青龙满族自治县实验中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

青龙满族自治县实验中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到y轴的距离为d，且，则动点P的轨迹方程为(   )

A. B. C. D.

2、椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为(   )

A. B. C. D.

3、已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的(   )

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4、下面结论正确的是(   ).

A.若，是单位向量，

B.若四边形ABCD内一点O满足，则是平行四边形

C.若向量，共线，则

D.若，则

5、对于集合A，B，“”是“”的(   )

A.充要条件 B.必要非充分条件

C.充分非必要条件 D.既非充分又非必要条件

6、命题“，”的否定为(   )

A.， B.，

C.， D.，

7、已知，分别是双曲线(，)的左，右两个焦点，若在双曲线上存在点P，使得，且满足，那么双曲线的离心率为(   )

A. B.2 C. D.

8、下列说法错误的是(   )

A.“”是“函数不存在零点”的充分不必要条件

B.命题“在中，若，则一定有”是假命题

C.设命题，函数恒有意义，若为真命题，则t的取值范围为

D.命题“，”是假命题

二、多项选择题

9、设，，则(   )

A. B. C. D.

10、下列选项中，正确的是(   )

A.函数(且)的图象恒过定点

B.若不等式的解集为，则

C.若，，则，

D.函数恰有1个零点.

11、现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男，女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图.根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是正确的(   ).

A.样本中的女生数量少于男生数量

B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量

C.样本中的女生偏爱文科

D.样本中的男生偏爱理科

12、已知，为双曲线的左右焦点，关于一条渐近线的对称点P刚好落在双曲线上，则下列说法正确的是(   )

A. B.双曲线的离心率

C. D.渐近线方程为

三、填空题

13、如图所示，在正方体中，棱长为2，，，，，，，，，，，，分别为各棱的中点，则(，2，…，12)的不同值组成的集合为______.

14、已知命题函数的定义域为R，命题，若是真命题，则实数a的取值范围是__________.

15、设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在坐标轴上，点P在抛物线C上，，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线C的方程为______.

16、已知正八边形ABCDEFGH如图所示，则往正八边形内随机投掷一颗石子(大小不计)，该石子落在阴影区域内的概率为_____________.

四、解答题

17、甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为.

(1)求p的值；

(2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.

18、已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围.

19、如图，四边形ABCD是等腰梯形，，，，在梯形ACEF中，，且，平面ABCD.

(1)求证：平面平面CEB；

(2)若二面角的大小为，求几何体ABCDEF的体积.

20、如图，在直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，，，M是侧棱上一点，设.

(1)若，求异面直线BM与所成角的大小；

(2)若，求直线与平面ABM所成角的大小；

(3)若，求点M到平面的距离.

21、已知下列两个命题：函数在单调递增；Q关于x的不等式的解集为R.若为真命题，为假命题，求m的取值范围.

22、已知：椭圆，过点，直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若求直线EF的方程；

(3)是否存在实数k，直线交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1、答案：B

解析：动点到y轴的距离为d，且，

动点P到定点的距离与到直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知：动点P的轨迹是抛物线，并且其焦点为：，准线为：，

所以其抛物线的方程为.故选：B.

2、答案：C

解析：由题意，设椭圆的标准方程为.

由题意可得：，解得，即椭圆的标准方程为.故选：C

3、答案：C

解析：若曲线表示椭圆，则，

故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.

故选：C.

4、答案：B

解析：选项A中，，是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有，是单位向量且方向相同时，才有，所以错误；

选项B中，因为点O为四边形ABCD内一点，

所以，所以，

又与不共线，所以可得且，

所以ABCD是平行四边形，所以正确；

选项C中，当向量，同向时，有，当向量，反向时，有，

所以错误；选项D中，因为，

所以

即，

不能得到，所以错误.

故选：B.

5、答案：A

解析：因为，

所以“”能推出“”，故充分；

“”能推出“”，故必要；

所以“”是“”的充要条件

故选：A

6、答案：C

解析：命题“，”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“，”的否定是“，”.

故选：C.

7、答案：A

解析：，且满足，

，

，

，

，

.

故选：A

8、答案：B

解析：A选项：因为当时，，所以当时，不存在零点，

但是函数不存在零点，那么，

所以是函数不存在零点的充分不必要条件，故A正确；

B选项：在三角形中，内角在内，记角A，B的对边分别为a，b，

若，由正弦定理可得，则，故B不正确；

C选项：因为为真命题，则p为假命题，即不等式在上有解，

即在上有解，设，

故，当时，，

所以，

从而，故C正确；

D选项：因为，，所以命题“，”是假命题，故D正确.

故选：B.

9、答案：BCD

解析：A.，当时，不等式不成立，所以该选项错误；

B.，根据不等式的性质可判断该选项正确；

C.根据不等式的性质得到，所以该选项正确；

D.根据不等式的性质得到，所以该选项正确.

