福建省泉州、三明、龙岩三市三校2022-2023学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州、三明、龙岩三市三校2022-2023学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的一个方向向量是( )
A.B.C.D.
2、抛物线的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
3、已知双曲线的两个焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
4、若直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则( )
A.B.C.D.以上都有可能
5、等差数列的前n项和，，，则( )
A.9B.12C.30D.45
6、在棱长为1的正方体中，P为棱中点，异面直线BP与所成的角的余弦值是( )
A.B.C.D.
7、数列的前n项和，则当取最小值时n是( )
A.2或3B.2C.3D.3或4
8、已知椭圆，点P是椭圆第一象限上的点，直线l是椭圆在点P处的切线，直线l分别交两坐标轴于点M，N.则面积的最小值是( )
A.2B.4C.D.
二、多项选择题
9、在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则下列四个选项中正确的有( )
A.B.C.D.
10、直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
11、在等差数列中，公差，，则下列一定成立的是( )
A.B.C.D.
12、已知抛物线的焦点F，过点F的直线l交抛物线于点A，B，连接AO并延长交抛物线的准线于点C，且，则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、直线的倾斜角是__________.
14、已知数列满足，，则等于__________.
15、三棱锥，平面ABC，且，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
16、已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，连接交y轴于点Q，Q为的中点且点Q恰好把椭圆的短半轴三等分，则椭圆的离心率是_______.
四、解答题
17、已知等差数列中，，.
(1)求的值；
(2)若数列满足：，证明：数列是等差数列.
18、已知空间三点，，，.
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
(2)若且，点P是BC的中点，求的值.
19、已知直线l经过点
(1)若原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程；
(2)圆C过点，P与，且截直线l所得的弦长为，圆心C在直线l上，求圆C的方程.
20、如图，E，F分别是边长为2正方形ABCD边BC，CD的中点，平面ABCD，且.
(1)求证：平面PBF；
(2)求平面APF与平面PBF夹角的余弦值，
21、已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前n项和为.对恒有成立，求实数的取值范围.
22、已知圆，点是圆外的一个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线与直线AP相交于点Q.
(1)求点Q的轨迹C的方程；
(2)过点B的直线l交曲线C于M，N两点，问在x轴是否存在定点D使?若存在，求出定点D坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析：由，得，
所以直线的一个方向向量是.
A、因为，所以与不共线，所以不是直线的方向向量；
B、因为，所以与不共线，所以不是直线的方向向量；
C、因为，所以与共线，所以是直线的一个方向向量；
D、因为，所以与不共线，所以不是直线的方向向量.
故选：C.
2、答案：D
解析：抛物线的标准方程为，，，
抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
3、答案：A
解析：
4、答案：A
解析：，a与b共线，
5、答案：D
解析：等差数列的前n项和为，
故选：D.
6、答案：B
解析：如图
平移至，直线与BE成角即为直线与BE成角，
设，由，可知，
E为中点，
在中，，，，
7、答案：A
解析：设为椭圆在第一象限上的点，其中m，n均为正数，且所以
当x，y均为正实数时，由，得：
所以
所以切线l的斜率为
所以切线的方程为
令，得
令，得
所以
当且仅当，即，亦即，时，取等号
故选：A
8、答案：A
解析：设为椭圆在第一象限上的点，其中m，n均为正数，且所以
当x，y均为正实数时，由，得：所以
所以切线l的斜率为
所以切线的方程为
令，得
令，得
所以
当且仅当，即，亦即，时，取等号
故选：A
9、答案：AC
解析：
10、答案：AB
解析：联立直线与圆的方程得消去y，得
根据题意得，得.
，，
和都是直线与圆相交的充分不必要条件.
11、答案：ABC
解析：，则是递增数列，因此由得，，，，，
又.
故选：ABC.
12、答案：BCD
解析：，C在准线上，，
，不妨设A在第一象限，
则，，即，
又，
，所以直线AB方程为，
由，得，
是此方程的一个解，因此另一解y满足，，
即，，，
于是OA方程为，
从而，
，，A错；
，，B正确；
，，C正确
由于，则，D正确.
故选：BCD.
13、答案：
解析：设直线的倾斜角是，则直线的方程可化为，l的斜率，，.
故答案为.
14、答案：
解析：由已知，.
故答案为：.
15、答案：
解析：
16、答案：
解析：
17、答案：(1)12
(2)数列是以1为首项，公差为2的等差数列
解析：(1)，
，
(2)由(1)可知
数列是以1为首项，公差为2的等差数列
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)，
，
(2)点P是BC的中点
19、答案：(1)或
(2)或
解析：(1)①当直线l的斜率不存在，即时，满足题意.
②当直线l的斜率存在时，令即
由得
直线l的方程是或
(2)令圆C的方程：，
则由圆C过点P与得
又圆C截直线l的弦长为，圆心C在直线l上，
或
圆C的方程：或
20、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：平面ABCD，
平面ABCD，
，，
，
，平面PBF，平面PBF
平面PBF
(2)以B为原点建立如图空间直角坐标系，则，，，
，，
平面PBF，是平面PBF一条法向量
令是平面PAF的一条法向量，则
由，即
取，则，，
APF与平面PBF夹角
满足
平面APF与平面PBF夹角的余弦值是
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，
，
当时，满足上式.
(2)由(1)可得
对恒有成立，
令，则
令得
，即数列的最大项是
实数
22、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)线段BP的垂直平分线与直线AP相交于点Q.
，
点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
轨迹C的方程是
(2)当直线l斜率为0时，存在定点D使
当直线l斜率不为0时，令，，，则由得
直线l与双曲线交于两个点
假设存在点使，则
，即
，即
x轴上存在点使