2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（20）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（20），共31页。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（20）
考试时间：120分钟 试卷满分：140分 考试范围：第1章-第8章
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋•南山区校级期中）方程y2＝25的解是（　　）
A．y＝5 B．y＝﹣5 C．y＝5或﹣5 D．y＝0或5
2．（3分）（2021秋•饶平县校级期中）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+4使得y＞4的x的取值范围是（　　）

A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＞0或x＜2 D．x＜0
3．（3分）（2022秋•邗江区校级月考）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
4．（3分）（2020•富宁县模拟）小欣同学对数据28，2■，48，50，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染看不到了，则分析结果与被污染数字无关的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．（3分）（2022秋•平阴县期中）已知＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）（2021•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π
7．（3分）（2019秋•建湖县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）（2021•义安区二模）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（　　）

A．2+ B．1+ C．2+ D．2﹣2
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•渭滨区期末）已知＝，且a+b＝22，则a的值为 　 　．
10．（3分）（2022秋•宝山区期中）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：5，E、E1分别是边AC、A1C1的中点，如果BE＝1，那么B1E1的长为 　 　．
11．（3分）（2022•城厢区模拟）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则＝　 　．
12．（3分）（2022•乌鲁木齐一模）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　 　．（用“＜”号表示）
13．（3分）（2022•湖州）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是 　 　．
14．（3分）（2021春•郓城县期末）口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共80个．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是35%，25%，则可估计口袋中蓝色球的个数约为 　 　．
15．（3分）（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝　 　．

16．（3分）（2019秋•小店区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则BC＝　 　．
17．（3分）（2022•沙依巴克区二模）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为3cm，则这个扇形的半径是　 　cm．

18．（3分）（2021•槐荫区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，点F在线段BE上．BF＝3．过点F作FG⊥DF交BC边于点G，交BD边于点H，则GH＝　 　．

三．解答题（共10小题，满分86分）
19．（8分）（2021•温江区校级开学）（1）计算：；




（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．





20．（7分）（2021秋•大余县期末）小源的父母决定期末考试后带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小源的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小源随机抽两次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等．
（1）小源最希望去婺源，则小源第一次恰好抽到婺源的概率是 　 　；
（2）除婺源外，小源还希望去明月山，求小源抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析）．







21．（7分）（2020春•铜梁区校级期中）习总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”巴川量子中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，学校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
（一）数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：
30
60
81
50
44
110
130
146
90
100
60
80
120
140
75
81
10
30
81
92
（二）整理数据：按如下分段整理样本数据：
课外阅读时间（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
4
（三）分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
a
b
（四）得出结论
（1）表格中的数据a＝　 　，b＝　 　．
（2）如果学校现有学生1000人，估计全校等级为“B”的学生人数；
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书的数量．








22．（8分）（2020•南关区校级模拟）图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
（3）在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为．





23．（8分）（2020秋•龙岗区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？







24．（8分）（2020秋•中宁县期末）鼓楼是位于银川南门的一座古建筑，是银川老城区的标志性景观．在课外实践活动中，银川某校九年级数学兴趣小组决定测量鼓楼的高，他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为30°，再往水城门的方向前进12米至C处，测得点A的仰角为45°（点D，C，B在一直线上），求鼓楼AB的高．（结果保留根号）





25．（9分）（2021秋•北京期中）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．










26．（9分）（2022•鄂伦春自治旗四模）某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是　 　元/件；当售价是　 　元/件时，周销售利润最大，最大利润是　 　元．
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．

27．（10分）（2022•鹿城区校级开学）如图1，正方形ABCD的边长为6，E是AD边上一点（不含端点），连结CE，P是D点关于EC的对称点，连结PA，PB，PC，PE．CH平分∠PCB交AB于点H，G为CE中点，连结PH，PG．设ED的长为a．
（1）①求∠HPC的度数．
②当a＝3时，HP＝　 　．
（2）如图2，当点P恰好落在线段AG上时，求证：AE2＝AP×AG．
（3）是否存在a的值，使得PG与△HBC的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．



