重庆市铜梁中学等七校2022-2023学年高二数学上学期12月联考试题（Word版附答案）

铜梁中学校高2024级高二上期第三次学月考试

数学试题

（考试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。

4．考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角为（A    ）

A．30°        B．120°        C．45°        D．150°

2．已知数列{an}是等差数列，且a2+2a3+a8=32，则a4=（C   ）

A．4        B．6        C．8        D．10

3．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为(C)

A． B． C． D．

4．已知数列满足：且，则（ A   ）

A．- B． C． D．

5．圆与圆内切，则实数的值为（C    ）

A．4        B．5        C．6        D．7

6.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（  B  ）

A．6 B．9 C．12 D．13

7.在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线A1M的距离为（   C ）

A.  B.  

C. 2 D.

8．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（   D ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有(  CD  )

A. 与是共线向量          B. 与共线的单位向量是

C. 与夹角的余弦值是    D. 平面的一个法向量是（1，-2，5）

10．在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ AC   ）

A．         B．

C．            D．中的第506项是中的第2022项

11．已知直线l：x－y－＝0过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列结论错误的是(　BD　)

A．抛物线的方程为y2＝4x         B．线段AF的长度为

C．∠MFN＝90°                  D．线段AB的中点到y轴的距离为

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ABC    ）

A．点的轨迹方程是

B．直线：是“最远距离直线”

C．平面上有一点，则的最小值为5.

D．点P的轨迹与圆：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）

解:设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，所以，化简得，故A正确；

联立方程可得，解得，故存在，所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；

过P作PB垂直直线，垂足为B，则由题可得，则，则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；

由可得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.

故选：ABC.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在数列中，，，则数列的通项公式为_2n2_______．

14．已知集合，，且，则实数a的值为___1________.

15．已知是等差数列的前n项和，若，，则  40              ．

16．已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，则的最小值为                ．

16.解：由双曲线定义可知，，

，当且仅当三点共线时等号成立；

，当且仅当三点共线时等号成立；

所以， ，

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知在递增的等差数列中，；

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

18.已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上

求圆的方程；

已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．

解：因为圆心在直线上，可设圆心为．

则点到直线的距离．

据题意，，则，

解得．

所以圆心为，半径，

则所求圆的方程是．

直线被圆截得的弦长为，则，

即圆心到直线的距离为，

直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意；

直线斜率存在时，设直线方程为，

圆心到直线的距离，，

直线方程为．

综上所述，直线方程为或． 

19．（本小题满分12分）在正四棱柱中，为的中点.

(1)求证:平面.

(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值

（1）证明：如图所示：

连接AC与BD交于点O，

因为E，O为中点，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）建立如图所示空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，即 ，

令，得，则，

设直线与平面所成的角为，

则.

20．（满分12分）已知定点及抛物线，抛物线的焦点为且准线恰好经过圆的圆心K．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点F作MK的平行线交抛物线C于A,B两点，求AB的长

解：（1）由已知圆的圆心，

∵抛物线的准线恰好经过点，

∴，解得．

故抛物线的标准方程为．

（2）由（1）知，，，

∴直线过点，且斜率为，

∴直线的方程为，

将的方程代入抛物线得，

设，，则，

故．

21.如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：（1），为的中点，，侧面底面，侧面底面，

平面，平面；

（2）

底面为直角梯形，其中，，，，又平面，

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

易得平面的法向量，，，

设平面的法向量，则，取，得，设二面角夹角为，

则，则，二面角的正弦值为；

（3）设线段上存在，使得它到平面的距离为，，

到平面的距离，解得或(舍去)，则，则

22．（12分）椭圆：的离心率为，长轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与圆：相切于点，交于两点，，试问：是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．

解：（1）由题意，且，解得：，，所以，

则椭圆；

（2）当直线的斜率不存在时，不妨令，故，，则

当直线的斜率存在时，设直线：，，，，

故，圆心到直线的距离，且，

联立：，

∴，，且，

由于A，M，B三点共线，则，

注意到且，则，代入上式，

即得：

故