2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（21）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（21），共28页。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（21）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第1章-第8章
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•宜州区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1
C．x2++5＝0 D．x2+5x﹣6＝x2
2．（3分）（2021•惠城区一模）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
3．（3分）（2020•渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．120°
4．（3分）（2019秋•南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O上 D．不能确定
5．（3分）（2020•龙湾区二模）若20件外观相同的产品中有3件不合格产品，现从这20件产品中任意抽取1件进行检测，则抽到合格产品的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022春•雨花区校级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
7．（3分）（2022•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（　　）
A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．2或6 D．﹣2或﹣6
8．（3分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•崆峒区校级月考）请任写一个二次函数解析式，使这个函数的图象具备以下两个特点：
①开口向上；②对称轴为y轴．这个函数可以是 　 　．
10．（3分）（2022•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝　 　．
11．（3分）（2021春•两江新区期末）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是 　 　．
12．（3分）（2022秋•射阳县校级月考）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是 　 　．
13．（3分）（2022秋•通榆县月考）抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，则此抛物线的顶点坐标是 　 　．

14．（3分）（2022春•青岛期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是 　 　．

15．（3分）（2020秋•赤峰期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴方程为x＝1．下列结论；①a＜0；②c＜0；③＝﹣1；④b2﹣4ac＜0；⑤图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）；⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的是 　 　．（填序号）

16．（3分）（2020•浙江自主招生）将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1））每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n个图形为“雪花曲线（n）”，其周长为ln，若“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，则l2013＝　 　．

三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（6分）（2021秋•娄星区校级月考）（1）用直接开平方法解下列方程：9x2﹣81＝0；


（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0．


18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．




19．（8分）（2017秋•交城县期中）已知二次函数．
（1）将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y＜0时x的取值范围；
（3）当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值．

20．（8分）（2021秋•中宁县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0．
（1）当m取何值时，该方程有实数根？
（2）当m＝0时，用合适的方法求此时该方程的解．



21．（8分）（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 　 　；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．



22．（10分）（2021秋•聊城期末）下面的表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．
考试类别
平时
期中考试
期末考试
第一单元
第二单元
第三单元
第四单元
成绩
88
92
90
86
90
96
（1）小明6次成绩的众数是 　 　分；中位数是 　 　分；
（2）计算小明平时成绩的平均分；
（3）计算小明平时成绩的方差；
（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．





23．（10分）（2022•岳池县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）．




24．（10分）（2020•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．

（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？
（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．
①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；
②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．



25．（12分）（2022•双峰县一模）为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？




26．（12分）（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．







27．（12分）（2021•烟台模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC＝．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；
（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

答案与解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•宜州区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1
C．x2++5＝0 D．x2+5x﹣6＝x2
解：A．ax2+3x+1＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项不合题意；
D．x2+5x﹣6＝x2，整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）（2021•惠城区一模）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
解：∵m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝3．
故选：D．
3．（3分）（2020•渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．120°
解：∵AC为⊙O的直径，
∴++的度数是180°，
∴∠A+∠B+∠C＝90°，
故选：C．
4．（3分）（2019秋•南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O上 D．不能确定
解：∵点A到圆心O的距离d＝4，⊙O的半径r＝3，
∴d＞r，
则点A在⊙O外，
故选：A．
5．（3分）（2020•龙湾区二模）若20件外观相同的产品中有3件不合格产品，现从这20件产品中任意抽取1件进行检测，则抽到合格产品的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：根据题意抽到合格产品的概率是＝，
故选：D．
6．（3分）（2022春•雨花区校级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
解：∵一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，
∴（2+1+4+x+6）÷5＝4，
解得x＝7，
故选：D．
7．（3分）（2022•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（　　）
A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．2或6 D．﹣2或﹣6
解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+m，
∴这条抛物线的顶点为（2，m﹣4），
∴关于y轴对称的抛物线的顶点（﹣2，m﹣4），
∵它们的顶点与原点的连线互相垂直，
∴2×[22+（m﹣4）2]＝42，
整理得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
∴m的值是2或6．
故选：C．
8．（3分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
解：由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•崆峒区校级月考）请任写一个二次函数解析式，使这个函数的图象具备以下两个特点：
①开口向上；②对称轴为y轴．这个函数可以是 　y＝2x2﹣1（答案不唯一）　．
解：∵抛物线的对称轴为y轴，
∴该抛武线的解析式为y＝ax2+c，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，
故答案为：y＝2x2﹣1（答案不唯一）．
10．（3分）（2022•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝　2（x+2）（x﹣2）　．
解：∵方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，
∴2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣2），
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
11．（3分）（2021春•两江新区期末）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是 　27　．
解：将这组数据从小到大排列为：18，22，25，27，30，32，34，处在中间位置的一个数是27，因此中位数是27，
故答案为：27．
12．（3分）（2022秋•射阳县校级月考）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是 　7　．
解：设圆锥的母线长为l，
设由题意得，14π＝πl×2，
解得，l＝7，
故答案为：7．
13．（3分）（2022秋•通榆县月考）抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，则此抛物线的顶点坐标是 　（1，4）　．