28．（12分）（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．




答案与解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋•南山区校级期中）方程y2＝25的解是（　　）
A．y＝5 B．y＝﹣5 C．y＝5或﹣5 D．y＝0或5
解：y2＝25，
开方得：y＝±5，
故y＝5或﹣5，
故选：C．
2．（3分）（2021秋•饶平县校级期中）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+4使得y＞4的x的取值范围是（　　）

A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＞0或x＜2 D．x＜0
解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，4），
故y＞4时的x的取值范围是0＜x＜2，
故选：B．
3．（3分）（2022秋•邗江区校级月考）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故选：B．
4．（3分）（2020•富宁县模拟）小欣同学对数据28，2■，48，50，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染看不到了，则分析结果与被污染数字无关的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为48，与被涂污数字无关．
故选：C．
5．（3分）（2022秋•平阴县期中）已知＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．
解：∵＝，
∴b＝a，
∴＝＝；
故选：D．
6．（3分）（2021•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π
解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC：∠ADC＝2：1，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵∠E＝60°，
∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，
∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，
∵点C为的中点，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC⊥DE，
∴AD为⊙O的直径，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AB＝BE，
∴⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积＝4π，
故选：D．

7．（3分）（2019秋•建湖县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵BD⊥AC、CE⊥AB，
∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴△FBE∽△ABD，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴△BFE∽△CFD，
∵∠FCD＝∠ACE，
∴△CFD∽△CAE，
∴△BFE∽△CAE，
综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE这3个，
故选：C．
8．（3分）（2021•义安区二模）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为（　　）

A．2+ B．1+ C．2+ D．2﹣2
解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．

∵BA＝AH，BC＝CP，
∴AC＝PH，
∴当PH的值最大时，AC的值最大，
∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AH＝AB，
∴∠HOB＝90°，
∴OH＝OB＝2，
∵PH≤OH+OP，
∴PH≤2+2，
∴PH的最大值为2+2，
∴AC的最大值为+1．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•渭滨区期末）已知＝，且a+b＝22，则a的值为 　12　．
解：设＝＝k（k≠0），
则a＝6k，b＝5k，
∵a+b＝22，
∴6k+5k＝22，
∴k＝2，
∴a＝6k＝6×2＝12．
故答案为：12．
10．（3分）（2022秋•宝山区期中）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：5，E、E1分别是边AC、A1C1的中点，如果BE＝1，那么B1E1的长为 　　．
解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB：A1B1＝3：5，
∴对应中线BE、B1E1的比值为：3：5，
∴1：B1E1＝3：5，
∴B1E1＝．
故答案为：．
11．（3分）（2022•城厢区模拟）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则＝　3　．
解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系有：x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以＝＝3．
故答案为：3．
12．（3分）（2022•乌鲁木齐一模）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　y2＜y3＜y1　．（用“＜”号表示）
解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y2＜y3＜y1；
故答案y2＜y3＜y1．
13．（3分）（2022•湖州）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是 　　．
解：∵一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，
∴从这个箱子里随机摸出一个球，一共有6种可能性，其中出的球上所标数字大于4的有2种可能性，
∴出的球上所标数字大于4的概率是＝，
故答案为：．
14．（3分）（2021春•郓城县期末）口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共80个．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是35%，25%，则可估计口袋中蓝色球的个数约为 　32　．
解：∵摸到红球、黄球的频率依次是35%，25%，
∴估计口袋中蓝色球的个数＝（1﹣35%﹣25%）×80＝32（个）．
故答案为：32．
15．（3分）（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝　48°　．

解：连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝＝120°，
∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，
故答案为：48°．

16．（3分）（2019秋•小店区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则BC＝　8　．
解：由题可知：AC＝AB•cosA＝6，
则．
故答案为：8．
17．（3分）（2022•沙依巴克区二模）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为3cm，则这个扇形的半径是　9　cm．

解：设扇形的半径为r，则＝2π×3，
解得R＝9cm．
故答案为：9．
18．（3分）（2021•槐荫区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，点F在线段BE上．BF＝3．过点F作FG⊥DF交BC边于点G，交BD边于点H，则GH＝　　．

