河南省郑州市上街实验高级中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市上街实验高级中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省郑州市上街实验高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题5分，共80分）
1．设x∈R，则“2﹣x≥0”是“﹣1≤x﹣1≤1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若正数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．16 B．13 C．20 D．15
3．若对于一切实数x不等式x2﹣ax+4＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4] C．（﹣∞，4] D．（4，+∞）
4．一个半径为4的扇形，其弧长为1，则该扇形的圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．2
5．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
6．函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（4，1） B．（3，1） C．（4，0） D．（3，0）
7．命题“∀x∈R，sinx+1≥0”的否定是（　　）
A．∃x∈R，sinx+1＜0 B．∀x∈R，sinx+1＜0
C．∃x∈R，sinx+1≥0 D．∀x∈R，sinx+1≥0
8．若角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，则2sinθ+cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
9．下列函数定义域为（0，+∞）且在定义域内单调递增的是（　　）
A．y＝ex B．y＝﹣logx C．y＝ D．y＝logx
10．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如表对应值表：
x
1
2
3
4
f（x）
6.1
﹣2.9
﹣3.5
﹣1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）
11．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（0，3） D．（1，3）
12．函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，+∞） B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，3）∪（3，+∞） D．[﹣2，3）∪（3，+∞）
13．与y＝|x|为同一函数的是（　　）
A．y＝x B．
C． D．
14．已知a＝0.620.6，则a的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
15．＝（　　）
A．﹣38 B．﹣37 C．﹣39 D．﹣40
16．若tan（α﹣β）＝，tan（α+β）＝，则tan2β等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
二、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）已知不等式x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为集合A，集合B＝（﹣2，2）．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）用函数单调性定义证明f（x）是R上的增函数．
19．（12分）已知函数f（x）＝loga（3﹣x）+loga（x+3）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）当a＝3时，求函数f（x）的最大值．
20．（12分）已知函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx+a（ω＞0，a∈R）的最大值为1，且f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求：
（1）ω和a的值；
（2）当x∈[，]，求函数f（x）的单调递增区间．
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，π]时，求g（x）值域．

22．（12分）已知函数f（x）＝sin2ωx+cos4ωx﹣sin4ωx+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心．
（1）求f（x）的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；
（2）先列表，再作出函数f（x）在区间[﹣π，π]上的图象．


