2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（19）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（19），共29页。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（19）
考试时间：120分钟 试卷满分：130分 考试范围：第1章-第8章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2015秋•南开区期中）方程x（x+）＝0的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝ B．x1＝0，x2＝﹣
C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
2．（3分）（2019秋•新吴区期末）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2019秋•新吴区期末）若直线l与半径为5的⊙O相离，则圆心O与直线l的距离d为（　　）
A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5
4．（3分）（2019秋•大东区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021秋•金乡县期中）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
6．（3分）（2020•云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B．1 C． D．
7．（3分）（2018秋•淮南期末）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1860吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）
A．560（1+x）2＝1860
B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+x）2＝1860
8．（3分）（2017秋•虹口区期末）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　）

A．1：2.6 B． C．1：2.4 D．
9．（3分）（2017秋•三门县期末）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（　　）

A．连接BD，可知BD是△ABC的中线
B．连接AE，可知AE是△ABC的高线
C．连接DE，可知
D．连接DE，可知S△CDE：S△ABC＝DE：AB
10．（3分）（2019秋•梁园区期末）已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（　　）
A．1 B． C．2﹣ D．2+
二．填空题（共8小题，满分18分）
11．（2分）（2021秋•禅城区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则x的值＝　 　．
12．（2分）（2021春•洪山区期末）某中学八年级开展“光盘行动”宣传活动，6个班级参加该活动的人数统计结果为：28，32，31，27，29，32．对于这组统计数据的中位数是 　 　．
13．（2分）（2017•香坊区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值　 　．
14．（2分）（2018秋•东坡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点G，AF＝4cm，DF＝8cm，AG＝6cm，则AC的长为　 　．

15．（2分）（2020•黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于　 　．

16．（2分）（2017秋•西城区校级期中）如图，抛物线C1：y＝x2经过平移得到抛物线C2：y＝x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是　 　．

17．（4分）若max{S1，S2，…，Sn}表示实数S1，S2，…，Sn中的最大者．设A＝（a1，a2，a3），b＝，记A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}，设A＝（x﹣1，x+1，1），，若A⊗B＝x﹣1，则x的取值范围为　 　．
18．（2分）（2021•沈阳模拟）在两张能重合的三角形纸片（△ABC与△DEF）中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠A＝∠EDF＝30°，BC＝EF＝2．将两张纸片按图1方式放置在桌面上（点C与点D重合），设边DF与AB交于点G．
（1）当点B恰好在DE上时，点F到直线CA的距离是　 　．
（2）如图2，固定△DEF，将△ABC绕着点C旋转，在旋转过程中，当△BGE是以BE为底边的等腰三角形时，△ACG的面积为　 　．

三．解答题（共10小题，满分82分）
19．（8分）（2021秋•麦积区期末）计算：
（1）； （2）．



20．（8分）（2020秋•蕲春县期中）解下列方程：
（1）2x2﹣4x+1＝0； （2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．




21．（6分）（2021秋•宝安区校级期中）如图，在边长为1的小正方形网格中：
（1）△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，则C的坐标为 　 　．
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2．
（3）△AC1C2的周长为 　 　，面积为 　 　．




22．（6分）（2020春•高新区期中）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　%，b＝　 　%，“常常”对应扇形的圆心角度数为　 　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？



23．（7分）（2020秋•孝义市期末）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为　 　；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．

24．（8分）（2020•义乌市模拟）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．





25．（8分）（2021•蒙阴县二模）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）








26．（11分）（2020秋•齐齐哈尔期末）专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？
（3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由．





27．（10分）（2020•渭滨区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5的经过点（﹣2，﹣15）、点（2，1）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）请用配方法求抛物线顶点A的坐标；
（3）已知点M坐标为（2，﹣1）．设动点P、Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P、Q两点的坐标．








28．（10分）（2021春·山西太原·九年级太原十二中校考阶段练习）如图1，把两块全等的含角的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，两边分别与线段，相交于点，.

