∈时，ex＞＞1，0>－2x＋1≥－1，
故g′(x)＞0.
综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．
（2013·四川卷）函数y＝的图像大致是( )
图1－5
【答案】C 【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；
当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．
（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
【答案】C
1．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( )
A．－2 B．2 C．－6 D．6
解析 由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.
答案 C
2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析 ∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性．∴A，B，C不满足题意．只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数．
答案 D
3．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a
解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
答案 C
4．已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
∴f(2)
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8，9] C．[8，9] D．(0，8)
解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
所以有解得8
6．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析 由题意知g(x)＝
函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1)．
答案 [0，1)
7．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
解析 由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案 3
8．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－
＝(x1－x2).
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋，
当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.
11．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝( )
A．4 B．2 C. D.
12．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( )
A．[0，3] B．(1，3)
C．[2－，2＋] D．(2－，2＋)
解析 由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，
所以－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，
解得2－
答案 D
13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析 依题意，h(x)＝
当0
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案 1
14．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
则f(x)min＝f(2)＝ln.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．学=科网
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).
专题05 函数的单调性与最值（教学案）
1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；
2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；
3.与导数交汇命题，以解答题形式考查．
1．函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当[来源:学科网ZXXK][来源:学科网][来源:学科网][来源:Z§xx§k.Com]
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．学-科网
【特别提醒】
1．函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．
2．函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；
如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．
3．单调区间的表示
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
高频考点一 确定函数的单调性(区间)
例1、(1)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
(2)解 法一 设－1
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
法二 f′(x)＝
＝＝－.学+科网
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.
【方法规律】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．
(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
【变式探究】 判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．
解 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明如下：
法二 f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，
解得x>或x<－(舍)．
令f′(x)<0，则1－<0，解得－
高频考点二 函数的最值
例2、(1)已知函数f(x)＝
则f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________．
(2)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)且a≤1.
①当a＝时，求函数f(x)的最小值；
②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
(1)解析 ①由于f(x)＝
所以f(3)＝log3＝－1，
则f(f(3))＝f(－1)＝－3，
②当x>1时，f(x)＝logx是减函数，得f(x)<0.
当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.
答案 －3 1
(2)解 ①当a＝时，f(x)＝x＋＋2，设1≤x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，
∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，
∴0＜＜，1－＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
②当x∈[1，＋∞)时，>0恒成立．
则x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)上恒成立．
即a>－(x2＋2x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)，
∴g(x)在[1，＋∞)上是减函数，g(x)max＝g(1)＝－3.
又a≤1，
∴当－3
故实数a的取值范围是(－3，1]．
【方法规律】(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②均值不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．
(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．学——科网
【变式探究】 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
解析 根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，
则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为
f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)
＝log28＋log22＝4.
答案 C
高频考点三 函数单调性的应用
例3、 (2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(2|a－1|)>f(－)＝f()，
因此2|a－1|<＝2，又y＝2x是增函数，
∴|a－1|<，解得
【变式探究】(1)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
(2)∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又f＝0，知f＝－f＝0.
故原不等式f(logx)>0可化为
f(logx)>f或f(logx)>f，
∴logx>或－
答案 (1) (2)
【方法规律】(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
1.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得．
2.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
3.【2016高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
, ,
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得,
也有
∴②正确
故选D.
【2015高考湖北，理6】已知符号函数 是上的增函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数 知，.
【2015高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）
①；②；③；④；⑤.
【答案】①③④⑤
【解析】令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，
，要使方程仅有一根，则或者
，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.
（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
【答案】A
【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】D
（2014·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
【答案】1 【解析】由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.
（2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．对于f(x)＝aln(x＋2)＋ (x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．
（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
当
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当
(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，
则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.
故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以
因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－2
从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.
又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)
综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．
（2013·四川卷）已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，
B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1
(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值；
(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．
(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.
因为x1
因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，
当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立．
所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.
(3)当x1
y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，
即y＝(2x1＋2)x－x＋a.
当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为
y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<0
设h(x1)＝x－ln(2x1＋2)－1(－1
所以，h(x1)(－1
所以a>－ln 2－1.
又当x1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，
所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
（2013·四川卷）设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )
A．[1，e] B．[e－1－1，1]
C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]
【答案】A
当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0，
当x∈时，ex＞＞1，0>－2x＋1≥－1，
故g′(x)＞0.
综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．
（2013·四川卷）函数y＝的图像大致是( )
图1－5
【答案】C 【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；
当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．
（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
【答案】C
1．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( )
A．－2 B．2 C．－6 D．6
解析 由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.
答案 C
2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析 ∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具备单调性．∴A，B，C不满足题意．只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数．
答案 D
3．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a
解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
答案 C
4．已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
∴f(2)
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8，9] C．[8，9] D．(0，8)
解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
所以有解得8
6．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析 由题意知g(x)＝
函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1)．
答案 [0，1)
7．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
解析 由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案 3
8．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－
＝(x1－x2).
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋，
当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.
11．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝( )
A．4 B．2 C. D.
12．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( )
A．[0，3] B．(1，3)
C．[2－，2＋] D．(2－，2＋)
解析 由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，
所以－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，
解得2－
答案 D
13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析 依题意，h(x)＝
当0
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案 1
14．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
则f(x)min＝f(2)＝ln.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．学=科网
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).
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