解：把（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+k，
3＝﹣1+k
k＝4，
∴抛物线的顶点坐标是（1，4）．
故答案为：（1，4）．
14．（3分）（2022春•青岛期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是 　　．

解：根据题意可得：指针落在阴影区域的概率是＝．
故答案为：．
15．（3分）（2020秋•赤峰期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴方程为x＝1．下列结论；①a＜0；②c＜0；③＝﹣1；④b2﹣4ac＜0；⑤图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）；⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的是 　①③　．（填序号）

解：由图象可知：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a＜0，故①正确，②错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴＝﹣1，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故④错误；
∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），故⑤错误；
当x＞1时，由图象可知y随x的增大而减小，故⑥错误；
正确的是①③．
故答案为①③．
16．（3分）（2020•浙江自主招生）将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1））每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n个图形为“雪花曲线（n）”，其周长为ln，若“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，则l2013＝　2684　．

解：设图（1）中等边三角形的边长为a，
∴第一个三角形的周长＝3a，
观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，
第三个在第二个的基础上，多了其周长的．
第二个周长：×3a，
第三个周长：＝×3a；
第四个周长：＝×3a；
…
故第n个图形的周长是第一个周长的（）n﹣1倍，即周长是3a×，
∵“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，
即2013＝3a×，
则l2013＝3a×＝2013×＝2684，
故答案为：2684．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（6分）（2021秋•娄星区校级月考）（1）用直接开平方法解下列方程：9x2﹣81＝0；
（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0．
解：（1）9x2﹣81＝0，
x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）x2﹣6x﹣9＝0，
x2﹣6x＝9，
x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，
∴x﹣3＝±3，
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．
解：（1）∵方程x2﹣4x+m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m≥0，
∴m≤4．
（2）∵方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝4．
∵5x1+2x2＝2，x1+x2＝4，
∴x1＝﹣2，x2＝6，
∴二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣6|＝8．
19．（8分）（2017秋•交城县期中）已知二次函数．
（1）将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y＜0时x的取值范围；
（3）当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值．

解：（1）＝，
开口向上，顶点为（3，），对称轴为：直线x＝3，
（2）如图所示，由图可知，当2＜x＜4时，y＜0；

（3）当x＝0时，y有最大值4，当x＝3时，y有最小值﹣．
20．（8分）（2021秋•中宁县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0．
（1）当m取何值时，该方程有实数根？
（2）当m＝0时，用合适的方法求此时该方程的解．
解：（1）△＝（2m﹣3）2﹣4m2≥0，
整理得﹣12m+9≥0，
解得，
所以，当时，方程有实数根；
（2）当m＝0时，方程为x2+3x＝0，
∴x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3．
21．（8分）（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 　　；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，
∴两次取出小球标号的和等于5的概率为＝．
22．（10分）（2021秋•聊城期末）下面的表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．
考试类别
平时
期中考试
期末考试
第一单元
第二单元
第三单元
第四单元
成绩
88
92
90
86
90
96
（1）小明6次成绩的众数是 　90　分；中位数是 　90　分；
（2）计算小明平时成绩的平均分；
（3）计算小明平时成绩的方差；
（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．

解：（1）成绩从大到小排列为96，92，90，90，88，86，
则中位数是：＝90分，众数是90分，
故答案是：90，90；
（2）小明平时成绩的平均分为＝89（分）；
（3）小明平时成绩的方差为×[（88﹣89）2+（92﹣89）2+（90﹣89）2+（86﹣89）2]＝5；
（4）89×10%+90×30%+96×60%＝93.5（分）．
答：小明的总评分应该是93.5分．
23．（10分）（2022•岳池县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）．

（1）证明：连接OC，

∵CF⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∴∠OCF＝∠CFD＝90°，
∵OC是圆O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBD＝30°，
∴∠ABC＝∠CBD＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AO＝AC＝5，
∴BC＝ACtan60°＝5，
∴△ABC的面积＝AC•BC＝×5×5＝，
∵OA＝OB，
∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝，
∴阴影部分面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积
＝﹣
＝，
答：阴影部分面积为：．
24．（10分）（2020•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．

（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？
（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．
①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；
②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．
解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．
当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．
若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，
解得t＝1．
若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，
解得t＝1.8．
综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．
（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：

∵直线y＝x与x轴的夹角为450，
∴OC平分∠AOB．
∴∠AOC＝∠BOC．
∴CN＝CM．
又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，
∴∠CND＝∠CMO．
∴△CND≌△CMO（SAS）．
∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．
又∵∠AOB＝90°，
∴MN为⊙O的直径，
∴∠MCN＝90°．
∴∠OCM+∠OCN＝90°．
∴∠DCN+∠OCN＝90°．
∴∠OCD＝90°．
又∵CD＝CO，
∴OD＝OC．
∴ON+ND＝OC．
∴OM+ON＝OC．
②当 t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：