参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共80分）
1．设x∈R，则“2﹣x≥0”是“﹣1≤x﹣1≤1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解．
【解答】解：设p：若2﹣x≥0，则x≤2，q：若﹣1≤x﹣1≤1，则0≤x≤2，
则q表示的集合是p表示的集合真子集，
则“2﹣x≥0”是“﹣1≤x﹣1≤1”必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义以及集合的包含关系，属于基础题．
2．若正数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．16 B．13 C．20 D．15
【分析】根据＝（）（a+b），再结合基本不等式求解即可．
【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝1，
则＝（）（a+b）＝10++≥10+2＝16，
当且仅当＝且a+b＝1，即a＝，b＝时取等号，此时取得最小值16．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，属于基础题．
3．若对于一切实数x不等式x2﹣ax+4＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4] C．（﹣∞，4] D．（4，+∞）
【分析】∀x∈R，不等式x2﹣ax+4＞0恒成立⇔x2﹣ax+4＝0无实数根，利用判别式Δ＜0可得答案．
【解答】解：∵对于一切实数x不等式x2﹣ax+4＞0恒成立，
∴二次函数y＝x2﹣ax+4的图象在x轴上方，
∴x2﹣ax+4＝0无实数根，
∴（﹣a）2﹣4×4＝a2﹣16＜0，
解得﹣4＜a＜4，
故选：A．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
4．一个半径为4的扇形，其弧长为1，则该扇形的圆心角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】把扇形的半径和弧长的值代入弧度数计算公式，求值即可．
【解答】解：因为扇形的半径为r＝4，弧长为l＝1，
所以扇形圆心角的弧度数为α＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的弧度数计算问题，是基础题．
5．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得x＞4或x＜﹣2，
设t＝x2﹣2x﹣8，则当x＞4时，g（x）为增函数，此时y＝lnt为增函数，则f（x）为增函数，
即f（x）的单调递增区间为（4，+∞），
故选：D．
【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是基础题．
6．函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（4，1） B．（3，1） C．（4，0） D．（3，0）
【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象恒过定点的坐标．
【解答】解：对于函数y＝loga（x﹣3）+l（a＞0且a≠1），令x﹣3＝1，求得x＝4，y＝1，
可得它的图象恒过定点P（4，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
7．命题“∀x∈R，sinx+1≥0”的否定是（　　）
A．∃x∈R，sinx+1＜0 B．∀x∈R，sinx+1＜0
C．∃x∈R，sinx+1≥0 D．∀x∈R，sinx+1≥0
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，sinx+1＜0，
故选：A．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
8．若角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，则2sinθ+cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得2sinθ+cosθ的值．
【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，
∴cosθ＝＝，sinθ＝＝，
则2sinθ+cosθ＝+，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
9．下列函数定义域为（0，+∞）且在定义域内单调递增的是（　　）
A．y＝ex B．y＝﹣logx C．y＝ D．y＝logx
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝ex，为指数函数，其定义域为R，不符合题意；
对于B，y＝﹣logx＝logπx，为对数函数，定义域为（0，+∞）且在定义域内单调递增，符合题意；
对于C，y＝，其定义域为[0，+∞），不符合题意；
对于D，y＝logx，为对数函数，定义域为（0，+∞）且在定义域内单调递减，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于基础题．
10．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如表对应值表：
x
1
2
3
4
f（x）
6.1
﹣2.9
﹣3.5
﹣1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）
【分析】由图表中的数据可得f（1）•f（2）＜0，再由定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，结合函数零点判定定理得答案．
【解答】解：由图表可知，f（1）＞0，f（2）＜0，f（3）＜0，f（4）＜0，
得f（1）•f（2）＜0，
又定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，
∴由函数零点判断定理可得，函数f（x）一定存在零点的区间是（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
11．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（0，3） D．（1，3）
【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：若f（x）在R上为增函数，
则满足，即，
得，得1＜a＜3，
即实数a的取值范围是（1，3），
故选：D．
【点评】本题主要考查分段函数单调性的求解，利用分段函数单调性的性质建立不等式组进行求解是解决本题的关键，是中档题．
12．函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，+∞） B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，3）∪（3，+∞） D．[﹣2，3）∪（3，+∞）
【分析】由题意利用根据函数的解析式、对数、分式的性质，求出函数的定义域．
【解答】解：由函数，可得，求得x＞﹣2且x≠3，
故函数的定义域为（﹣2，3）∪（3，+∞），
故选：C．
【点评】本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，属于基础题．
13．与y＝|x|为同一函数的是（　　）
A．y＝x B．
C． D．
【分析】由题意利用查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数．
【解答】解：函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，+∞），对应关系为取绝对值，
而函数y＝x的定义域和值域都是R，故排除A；
由于y＝＝|x|的定义域为R，值域为[0，+∞），对应关系为取绝对值，故它和y＝|x|为同一函数，故B满足条件；
由于y＝ 的定义域和值域都是正实数集，故排除C；
由于函数y＝＝x（x＞0），它的定义域和值域都为正实数集，故排除D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数，属于基础题．
14．已知a＝0.620.6，则a的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与0，1比较即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵0＜0.62＜1，20.6＞20＝1，log20.6＜log21＝0，
∴b＞a＞c．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
15．＝（　　）
A．﹣38 B．﹣37 C．﹣39 D．﹣40
【分析】由已知结合指数幂的运算性质及对数的运算性质进行化简即可求解．
【解答】解：原式＝lg（8×125）﹣72+23+1＝3﹣49+8+1＝﹣37．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数及指数幂的运算性质，属于基础题．
16．若tan（α﹣β）＝，tan（α+β）＝，则tan2β等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tan（α﹣β）＝，tan（α+β）＝，则tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]＝＝＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
二、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）已知不等式x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为集合A，集合B＝（﹣2，2）．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）可得出A＝[a，a+1]，a＝2时，可得出集合A，然后进行并集的运算即可；
（2）根据A＝[a，a+1]，B＝（﹣2，2），并且A∩B＝∅即可得出a+1≤﹣2或a≥2，从而可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝2时，A＝[a，a+1]＝[2，3]，且B＝（﹣2，2），
∴A∪B＝（﹣2，3]；
（2）A＝[a，a+1]，B＝（﹣2，2），且A∩B＝∅，
∴a+1≤﹣2或a≥2，
∴a≤﹣3或a≥2，
∴实数a的取值范围为{a|a≤﹣3或a≥2}．
【点评】本题考查了区间的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）用函数单调性定义证明f（x）是R上的增函数．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（0）＝＝0，求出m的值，验证可得答案；
（2）由作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）函数是奇函数，则f（0）＝＝0，解可得m＝﹣1，
当m＝﹣1时，f（x）＝，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），为奇函数，
故m＝﹣1；
（2）证明：由（1）的结论，f（x）＝＝＝1﹣，
设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝，
又由x1＜x2，则﹣＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数f（x）为增函数．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，设函数单调性的证明，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）＝loga（3﹣x）+loga（x+3）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）当a＝3时，求函数f（x）的最大值．
【分析】（1）由对数函数的真数大于0，建立不等式组，解出即可得到定义域；
（2）运用奇偶性的定义直接判断；
（3）通过换元，利用对数函数的性质直接得解．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则有，
解得﹣3＜x＜3．
所以函数f（x）的定义域为（﹣3，3）．
（2）函数f（x）为偶函数．
理由如下：
因为∀x∈（﹣3，3），都有﹣x∈（﹣3，3），
且f（﹣x）＝loga（3+x）+loga（﹣x+3）＝loga（3﹣x）+loga（x+3）＝f（x），
所以f（x）为偶函数．
（3）当a＝3时，f（x）＝log3（3﹣x）+log3（x+3）＝log3[（3﹣x）（x+3）]＝．
令t＝9﹣x2，且x∈（﹣3，3），
易知，当x＝0时t＝9﹣x2取得最大值9，此时取得最大值log39＝2，
所以函数f（x）的最大值为2．
【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查奇偶性的判断及极值求法，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx+a（ω＞0，a∈R）的最大值为1，且f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求：
（1）ω和a的值；
（2）当x∈[，]，求函数f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出ω和a的值．
（2）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝2cos2ωx+2sinωxcosωx+a＝1+cos2ωx+sin2ωx+a
＝1+a+2sin（2ωx+）（ω＞0，a∈R）的最大值为1+a+2＝1，
∴a＝﹣2，函数f（x）＝2sin（2ωx+）﹣1．
∵f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝，
∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x+）﹣1．
（2）对于函数f（x）＝2sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
故当x∈[，]时，函数的增区间为[﹣，]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，π]时，求g（x）值域．

