第34讲 估值问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练

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第34讲 估值问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练第34讲 估值问题 1．对关于的方程有近似解，必修一课本里研究过‘二分法’.现在结合导函数，介绍另一种方法‘牛顿切线法’.对曲线，估计零点的值在附近，然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤：在处作曲线的切线，交轴于点；在处作曲线的切线，交轴于点；在处作曲线的切线，交轴于点；得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题：（1）求的值；（2）设，求的解析式（用表示）；（3）求该方程的近似解的这两种方法，‘牛顿切线法’和‘二分法’，哪一种更快？请给出你的判断和依据.（参照值：关于的方程有解）2．已知函数.（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天.（i）求的表达式；（ii）估计的近似值（精确到0.01）.参考数值：，，.3．已知函数=.（1）讨论的单调性；（2）设，当时，,求的最大值；（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）4．已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若取，试估计的值．（精确到0.001）5．已知函数.（1）若函数在内为增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）已知，试估算的近似值，（结果精确到0.001）6．设n是正整数，r为正有理数．(1)求函数的最小值；(2)证明：；(3)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令求的值．（参考数据：．7．已知函数．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：（为自然对数的底数）．8．已知函数，其中，．（1）讨论函数在区间，上的单调性；（2）求证：．9．已知函数．(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范围；(3)证明：是自然对数的底数）．10．已知函数．（注(1)若是函数的一个极值点，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范围；(3)证明：．11．设函数，其中为实数.（1）当时，求在区间上的最小值；（2）求证：.12．已知函数．(1)若是函数的一个极值点，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范围；(3)证明：（为自然对数的底数）． 
参考答案：1．（1）；（2）；（3）牛顿法更快，理由见详解.【分析】（1）根据题意，求函数求导解得切线斜率，再结合点斜式求得切线方程，即可容易得到结果；（2）求出在处的切线方程，则满足切线方程即可；（3）根据牛顿法和二分法的操作步骤，即可展开运算，从而进行比较.【详解】（1）因为，故可得，则，故可得在处的切线方程为，整理得，令，则.根据题意，则.（2）由（1）中所求，可得，故可得在处的切线方程为，又因为满足切线方程，故可得解得.故.（3）根据（1）和（2）中所求，用牛顿法经过1次运算，可得近似解，用牛顿法经过次运算，可得近似解用牛顿法经过3次运算，可得近似解经过3次运算，牛顿法求得的近似解精确到了；若采用二分法，选定初始区间为，因为，经过一次运算，近似解为，因为，经过二次运算，近似解为，因为，经过三次运算，近似解为，经过3次运算，二分法求得的近似解才精确到.不难发现，牛顿法相对二分法要更加快速【点睛】本题考查导数的几何意义，以及二分法求方程的近似解，属综合中档题.2．(1) (2) （i）（ii）【分析】（1）先讨论取不同范围内的值时函数的定义域，并根据函数值判断出是的极小值点．通过极值点处，求得导函数代入即可求得的值．求出的值后，再代回函数，证明即可．（2）每个人生日都不同的概率为，所以根据对立事件的概率即可求得至少有两个人生日相同的概率．将代入i中得到的式子，可得，令，左右同取对数则，进而可得t的范围，结合参考数据可求得的近似值．【详解】（1）由题得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，又，且，所以是的极小值点，故.而，于是，解得.下面证明当时，.当时，，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即符合题意.综上，.（2）（i）由于人生日都不相同的概率为，故人生日至少有两人相同的概率为.（ii）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，由（i）得.记，则，即由参考数值得于是故.【点睛】本题考查了导函数的综合应用，不等式中的综合应用，是高考的常考点和难点，属于难题．3．（1）函数在R上是增函数；（2）2；（3）【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；（2）因为=，所以=.当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；当时，若满足，即时，，而，因此当时，，综上，的最大值为2.（3）由（2）知，，当时，，；当时，，，，所以的近似值为.【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断，容易;对第（2）问,考虑不到针对去讨论；对第（3）问,找不到思路.考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键. 4．（1）；（2）.【分析】（1）对函数求导，分和、讨论导数的正负，进而确定函数的单调性，进而求得函数的最小值，结合恒成立即可求得的范围；（2）由（1）知恒成立，取，得，再由时，在时恒成立，取，，得，进而估计出的值．【详解】（1）；①当时，，恒成立，所以时，，单调递增，恒成立；②当或时，令，解得，且，（i）当，则，故时，，单调递增，恒成立．（ii）当，则，当时，，单调递减；恒成立，这与恒成立矛盾．综上所述，的取值范围是；（2）由（1）得时，恒成立，即恒成立，取，得，化简得，又由（１）可知时，在时恒成立，令，解得，取，即有在上恒成立，取，得，∴，则，取.【点睛】解决恒成立问题常用的方法有分离参数法和分类讨论法，本题采用分类讨论确定函数的单调性，进而求得函数的最值，即可求出的取值范围；由（1）中所得结论，取即可求得的范围，进而解决问题.5．（1）（2）（3）的近似值约为1.609【分析】（1）由题,先求导可得,由在内为增函数可得在上恒成立,即,设,利用导数判断的单调性,即可求得,进而得解；（2）由题求导可得,分别讨论与情况下的单调性,进而由在内恰有两个零点,结合的单调性,求解的范围；（3）由（1）可知当时,在内为增函数,则,即在内恒成立,再由（2）可知当时,在内为减函数,则,即在内恒成立,进而可得在内恒成立,在内找到关于与的数,即可令,则,进而代入中求解即可.