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浙江省嘉兴市第一中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷(Word版附解析)
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这是一份浙江省嘉兴市第一中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷(Word版附解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
嘉兴一中2022学年第一学期期中考试高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合、,利用补集和交集定义可求得集合.【详解】因为,则或,因此,.故选:B.2. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知,先根据给的复数,写出其共轭复数,然后带入要求的式子直接计算即可.【详解】由已知,,,所以.故选:D.3. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列为假命题的是( )A. 若,,则 B. 若,,,则C. 若,,则 D. 若,,,则【答案】C【解析】【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直的相关命题依次判断各个选项即可.【详解】对于A,,存在直线,使得;又,,,A正确;对于B,,存在直线,使得,又,,,B正确;对于C,若,,则或,C错误;对于D,,,,又,,D正确.故选:C.4. 已知,则“”是“恒成立”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】令函数y=|x﹣2|+|x|,得,然后转化为一个恒成立的判断,再结合充分不必要条件的定义进行判断即可.【详解】函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2,+∞),则当a时,|x﹣2|+|x|>a不恒成立.若|x﹣2|+|x|>a恒成立,则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2,即a<2.故“a”是“|x﹣2|+|x|>a恒成立”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,根据绝对值不等式的性质是解决本题的关键,属于中档题.5. 若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任意一点,则点P到直线y=kx-1的距离不可能是( )A. 4 B. 6C. 3+1 D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意作出示意图,判断出直线过定点,进而求出圆心到直线距离的最大值,然后判断各个答案.【详解】如图,圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的圆心坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-1过定点.由图可知,圆心C到直线y=kx-1距离的最大值为,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为5+1=6;当直线与圆有公共点时,点P到直线距离的最小值为0.即距离的范围是[0,6]. 故选:D.6. 已知数列 的前项和为,且满足,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用与关系求得通项关系,判断数列为等比数列即可求得.【详解】当时,,∴,当时,,两式相减可得,∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴.故选:D.7. 若函数在处取得极值2,则( )A. B. C. 0 D. 2【答案】A【解析】【分析】求导,根据处的极值为2,列方程解方程得到,,即可得到.【详解】解:,,又函数在处取得极值2,则,且,所以,,经检验满足要求,所以.故选:A.8. 若,且,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,可将题目转化为已知,求的最小值,由,且,结合基本不等式可求出的最小值,进而可求出的最小值.【详解】设,则,且,题目转化为已知,求的最小值,,而,当且仅当,即时等式成立.则.故选:C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查学生的计算求解能力,属于中档题.二、选择题:(多选)本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每一小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选了得0分.9. 已知平面直角坐标系中四点、、、,为坐标原点,则下列叙述正确的是( )A. B. 若,则C. 当时,、、三点共线 D. 若与的夹角为锐角,则【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A选项;利用平面向量共线的坐标表示可判断BC选项;利用平面向量数量积的坐标运算与共线的坐标表示可判断D选项.【详解】对于A选项,,A对;对于B选项,,,由题意可得,B对;对于C选项,当时,,而,显然与不是共线向量,此时,、、三点不共线,C错;对于D选项,,,由已知且、不共线,则,解得且,D错.故选:AB.10. 直线l与抛物线相交于,,若,则( )A. 直线l斜率为定值 B. 直线l经过定点C. 面积最小值为4 D. 【答案】BCD【解析】【分析】由数量积的坐标表示结合抛物线方程得出,联立直线和抛物线方程,由韦达定理得出直线l经过定点,再由判别式判断A,由面积公式结合不等式的性质判断C.【详解】,因为,所以,即,,又,所以,故D正确;设直线,由得,即,,即直线l过定点,故B正确;又,则,故A错误;,当时,面积取最小值,故C正确.故选:BCD11. 在棱长为1的正方体中,点M是的中点,点P,Q,R在底面四边形ABCD内(包括边界),平面,,点R到平面的距离等于它到点D的距离,则( )A. 点P的轨迹的长度为 B. 点Q的轨迹的长度为C. PQ长度的最小值为 D. PR长度的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A,取BC的中点N,连接AN,,根据面面平行的判定可证得平面平面,从而得点P的轨迹为线段AN,解三角形计算可判断;对于B,连接DQ,由勾股定理得,从而有点Q的轨迹是以点D为圆心,以为半径的圆,由圆的周长计算可判断;对于C,过点D作于,交点Q的轨迹于,此时的长度就是PQ长度的最小值,由三角形相似计算得,由此可判断;对于D,由已知得点R到直线的距离等于它到点D的距离,根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点,以AB为准线的抛物线,以AD的中点为坐标原点O,过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系,则抛物线的方程为,设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为:, 联立,整理得,由,解得,再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值.