∵∠COD＝45°，
∴△CDO为等腰直角三角形，
∴OD＝OC．
∵MN为⊙O的直径，
∴∠MCN＝90°．
又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，
∴MC＝NC．
又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，
∴∠DCN＝∠OCM．
∴△CDN≌△COM（SAS）．
∴DN＝OM．
又∵OD＝OC，
∴ON﹣DN＝OC．
∴当2＜t＜3时，ON﹣OM＝OC；
当t＞3时，OM﹣ON＝OC．
当t＝3时，OM＝ON．
25．（12分）（2022•双峰县一模）为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？
解：（1）由题意得，
w与x之间的函数关系式是w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，
∵，
解得：40＜x＜100，
∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x2+280x﹣8000（40＜x＜100）；
（2）由（1）可知，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当x＝70时，w取得最大值1800，
答：当售价定为70元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元；
（3）由（1）可得，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
令﹣2（x﹣70）2+1800＝1000，
解得x1＝50，x2＝90，
∵﹣2（x﹣70）2+1800≥1000，
∴50≤x≤90，
答：至少获得1000元的销售利润，销售价应在50≤x≤90这个范围内．
26．（12分）（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．
（1）求证：∠CAG＝∠AGC；
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；
（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．

（1）证明：∵AH是⊙O的切线，
∴AH⊥AB，
∴∠GAB＝90°，
∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，
∴点E在AB上，CE＝CA，
∴∠CEA＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，
∴∠CAG＝∠AGC；

（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECD，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴CF∥AD，
∴＝，
∵CE＝AC＝AD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝；

（3）解：如图1中，当OC∥AF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，则∠CAG＝∠ACD＝∠DCF＝∠AFG＝α，

∵OC∥AF，
∴∠OCF＝∠AFC＝α，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC＝3α，
∵∠OAG＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，
∵OC＝OF，OA＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFC＝22.5°，
∴∠OFA＝∠OAF＝45°，
∴AF＝OF＝OC，
∵OC∥AF，
∴＝＝，
∵OA＝1，
∴AE＝×1＝2﹣．
如图2中，当OC∥AF时，连接OC，AD，设CD交AE点M．

设∠OAC＝α，
∵OC∥AF，
∴∠FAC＝∠OCA＝α，
∴∠COE＝∠FAE＝2α，
∵∠AFG＝∠D，∠AGF＝∠D，
∴∠AGC＝∠AFG＝∠AEC+∠FAE＝3α，
∵∠AGC+∠AEC＝90°，
∴4α＝90°，
∴α＝22.5°，2α＝45°，
∴△COM是等腰直角三角形，
∴OC＝OM，
∴OM＝，AM＝+1，
∴AE＝2AM＝2+；
如图3中，当AC∥OF时，连接OC，OF．

设∠AGF＝α，
∵∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝2α，
∵AC∥OF，
∴∠CFO＝∠ACF＝2α，
∴∠CAO＝∠ACO＝4α，
∵∠AOC+∠OAC+∠ACO＝180°，
∴10α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠COE＝∠ECO＝∠CFO＝36°，
∴△OCE∽△FCO，
∴OC2＝CE×CF，
∴1＝CE（CE+1），
∴CE＝AC＝OE＝，
∴AE＝OA﹣OE＝．
如图4中，当AC∥OF时，连接OC，OF，BF．

设∠FAO＝α，
∵AC∥OF，
∴∠CAF＝∠OFA＝α，
∴∠COF＝∠BOF＝2α，
∵AC＝CE，
∴∠AEC＝∠CAE＝∠EFB，
∴BF＝BE，
由△OCF≌△OBF，
∴CF＝BF＝BE，
∵∠BEF＝∠COF，
∴△COF∽△CEO，
∴OC2＝CE•CF，
∴BE＝CF＝，
∴AE＝AB+BE＝．
综上所述，满足条件的AE的长为2﹣或2+或或，


27．（12分）（2021•烟台模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC＝．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；
（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3，
∴OC＝3．
∵sin∠OBC＝，
∴∠OBC＝45°．
∴OB＝OC＝3．
∴B（3，0）．
∵A（1，0），
∴，
∴．
∴y＝﹣x2+4x﹣3．

（2）相交．
证明：∵BD⊥BC，
∴∠OBE＝45°．
∴OE＝OB＝3．
∴E（0，3 ）．
设直线BE为y＝kx+t，
∴．
∴，
∴y＝﹣x+3，
联立．
解得，．
∴D（2，1）．
∴AD＝＝，
∵AD＞OA，
∴以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴相交．

（3）存在，
如图，过A点作OM的垂线交⊙A于第一象限内点P，垂足为H．此时，△OPM的面积最大．

由，得．
∴M（﹣2，5）．
OM＝，
∵∠ONM＝∠OHA＝90°，∠MON＝∠AOH，
∴△ONM∽△OHA．
∴．
∴AH＝．
∵AP＝，
∴PH＝+，
∴S△OPM＝OM⋅PH＝××（+）＝．