故选：BCD

10、答案：CD

解析：解：对A：函数(且)的图象恒过定点，故选项A错误；

对B：若不等式的解集为，则，且和3是方程的两根，

所以，解得，，所以，故选项B错误；

对C：若，，则，，故选项C正确；

对D：易知函数在上单调递增，又，，所以由函数零点存在定理可得存在唯一，使，所以选项D正确.

故选：CD.

11、答案：BD

解析：由图1知，样本中的女生数量多于男生数量，由图2知，样本中的男生，女生均偏爱理科；由图2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量.

故选：BD

12、答案：BC

解析：如图所示，双曲线的左焦点为，右焦点为，由对称性，取一条渐近线，关于渐近线的对称点为P，

直线l与线段的交点为A，连接，因为点P与关于直线l对称，

则，且A为的中点，所以，，

根据双曲线的定义，有，故A不正确；

，即，

所以，故B正确；

易知是以为直角的直角三角形，所以，故C正确；

由于，所以渐近线方程为，故D不正确.

故选：BC

13、答案：

解析：如图，以D为原点，，，所在的直线分别为x，y，z建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，

所以，，

，，

，，

，，

，，

，，

所以(，2，…，12)的不同值组成的集合为，

故答案为：

14、答案：

解析：命题p为真命题时，即恒成立

所以，解得或

命题q为真，则，即或

是真命题，则p，q均为真命题.

所以，解得或

故答案为：

15、答案：(答案不唯一)

解析：由题意，若抛物线的焦点F在y轴正半轴上，则可设抛物线方程为()，，，由焦半径公式可知，圆的半径为，

得，并且线段PF中点的纵坐标是，所以以线段PF为直径的圆与x轴相切，切点坐标为或，所以，

即点P的坐标为，代入抛物线方程()得，解得或，即当点F在y轴正半轴上时，抛物线方程是或.

同理，当点F在y轴负半轴时，抛物线方程为或，当点F在x轴正半轴时，抛物线方程为或，当点F在x轴负半轴时，抛物线方程为或.

故答案为：(答案不唯一).

16、答案：

解析：如图，设正八边形的中心为O，连接，，

设，，则.

在中，由余弦定理可得，解得.

所以正八边形的面积为：.

而，故所求概率.

故答案为：.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，

若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，概率为，

所以丙获胜的概率为，计算得.

(2)设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，B事件为：丙比赛获胜，则，，，，

所以.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆.

，，.

W的方程是.

(2)设C，D两点坐标分别为，，C，D中点为.

由得.

所以

，从而.

MN斜率.

又，，即

当时，；

当时，.

故所求m的取范围是.

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：由已知，，

则，则，

所以，则，又平面ABCD，平面ABCD，

故，而，EC，平面CEB，则平面CEB，

又，则平面CEB，平面FEB，

平面平面CEB.

(2)因为平面ABCD，又由(1)知，

以C为原点，建立空间直角坐标系，

设，则

，，，，，，

设平面DAF的法向量为，则，

令，则，，，

又平面AFC的法向量可取为，

因为二面角的大小为，所以，

解得，即，

此几何体由四棱锥和四棱锥组成，

由题意可知为等腰三角形，作，垂足为H，，

由于平面，平面，故，

，平面，故平面，

同理可证平面，

故几何体体积.

20、答案：(1)

(2)

(3)1

解析：(1)作交于点N，连接，，

则即为异面直线BM与所成角或补角，

由，得，则，，

在直三棱柱中，平面，

又平面，所以，

又，即，

因为，所以平面，

又平面，所以，

则，，，

在中，，

所以，

即异面直线BM与所成角的大小为；

(2)若，则M为的中点，

则，

因为，所以，

在直三棱柱中，平面ABC，

又平面ABC，所以，

因为，，

所以平面，

因为平面，

所以，

又，所以平面ABM，

所以即为直线与平面ABM所成角或补角，

又平面ABM，所以，

在中，，，

则，

所以，

即直线与平面ABM所成角的大小为；

(3)设点M到平面的距离为d，

，

在中，，，则BC边上得高为，

故，

因为，即，所以，

即点M到平面的距离为1.

21、答案：或

解析：函数的对称轴为，

故P为真命题

Q为真命题.

为真，为假，P与Q一真一假.

若P真Q假，则，且或，；

若P假Q真，则，且，.

综上所述，m的取值范围为或.

22、答案：(1)；

(2)；

(3)

解析：(1)由，得，

所以椭圆方程是：

(2)设，代入，得

设，，由，得.

由，

得，，(舍去)，

直线EF的方程为：即

(3)将代入，得

记，，为直径的圆过，则，

即

又

得.

解得

验证此时，故存在，满足题设条件.