(1)．请直接写出采用的相似三角形的判定定理；
(2)如图②，将含角的三角板（其中的锐角顶点与等腰（其中的底边中点重合，两边，分别与边、相交于点、．在不添加字母及辅助线的情形下，写出图中的一堆相似三角形，并证明．
(3)将（2）中的其他条件不变，将三角板旋转至两边，分别与边的延长线、边相交于点、．上述结论还成立吗？请你在图③上补全图形，并直接写出（2）中的结论是否成立．

答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2015秋•南开区期中）方程x（x+）＝0的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝ B．x1＝0，x2＝﹣
C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
解：方程x（x+）＝0，
可得x＝0或x+＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣．
故选：B．
2．（3分）（2019秋•新吴区期末）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴＝+＝+1＝，
故选：D．
3．（3分）（2019秋•新吴区期末）若直线l与半径为5的⊙O相离，则圆心O与直线l的距离d为（　　）
A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5
解：∵直线l与⊙O的位置关系是相离，
∴d＞r，
∴r＝5，
∴d＞5，
故选：B．
4．（3分）（2019秋•大东区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5，
则sinA＝＝．
故选：D．

5．（3分）（2021秋•金乡县期中）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
解：∵原抛物线的顶点为（1，2），
∴向左平移3个单位后，得到的顶点为（﹣2，2），
∴平移后图象的函数解析式为y＝（x+2）2+2．
故选：C．
6．（3分）（2020•云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B．1 C． D．
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
7．（3分）（2018秋•淮南期末）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1860吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　）
A．560（1+x）2＝1860
B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860
C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860
D．560+560（1+x）2＝1860
解：设二、三月份平均每月的增长率为x，
依题意，得：560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．
故选：C．
8．（3分）（2017秋•虹口区期末）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　）

A．1：2.6 B． C．1：2.4 D．
解：如图，根据题意知AB＝13、AC＝5，

则BC＝＝＝12，
∴斜坡的坡度i＝tan∠ABC＝＝＝1：2.4，
故选：C．
9．（3分）（2017秋•三门县期末）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（　　）

A．连接BD，可知BD是△ABC的中线
B．连接AE，可知AE是△ABC的高线
C．连接DE，可知
D．连接DE，可知S△CDE：S△ABC＝DE：AB
解：A、连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD是△ABC的高，故本选项不符合题意．
B、连接AE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE是△ABC的高，故本选项符合题意．
C、连接DE．可证△CDE∽△CBA，可得＝，故本选项不符合题意．
D、∵△CDE∽△CBA，可得S△CDE：S△ABC＝DE2：AB2，故本选项不符合题意，
故选：B．

10．（3分）（2019秋•梁园区期末）已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（　　）
A．1 B． C．2﹣ D．2+
解：设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点A（2，﹣1），
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，
∴（x﹣2）2﹣1＝n，
化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0
x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n
∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝
∵点B、C关于对称轴直线AD对称，
∴D为线段BC的中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝BC
即BC＝2AD
＝2（n+1），
∴（2+2n）＝（n+1）2，
化简，得n2＝1，
∴n＝1或﹣1，
n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，
所以n＝1．
故选：A．

二．填空题（共8小题，满分18分）
11．（2分）（2021秋•禅城区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则x的值＝　﹣2或﹣1　．
解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴1﹣m+2＝0．
∴m＝3．
当m＝3时，一元二次方程为x2+3x+2＝0，
∴（x+2）（x+1）＝0．
∴x＝﹣2或x＝﹣1．
故答案为：﹣2或﹣1．
12．（2分）（2021春•洪山区期末）某中学八年级开展“光盘行动”宣传活动，6个班级参加该活动的人数统计结果为：28，32，31，27，29，32．对于这组统计数据的中位数是 　30　．
解：∵人数统计结果为27，28，29，31，32，32，
∴这组统计数据的中位数是（29+31）÷2＝30，
故答案为：30．
13．（2分）（2017•香坊区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值　±1　．
解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（﹣2k）2﹣4＝0，解得k＝±1，
故答案为：±1．
14．（2分）（2018秋•东坡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点G，AF＝4cm，DF＝8cm，AG＝6cm，则AC的长为　30cm　．