解：如图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°，
∴△MBF、△ABE、△EFN是等腰直角三角形，
∵BF＝3，BE＝4，
∴EF＝BE﹣BF＝，
∴EN＝NF＝1，
∴DE＝2，DN＝3，
∴AN＝BM＝FM＝DN＝3，
∵∠DFG＝∠DNF＝90°，
∴∠FDN＝∠GFM，
在△FDN和△GFM中，
，
∴△FDN≌△GFM（ASA），
∴NF＝MG＝1，
由勾股定理得：FG＝FD＝，
∵QN∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FQ＝，QN＝，
设GH＝x，则FH＝﹣x，
∵QD∥BG，
∴＝，
∴＝，
∴x＝．
即GH＝．
故答案为：．
三．解答题（共10小题，满分86分）
19．（8分）（2021•温江区校级开学）（1）计算：；
（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．
解：（1）原式＝1﹣2×+3+1
＝1﹣1+3+1
＝4；

（2）∵2x2﹣5x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（2x+1）＝0，
则x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣0.5．
20．（7分）（2021秋•大余县期末）小源的父母决定期末考试后带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小源的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小源随机抽两次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等．
（1）小源最希望去婺源，则小源第一次恰好抽到婺源的概率是 　　；
（2）除婺源外，小源还希望去明月山，求小源抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析）．
解：（1）∵有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山，
∴小源第一次恰好抽到婺源的概率是；
故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，小源抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的情况数有10种，
∴小源抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率＝．
21．（7分）（2020春•铜梁区校级期中）习总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”巴川量子中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，学校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
（一）数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：
30
60
81
50
44
110
130
146
90
100
60
80
120
140
75
81
10
30
81
92
（二）整理数据：按如下分段整理样本数据：
课外阅读时间（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
4
（三）分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
a
b
（四）得出结论
（1）表格中的数据a＝　81　，b＝　81　．
（2）如果学校现有学生1000人，估计全校等级为“B”的学生人数；
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书的数量．
解：（1）把20名学生每周用于课外阅读时间从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是81，因此中位数是81，即a＝81，
出现次数最多的数是81，优秀众数是81，即b＝81，
故答案为：81，81；
（2）1000×＝400（人），
答：全校1000名学生中等级为“B”的大约有400人；
（3）80×52÷320＝13（本），
答：估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书的数量为13本．
22．（8分）（2020•南关区校级模拟）图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
（3）在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、AB边上，位似比为．

解：（1）在图①中，中线AD即为所求；

（2）在图②中，点E即为所求；
（3）在图③中，△BMN即为所求．
23．（8分）（2020秋•龙岗区校级期中）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
解：（1）设该公司销售A产品每次的增长率为x，
依题意，得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．
（2）设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30+）套，
依题意，得：（2﹣y）（30+）＝70，
整理，得：4y2﹣5y+1＝0，
解得：y1＝，y2＝1．
∵尽量减少库存，
∴y＝1．
答：每套A产品需降价1万元．
24．（8分）（2020秋•中宁县期末）鼓楼是位于银川南门的一座古建筑，是银川老城区的标志性景观．在课外实践活动中，银川某校九年级数学兴趣小组决定测量鼓楼的高，他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为30°，再往水城门的方向前进12米至C处，测得点A的仰角为45°（点D，C，B在一直线上），求鼓楼AB的高．（结果保留根号）

解：由题意得，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，CD＝12 m，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝BC，
∴BD＝BC+CD＝AB+CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠D＝tan30°＝，
∴＝，
∴AB＝（6+6）（米），
答：鼓楼AB的高是（6+6）米．
25．（9分）（2021秋•北京期中）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．

解：（1）如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，交OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝4．
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，
（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5．
即半径为5．

