河北省邢台市部分学校2023届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

河北省邢台市部分学校2023届高三上学期12月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知，则在复平面内，其共轭复数所对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、已知非零向量，的夹角余弦值为，且，则(   )

A.2 B. C. D.1

3、已知中，点D为边AC中点，点G为所在平面内一点，则“”为“点G为重心”(   )条件

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分也不必要

4、已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中错误的是(   )

A. B. C. D.

5、已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6、如图，圆内接四边形ABCD中，，，，，，现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为(   )

A. B. C. D.

7、如图，在平行四边形ABCD中，，，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则的最大值是(   )

A. B. C. D.

8、已知函数，若存在x使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列命题中真命题有(   )

A.集合，，若，则实数a的取值集合为

B.数列的前n项和为，若，，则，

C.若定义域为R的函数是奇函数，函数为偶函数，则

D.若，，分别表示，的面积，则

10、已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列说法错误的是(   )

A.线段AB为平面外的线段，若A，B两点到平面的距离相等，则

B.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等

C.若，，则

D.若，，则

11、折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动(包括端点)，则下列结论正确的有(   )

A.在方向上的投影向量为

B.若，则

C.

D.的最小值是

12、如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折到的位置，连接和，N为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是(   )

A.面面

B.线段CN长度的取值范围为

C.直线AM和CN所成的角始终为

D.当三棱锥的体积最大时，点C在三棱锥外接球的外部

三、填空题

13、已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是__________.

14、在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱AB，AD，两两夹角都为，且，，，M，N分别为，的中点，则MN与AC所成角的余弦值为__________.

15、已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，抛物线与双曲线交于C，D两点，记直线AC，BD的斜率分别为，，则为__________.

16、如图，在棱长均为2的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则的最小值是__________.

四、解答题

17、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，，，过B作于点D，点E为线段BD的中点.

(1)求c；

(2)求的值.

18、已知数列的前n项和为，等差数列满足，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

19、为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.

(1)类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为5，，，求此四面体的体积；

(2)已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体ABCD(设，，)时，给出如下结论：①等腰四面体的外接球半径为；②等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗?给出理由.

20、已知椭圆的左，右顶点分别，，上顶点为B，，C的长轴长比短轴长大4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点(异于点)，且，证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标.

21、如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥.

(1)在翻折过程中是否总有平面平面PAG?证明你的结论；

(2)当四棱锥体积最大时，求点B到面PDG的距离；

(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为?若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

22、已知函数，，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，，使得，求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：略

2、答案：A

解析：略

3、答案：C

解析：，则，

所以，所以G为BD的靠近BD的三等分点，所以点G为重心，

充分性成立，若点G为重心，由重心性质知，故，必要性成立，故为“点G为重心”充要条件.故选：C.

4、答案：D

解析：设等差数列的公差为d，，，成等比数列，，即，，解得或(舍去)，，

对于A：，故A正确；

对于B：，，，故B正确；

对于C，D：，，故C正确，D错误，故选：D.

5、答案：B

解析：略

6、答案：C

解析：略

7、答案：C

解析：略

8、答案：C

解析：略

9、答案：CD

解析：略

10、答案：ABC

解析：对A，线段AB为平面外的线段.若A，B两点到平面的距离相等，则或AB中点在平面内，故A错误；

对B，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故B错误；

对C，若，，则或，故C错误；

对D，由线面垂直的性质可得，若，，则，故D正确；故选：ABC.

11、答案：ABD

解析：略

12、答案：AC

解析：略

13、答案：且

解析：，，且与的夹角为锐角，，解得，但当，即时，两向量同向，应舍去，的取值范围为：且且，故答案为：且.

14、答案：

解析：略

15、答案：或

解析：根据题意，，，将拋物线与双曲线的方程联立有：

，

解得：或，由于要求，所以，从而，，不妨设，，从而，，从而

16、答案：

解析：因为，均为等边三角形，E为AB的中点，则，，，平面，平面，平面，平面平面CDE，过点M在平面ABC内作，因为平面平面CDE，平面平面，平面，平面CDE，连接DG，则DG为DM在平面CDE上的射影，要使最小，则，沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG重合，则的最小值为A到DG的距离.

，，

则，所以，，

，

所以，

.

又，所以，.故答案为：.

17、答案：(1)4

(2)

解析：(1)依题意，，解得

(2)由余弦定理得，

，

，解得，

所以.

18、答案：(1)，

(2)

解析：(1)当时，；

当时，，当时也符合，所以.

由题意，，

设等差数列的公差为d，则，，故.

综上，

(2)由(1)知：，

①

②

得：

即：，

.

19、答案：(1)24

(2)①正确；②错误；理由见解析

解析：(1)如图，长方体中的四面体是对棱相等的四面体，

其中，，，设，，，

则，解得：，，，

则，，

(2)设长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，由(1)可知，

，即，

等腰四面体的外接球就是所在长方体的外接球，所以，则，故①正确；

假设4个面都是直角三角形，设，

则AD是直角三角形ABD和ACD的斜边，取AD的中点O，连结OB，OC，

则，那么，O，B，C三点共线，此时，不能构成四面体，

所以等腰四面体的四个面不能都是直角三角形，故②错误.

20、答案：(1)

(2)，证明过程见解析

解析：(1)由题意知：，

因为为锐角，故，

由题意知：，解得：，

故椭圆方程为.

(2)根据题意，设直线l的方程为，，将直线方程与椭圆方程联立可得：，

则，即.

设，，则，.

因为，根据向量加法与减法的几何意义可得：，

则，因为，，

所以

，

也即，

整理化简可得：，

解得：或，此时均满足，

当时，直线l的方程为，过定点；

当时，直线l的方程为，过定点，

此时定点与点重合，故舍去，

综上，直线l恒过定点，定点坐标为.

21、答案：(1)总有平面平面PAG，证明详见解析

(2)

(3)存在，Q是PA的中点，理由见解析.

解析：(1)折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以，

由于M，N分别是边BC，CD的中点，所以，

所以，

折叠过程中，，，，GP，平面PAG，

所以平面PAG，

所以平面PAG，

由于平面PBD，所以平面平面PAG.

(2)当平面平面MNDB时，四棱锥体积最大，

由于平面平面，平面PMN，，

所以平面MNDB，由于平面MNDB，所以，

由此以G为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

依题意可知，，，，

设平面PDG的法向量为，

则，故可设，

所以P到平面PDG的距离为.

(3)存在，理由如下：

，，

设，则

，

平面PMN的法向量为，

，

设平面QDN的法向量为，

则，

故可设，

设平面QDN与平面PMN所成角为，

由于平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为，

所以，

解得或(舍去)，

所以当Q是PA的中点时，平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为.

22、答案：(1)单调性见解析

(2)

解析：(1)由题意知：的定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，令有，故当，则；若，则；

在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)当时，，；，；

恒成立，不合题意；

当时，取，，

则，符合题意；

当时，若，，使得，则；

由(1)知：；

，，在上单调递增，

，

，即，，解得：；

综上所述：实数a的取值范围为.