解：延长FG交CB的延长线于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，BC∥AD．
∴∠EAF＝∠EBH，∠AFE＝∠BHE，
又AE＝BE，
∴△AFE≌△BHE（AAS），
∴BH＝AF＝4cm．
∵BC∥AD，
∴＝，
即＝，
则CG＝24，
则AC＝AG+CG＝30（cm）．
故答案为30cm．

15．（2分）（2020•黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于　π　．

解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，

∵OB＝，
∴的长为：＝π，
故答案为：π．
16．（2分）（2017秋•西城区校级期中）如图，抛物线C1：y＝x2经过平移得到抛物线C2：y＝x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是　9　．

解：抛物线C1：y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∵y＝x2+2x＝（x+3）2﹣3，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），对称轴为直线x＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝3，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：（3+3）×3＝9，

故答案为：9．
17．（4分）（2012•威远县校级模拟）若max{S1，S2，…，Sn}表示实数S1，S2，…，Sn中的最大者．设A＝（a1，a2，a3），b＝，记A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}，设A＝（x﹣1，x+1，1），，若A⊗B＝x﹣1，则x的取值范围为　　．
解：由A＝（x﹣1，x+1，1），，
得到A⊗B＝max{x﹣1，（x+1）（x﹣2），|x﹣1|}＝x﹣1，
则，
化简得 ，
由①解得：1﹣≤x≤1+；由②解得x≥1，
所以不等式组的解集为1≤x≤1+，
则x的取值范围为[1，1+]
故答案为：1≤x≤1+．
18．（2分）（2021•沈阳模拟）在两张能重合的三角形纸片（△ABC与△DEF）中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠A＝∠EDF＝30°，BC＝EF＝2．将两张纸片按图1方式放置在桌面上（点C与点D重合），设边DF与AB交于点G．
（1）当点B恰好在DE上时，点F到直线CA的距离是　2　．
（2）如图2，固定△DEF，将△ABC绕着点C旋转，在旋转过程中，当△BGE是以BE为底边的等腰三角形时，△ACG的面积为　2﹣　．

（1）解：如图1，过点F作FP⊥AC于点P．

∵∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，EF＝2，
∴FC＝2EF＝4．
又∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠BCA＝60°，
∴∠FCP＝∠BCA﹣∠EDF＝30°．
∴PF＝FC＝2．
故答案是：2．

（2）解：过点E作EH⊥CF于H．

∵△BGE是以BE为底边的等腰三角形，
∴BG＝EG，
设BG＝EG＝x．
∵∠EFG＝60°，EF＝2，
∴∠FEH＝30°，
∴FH＝BF＝1，EH＝FH＝，
CF＝2EF＝4，
∴CH＝CF﹣FH＝3，
∴HG＝CH﹣CG＝3﹣，
在Rt△EHG中，EH2+HG2＝EG2，
∴x2＝（）2+（3﹣）2，
解得x＝或﹣（舍弃），
∴BG＝，
∴S△ACG＝S△ABC﹣S△BCG＝×2×2﹣×2×＝2﹣．
故答案为：2﹣．
三．解答题（共10小题，满分82分）
19．（8分）（2021秋•麦积区期末）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝﹣3×3+×2
＝5﹣9+
＝﹣3；

（2）原式＝2﹣2×﹣4+×
＝2﹣﹣4+3
＝﹣1．
20．（8分）（2020秋•蕲春县期中）解下列方程：
（1）2x2﹣4x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
解：（1）2x2﹣4x+1＝0，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，
[（2x﹣1）+（3﹣x）][（2x﹣1）﹣（3﹣x）]＝0，
∴x+2＝0或3x﹣4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝．
21．（6分）（2021秋•宝安区校级期中）如图，在边长为1的小正方形网格中：
（1）△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，则C的坐标为 　（4，1）　．
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2．
（3）△AC1C2的周长为 　++2　，面积为 　17　．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
则C（4，1）；
故答案为：（4，1）；