【详解】解:对于A,取BC的中点N,连接AN,,则,,所以平面,平面,又平面,平面,,所以平面平面,又点P在底面四边形ABCD内(包括边界),平面,所以点P的轨迹为线段AN,因为,所以点P的轨迹的长度为,故A不正确;对于B,连接DQ,因为Q在底面ABCD上,,所以,解得,所以点Q的轨迹是以点D为圆心,以为半径的圆,如下图所示,所以点Q的轨迹的长度为,故B正确;对于C,过点D作于,交点Q的轨迹于,此时的长度就是PQ长度的最小值,而,所以,所以,即,解得,所以,所以PQ长度的最小值为,故C正确;,对于D,因为点R到平面的距离等于它到点D的距离,由正方体的特点得点R到直线的距离等于点R到平面的距离,所以点R到直线的距离等于它到点D的距离,根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点,以AB为准线的抛物线,以AD的中点为坐标原点O,过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系,如下图所示,则,,,直线AB的方程为,直线AN的方程为,则抛物线的方程为,设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为:, 联立,整理得,,解得,所以直线l的方程为:,则直线AN与直线l的距离为:,所以PR长度的最小值为,故D正确,故选:BCD.12. 若对任意,不等式恒成立,则实数a可能为( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】依题意可得对任意的恒成立,令,,利用导数说明函数的单调性,即可得到只需对任意的恒成立,令,则,再构造函数,,利用导数求出函数的最小值,即可得到,从而求出的取值范围,即可得解.【详解】解:依题意,对任意,恒成立,即恒成立,即恒成立,即恒成立,设,,则恒成立,所以在上单调递增,所以只需对任意恒成立,因为,令,则,即,令,,则,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,所以,所以故选:ABC【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 函数在区间上的值域是___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得,利用正弦函数的性质即得函数值域.【详解】当时,,∴,故,即的值域为.故答案为:.14. 已知的展开式中的系数是20,则实数______.【答案】【解析】【分析】根据多项式中前一项进行展开,然后用二项式定理将两个项中关于的找出相加等于20即可求出.【详解】解:由题知,,所以展开式中系数是,解得:.故答案为:15. 在四面体中,,,且,,异面直线,所成角为,则该四面体外接球的表面积为______.【答案】或【解析】【分析】由题意将四面体补成一个直三棱柱,由此可求出外接球的半径,求得答案.【详解】由题意可以将四面体补成一个如图所示的直三棱柱,因为异面直线,所成角为,所以或,设的外接圆半径为r,当时, ,当时, ,则,设四面体的外接球半径为R,则 ,所以该四面体外接球的半径或,则外接球的表面积为.或,故答案为:或16. 设点在椭圆上,点在直线上,则的最小值为_____________.【答案】2【解析】【分析】令,则目标式可改写为,应用放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值,注意等号成立的条件.详解】设且,∴,当且仅当且时等号成立.故答案为:2四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角中,内角所对的边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)结合,以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式,即得解;(2)利用正弦定理,辅助角公式可化简,结合的范围即得解【小问1详解】,,又为锐角【小问2详解】由正弦定理,,由锐角,故故.18. 已知数列中,,点对任意的,都有,数列满足,其中为的前n项和.(1)求的通项公式;(2)求数列的前n项和.【答案】(1), (2)【解析】【分析】(1)利用题意可得到,则能得到,即可得到答案;(2)利用(1)算出,继而得到,接着利用裂项相消法即可得到答案【小问1详解】∵,可得,∴是公差为2的等差数列,∴,;【小问2详解】由(1)可得,∴,∴.19. 已知正三棱柱中,.棱上一点.(1)若,求直线与平面所成角的正弦值;(2)若是中点,求点到平面的距离.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)在侧面内作,交棱于点,证明为所求线面角,结合余弦定理计算即可求解;(2)在中,由余弦定理可得,从而,所以,利用等体积转化计算即可求解.【小问1详解】在侧面内作,交棱于点.因是正三棱柱,故平面,从而平面.连接,则为所求线面角,另一方面,由且得,故在中,由余弦定理得,,因为平面,而在平面内,所以.于是,故直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】设所求距离为,则,而,故.由题意得,,,故在中,由余弦定理得,从而,因此,,故点到平面的距离.20. 根据中国海洋生态环境状况公报,从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量(单位:千吨)与年份的散点图如下:记年份代码为,,对数据处理后得:60.51.52107617 (1)根据散点图判断,模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果,建立关于的回归方程,并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量(计算结果精确到整数).参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.【答案】(1)模型②适宜作为关于的回归方程. (2)关于的回归方程为,预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨【解析】【分析】(1)可根据散点图判断出非线性回归方程模型.(2)根据表中数据和参考数据代入公式求出回归方程,并可预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量.【小问1详解】根据散点图的趋势,可知模型②适宜作为关于的回归方程.【小问2详解】,.故关于的回归方程为,即关于的回归方程为,2022年对应的年份代码为,,故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨.21. 已知双曲线,O为坐标原点,离心率,点在双曲线上. (1)求双曲线的方程(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且,求的最小值.【答案】(1);(2)24.【解析】【分析】(1)由条件可知,再代入点求双曲线方程;(2)设直线OP的方程为,则直线OQ的方程为,与双曲线方程联立,求点的坐标,并求,再将换为求,利用是定值,求的最小值再表示【详解】因为,所以,.所以双曲线的方程为,即.因为点在双曲线上,所以,所以.所以所求双曲线的方程为.设直线OP的方程为,则直线OQ的方程为,由,得,所以.同理可得,,所以.设,则,所以,即当且仅当时取等号.所以当时,取得最小值24.【点睛】关键点点睛:本题的第一个关键是利用直线和垂直,利用斜率的关系求,第二个关键是注意隐含条件22. 已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若有两个极值点,(),且不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义,结合切线的点斜式方程,可得答案;(2)由极值点的必要条件,得到参数与极值点之间的等量关系,化简整理并整体还原,可得一元不等式,利用导数证明不等式恒成立,可得答案.小问1详解】若,则,,则切线的斜率为,又,所以曲线在点处的切线方程是,即.【小问2详解】,由条件知,是方程的两个根,所以则.所以.设,可知的取值范围是,则,不等式恒成立,等价于恒成立.设,则恒成立,.(i)若,则,所以,在上单调递增,所以恒成立,所以符合题意;(ii)若,令,得,令,得则在上单调递增,在上单调递减,所以当的取值范围是时,,不满足恒成立.综上,实数的取值范围是.【点睛】关键在于第二问,注意利用等量关系进行等量代还,转化不等式,再利用导数研究含参函数的单调性,注意分类讨论和数形结合思想的应用,
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