【详解】解:（1）由题,,,在内为增函数,在上恒成立,即,令,则,所以在内为增函数,所以.（2）由题,,, ①当时,,则,在内为增函数,,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意；②当时,设,则,在内为减函数,且,,（i）当,时,,在内为增函数,,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意；（ii）当时,,,,使得,则在内为增函数,在内为减函数,则,则在内有且只有一个零点,当且仅当,解得；（iii）当,时,,在内为减函数,,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意,综上所述,.（3）由（1）可知,当时,在内为增函数,所以,即在内恒成立,由（2）可知,当时,在内为减函数,所以,即在内恒成立,综上,有,即在内恒成立,令,则有,可得,即,则,解得,所以的近似值约为1.609.【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查已知函数单调性求参数问题,考查已知零点个数求参数问题,考查分类讨论思想与运算能力.6．(1)最小值为f(0)=0；(2)证明见解析；(3)211. 【分析】(1)对函数求导，利用导数讨论单调性即可得的最小值.(2)由(1)可得不等式，再对x赋值计算、推理作答.(3)利用(2)的结论，借助数列裂项相消法的思想求出S的范围，再结合定义计算作答.（1）依题意，，而r为正有理数，由，解得x=0，当时，，当时，,于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数在x=0处取得最小值为.（2）由(1)知，当时，，即，，当且仅当x=0时取“=”，则当且，有，又n是正整数，令，有，即，则，当时，令，同理可得：，而也满足此不等式，综上得：，所以不等式成立.（3）由(2)知，n是正整数，r为正有理数，，令，n分别取值81，82，83，…，125，有：，，，…，，将以上各式两边分别相加并整理得：，而，，由的定义，得，所以的值是211.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.7．（1）；（2）；（3）见解析【分析】（1），检验．（2）将恒成立转换为最值问题，求最小值大于等于0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围．（3）等价变形为利用函数的单调性说明．【详解】（1）因为，所以，因为是函数的一个极值点，故，即，当时，当经验得是函数的一个极值点，所以.（2）因为在上恒成立，所以．当时，在上恒成立，即在上为增函数所以成立，即为所求．当时，令，则，令则即在上为减函数，在上为增函数．当时，，这与矛盾.综上所述，的取值范围是．（3）要证，只需证．两边取自然对数得，，上式等价于，只需要证明，只需要证明，由时，在单调递增．又，，，从而原命题成立.【点睛】本题考查函数导数的相关性质，属于难题．本类题各个问题紧密相扣，一般问题就给我们指明了下一题的解题方向．8．（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求函数的导数，分类讨论在不同取值下，函数的单调性；（2）不等式的证明转化为证明，结合（1）的结论，即可证明.【详解】（1），当，时，，所以在，单调递增，当，由，得，所以在，单调递减，当时，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．（2）不等式，即，为此先证明：，由由（1）知，当，在单调递增，，即，令，则有，故．由（1）知，当，在单调递减，，即，令，则有，故．综上，对，恒成立，所以9．(1)2(2)(3)证明见解析 【分析】（1）先求导数，根据切线与轴平行可得，从而可求结果；（2）把恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解上的最小值即可；（3）把目标式转化为证明成立，结合函数的单调性可知结论.(1)，，，，即；经检验满足题意.(2)在上恒成立，，当时，在上恒成立，即在上为增函数，成立，即，当时，令，则，令，则，即在上为减函数，在上为增函数，，又，则矛盾．综上，的取值范围为．(3)要证，只需证两边取自然对数得，，即证，即证，即证，由（2）知时，在单调递增．又，，所以，所以成立．【点睛】恒成立问题的求解思路一般是转化为函数最值问题，利用导数再进行求解；不等式的证明问题通常先对不等式进行等价变形，然后构造函数，结合单调性和最值来证明.10．(1)2(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求得，根据题意，得到，即可求解；（2）根据在上恒成立，得到成立，分类和，两种情况讨论，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.（3）把不等式，两边取自然对数，转化为，结合时，函数的单调性，即可作出证明.(1)解：由题意，函数，可得函数，因为是函数的一个极值点，所以，解得.经检验，满足题意(2)解：因为在上恒成立，所以成立，由（1）知，当时，在上恒成立，即在上为增函数， 所以成立，所以；当时，令，可得，令，可得，即在上为减函数，在上为增函数，所以，又由，所以矛盾．综上，实数的取值范围为.(3)证明：要证：，只需证，两边取自然对数，得，即，即，即，由（2）知时，在单调递增，又由，且，，所以成立.11．（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，由此可求出函数区间上的最小值；（2）取，由（1）可知对任意的恒成立，由得出，再令即可得出所证不等式成立.【详解】（1）函数，，则，当时，，又，，那么函数在上单调递增，，即，所以函数在上单调递增，,故得当时，函数在区间上的最小值为；（2）根据（1）可知：当时，对任意的恒成立，此时，取，则对任意正整数都有，即，可得恒成立，令得.【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，解题时要充分利用导数来研究函数的单调性，并注意每一问的结论对后一问的提示，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.12．(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，可求得的值，然后分析导数的符号变化，可得出结论；（2）分析可知对任意的恒成立，分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证是否在上恒成立，由此可得出实数的取值范围；（3）当时，可知在上单调递增，可得出，结合对数的运算性质以及对数函数的单调性化简可证得结论成立.(1)解：，则，由题意可得，解得，此时，因为函数的定义域为，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，此时函数在处取得极小值，合乎题意，故.(2)解：在上恒成立，且，故，.当时，在上恒成立，即在上为增函数，所以，，合乎题意；当时，由，可得；当时，可得.即在上为减函数，在上为增函数，所以，，不合乎题意.综上所述，.(3)证明：当时，在上单调递增，因为，且，则，即，即，故.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.