（2）如图，△A2BC2即为所求；
（3）∵AC1＝＝，AC2＝＝，C1C2＝＝2，
∴△AC1C2的周长为++2；面积为7×6﹣5×2﹣2×6﹣7×4＝17，
故答案为：++2；17．
22．（6分）（2020春•高新区期中）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　12　%，b＝　36　%，“常常”对应扇形的圆心角度数为　108°　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名？
解：（1）44÷22%＝200（人），
a＝24÷200＝12%，
b＝72÷200＝36%，
360°×30%＝108°，
故答案为：12，36，108°；
（2）200×30%＝60（人），补全条形统计图如图所示：

（3）3000×30%＝900（人），3000×36%＝1080（人），
答：“常常”对错题进行整理、分析、改正的有900人，
“总是”对错题进行整理、分析、改正的有1080人．
23．（7分）（2020秋•孝义市期末）如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有“1”“2”“3”“4”“5”五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．
（1）若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为　　；
（2）若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．

解：（1）转动该转盘一次，指针指向的数字为偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画出树状图如下：

由树状图可得，所有结果有25种，并且每种结果发生的可能性都相等，其中两次指针指向的数字和为偶数的结果有13种．
将“两次指针指向的数字和为偶数的事件记为A”，则．
24．（8分）（2020•义乌市模拟）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．

解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，
∴阴影部分的面积＝AD•BD+＝+2π＝3+2π．

25．（8分）（2021•蒙阴县二模）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝64°，AC＝5m，
∴AB＝≈5÷0.44≈11.4（m）；
故答案为：11.4；
（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，
在Rt△ADE中，
∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，
∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．

26．（11分）（2020秋•齐齐哈尔期末）专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？
（3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由．
解：（1）根据每盒利润×销量＝总利润得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000（50＜x＜75）；

（2）由题意得：y＝﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，解得x＝60或80，
∵50＜x＜75，故x＝60（元），
故每盒的售价应为60元；

（3）由（1）知，y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10（x﹣40）（x﹣100），
∵﹣10＜0，故函数有最大值，
当x＝（40+100）＝70时，y的最大值为9000＜10000，
故专卖店每月销售此种礼盒的利润不能达到10000元．
27．（10分）（2020•渭滨区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5的经过点（﹣2，﹣15）、点（2，1）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）请用配方法求抛物线顶点A的坐标；
（3）已知点M坐标为（2，﹣1）．设动点P、Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P、Q两点的坐标．

解：（1）将点（﹣2，﹣15）、点（2，1）坐标代入y＝ax2+bx﹣5得：，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；

（2）＝﹣（x﹣4）2+3，
∴顶点A（4，3）；

（3）设点Q（4，s）、点P（m，﹣m2+4m﹣5），
①当AM是平行四边形的一条边时，
当点Q在A的下方时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P（m，﹣m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），
即：m﹣2＝4，﹣m2+4m﹣5﹣4＝s，
解得：m＝6，s＝﹣3，
即点P的坐标为（6，1）、点Q的坐标为（4，﹣3），
故当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2，
同理可得点P的坐标为（2，1）、点Q的坐标为（4，5），
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣m2+4m﹣5+s，
解得：m＝2，s＝1，
故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；
综上，P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，﹣3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．
28．（10分）（2021春·山西太原·九年级太原十二中校考阶段练习）如图1，把两块全等的含角的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，两边分别与线段，相交于点，.

(1)．请直接写出采用的相似三角形的判定定理；
(2)如图②，将含角的三角板（其中的锐角顶点与等腰（其中的底边中点重合，两边，分别与边、相交于点、．在不添加字母及辅助线的情形下，写出图中的一堆相似三角形，并证明．
(3)将（2）中的其他条件不变，将三角板旋转至两边，分别与边的延长线、边相交于点、．上述结论还成立吗？请你在图③上补全图形，并直接写出（2）中的结论是否成立．
【详解】（1）解：∵和均为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故采用的相似三角形的判定定理为：两角分别相等的两个三角形相似；
（2），证明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）根据题意，补画图形如下：

结论仍然成立，理由如下：
由（2）可知，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．