【分析】（1）由函数图象可求得A，周期T，由周期公式可求得ω，再代入点，即可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
（2）根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）函数解析式，根据正弦函数的性质即可求解其值域．
【解答】解：（1）由图象可知，A＝2，
周期，
∴，ω＞0，则ω＝2，
从而f（x）＝2sin（2x+φ），
代入点，得，则，k∈Z，即，k∈Z，
又，
则，
∴．
（2）∵，
∴将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可得y＝2sin（x﹣）的图象，
纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（x+﹣）＝2sin（x﹣）的图象，即，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝sin2ωx+cos4ωx﹣sin4ωx+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心．
（1）求f（x）的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；
（2）先列表，再作出函数f（x）在区间[﹣π，π]上的图象．

【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）＝2sin（2ωx+）+1，由已知及正弦函数的图象和性质可求﹣+＝kπ，k∈Z，结合范围0＜ω＜1，求得ω，可得函数解析式，利用正弦函数的图象和性质可得距y轴最近的一条对称轴方程．
（2）由五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）f（x）＝sin 2ωx+（cos2ωx﹣sin2ωx）•（cos2ωx+sin2ωx）+1
＝sin 2ωx+cos 2ωx+1
＝2sin（2ωx+）+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，
∴﹣+＝kπ，k∈Z，
∴ω＝﹣3k+，k∈Z．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∵0＜ω＜1，
∴k＝0，ω＝，
∴f（x）＝2sin（x+）+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
由x+＝kπ+，k∈Z，得x＝kπ+，k∈Z，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由（1）知，f（x）＝2sin（x+）+1，当x∈[﹣π，π]时，列表如下：
x+
﹣
﹣
0

π

x
﹣π
﹣
﹣


π
f（x）
0
﹣1
1
3
1
0
则函数f（x）在区间[﹣π，π]上的图象如图所示．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查了五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象，考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．