26．（9分）（2022•鄂伦春自治旗四模）某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是　40　元/件；当售价是　75　元/件时，周销售利润最大，最大利润是　2450　元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
解：（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（60，100），（70，80）分别代入得：
，
解得：．
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220．
②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
故答案为：40，75，2450．
（2）由题意得：
w＝（﹣2x+220）（x﹣40﹣m）
＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣＝75+，
又∵x≤70，
∴当x＜75+时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，
w有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m）＝1600
解得：m＝10．
∴周销售最大利润是1600元时，m的值为10．
27．（10分）（2022•鹿城区校级开学）如图1，正方形ABCD的边长为6，E是AD边上一点（不含端点），连结CE，P是D点关于EC的对称点，连结PA，PB，PC，PE．CH平分∠PCB交AB于点H，G为CE中点，连结PH，PG．设ED的长为a．
（1）①求∠HPC的度数．
②当a＝3时，HP＝　2　．
（2）如图2，当点P恰好落在线段AG上时，求证：AE2＝AP×AG．
（3）是否存在a的值，使得PG与△HBC的一边平行，若存在，求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．


（1）解：①∵P是D点关于EC的对称点，
∴△PEC≌△DEC，
∴PC＝DC＝BC，
∵CH平分∠PCB，
∴∠BCH＝∠PCH，
在△BCH和△PCH中，
，
∴△BCH≌△PCH（SAS），
∴∠HPC＝∠HBC＝90°，
即∠HPC＝90°；
②由①得△PEC≌△DEC，△BCH≌△PCH，
∴∠EPC＝∠D＝90°，ED＝PE＝3，AE＝3，
∴∠HPE＝∠EPC+∠HPC＝180°，即点H、P、E在同一条直线上，
设HP＝x，
∵△BCH≌△PCH，
∴HP＝HB＝x，AH＝6﹣x，HE＝3+x，
在Rt△AHE中，AH2+AE2＝EH2，
即（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得：x＝2，
即HP＝2，
故答案为：2；
（2）证明：∵G为CE中点，∠EPC＝90°，
∴PG＝GC＝EG，
∴∠2＝∠3＝∠1，
∵四边形EPCD中，∠PED+∠1+∠2＝360°﹣∠D﹣∠EPC＝180°，
∠PED+∠5＝180°，
∴∠5＝∠1+∠2，
∵∠4＝∠2+∠3＝∠2+∠1，
∴∠5＝∠4，
又∵∠EAP＝∠GAE，
∴△EAP∽△GAE，
∴＝，
∴AE2＝AP×AG；

（3）解：存在，a＝6﹣6或2，理由：
①如图：当PG∥HC时：

∵EG＝GC，
∴EP＝PH，
又∵ED＝PE，BH＝PH，
∴ED＝PE＝BH＝PH＝a，AE＝AH＝6﹣a，HE＝2a，
∴Rt△AHE是等腰直角三角形，
＝sin45°，即＝，
解得：a＝6﹣6；
②如图：当PG∥BC时：

∴∠GPC＝∠PCB，
∵PG＝GC，∠PCG＝∠DCE，
∴∠GPC＝∠GCP＝∠DCE＝∠BCP，
∵∠GCP+∠DCE+∠BCP＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵tan∠DCE＝，
∴ED＝DC×tan30°＝6×＝2，即a＝2；
③当PG∥AB时：
∵AB∥CD，当PG∥AB时，
则PG∥CD，
∴∠DCE＝∠PGC，
∵∠PCG＝∠DCE，∠GPC＝∠GCP，
∴∠PCG＝∠GPC＝∠PGC＝60°，
∴∠PCG＝∠DCE＝60°，即∠PCG+∠DCE＝120°＞∠DCB，
故此种情况不成立．
综上所述，存在a的值即当a＝6﹣6或2，使得PG与△HBC的一边平行．
28．（12分）（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．


解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如图1，

作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+m，
由＝x+m得，
x2﹣4x﹣3（m+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（m+4）＝4，
∴m＝﹣，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣，
∴x＝2，y＝﹣，
∴P1（2，﹣），
∵E（0，﹣），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣）），
即（0，﹣），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2，2﹣），
综上所述：点P（2，﹣）或（2﹣2，﹣2﹣）或（2+2，2﹣）；
（3）如图2，

作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为：，
∴OH＝，
∵NH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴＝，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴＝2•，
∴EF＝，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴＝，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y＝﹣﹣4＝，
∴M（﹣4，）