2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（22）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（22），共31页。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（22）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第1章-第8章
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2011•海南模拟）如图，直径AB、CD互相垂直，现有一小球在此圆盘上滚动，落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）（2021春•柳南区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝4，CE＝1，BD＝3，则DF的值为（　　）

A． B． C． D．1
3．（3分）（2020秋•江夏区期中）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2） 2﹣1
C．y＝﹣2（x﹣4） 2﹣5 D．y＝﹣2（x+2） 2﹣5
4．（3分）（2021秋•富县期中）已知x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，则实数b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
5．（3分）（2022•涧西区一模）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
3
3
6
9
12
10
■
■
A．中位数，众数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
6．（3分）（2022•攸县模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（　　）

A．70° B．110° C．120° D．140°
7．（3分）（2022•茶陵县模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（　　）
A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上
B．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点
C．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点
D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2
8．（3分）（2021秋•仙居县期中）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是（　　）
A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．﹣或2 D．或﹣2
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•长兴县期中）已知⊙O的半径长为10cm，若点P在⊙O外，则线段OP的长度为 　 　cm．（写出一个正确的值即可）
10．（3分）（2022•丰县二模）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则此圆的侧面积是 　 　cm2．

11．（3分）（2021春•朝阳区期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中 　 　（填“面试”或“笔试”）的权重较大．
12．（3分）（2018秋•武陵区校级期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，AC＞BC，则AC＝　 　．
13．（3分）（2021•安徽模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格的范围为16≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是 　 　元．
14．（3分）（2022春•荷塘区期末）如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 　 　．

15．（3分）（2022•顺德区一模）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小明拿来一面镜子平放在离树根部5m的地面上，然后沿着树根和镜子所在的直线后退，当后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的眼睛到地面的距离为1.5m，则大树的高度是 　 　m．

16．（3分）（2021春•蓬莱市期末）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是 　 　．
17．（3分）（2021秋•义马市期中）如图，把等边三角形ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC．若BP＝4cm，DP＝4cm，则EC＝　 　cm．（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）

18．（3分）（2021•雨花区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，则CD的长为　 　．

三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（2021秋•凯里市校级月考）解方程．
（1）2x2﹣4x＝5 （2）5（x﹣3）2＝x2﹣9




20．（10分）（2021•东莞市校级二模）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出下面的统计表和如图的统计图．已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，甲组成绩的中位数是　 　，乙组成绩的众数是　 　；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S＝＝0.81．





21．（8分）（2022•二道区校级开学）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 　 　．
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率．








22．（8分）（2021秋•德惠市期末）图①、图②、图③都是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上．请按要求解答问题．（画图只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹）
要求：（1）如图①，＝　 　；
（2）如图②，在BC上找一点F使BF＝2；
（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．





23．（10分）（2020春•任城区期末）为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的6.4元降至4.9元，求平均每次的降价率是多少？
24．（8分）（2021秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD＝∠CBD，DC2＝DE•DB．
（1）求证：△AEB∽△DEC；
（2）求证：BC•AD＝CE•BD．




25．（10分）（2021•襄阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点且与AC的另一个交点为F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝12．∠BAC＝60°，求阴影部分的面积．



26．（10分）（2021秋•仓山区校级期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；
一般地，把（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）⑤＝　 　；
（2）关于除方，下列说法错误的是 　 　；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1；
C．7⑨＝8⑧；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝　 　；5⑥＝　 　；（﹣）⑩＝　 　．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 　 　．
（3）算一算122÷（﹣）④×（﹣）⑧﹣（）⑳×（﹣）19．





27．（12分）（2021秋•江都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在边AB上，且AE＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD﹣DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长；
（2）如图2，如果BC＝4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值．















28．（12分）（2021•济南一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ的长为d．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求d与m之间的函数关系式；
（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；
（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．


答案与解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2011•海南模拟）如图，直径AB、CD互相垂直，现有一小球在此圆盘上滚动，落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
解：∵直径AB、CD互相垂直，
∴把圆分成全等的4部分，
把阴影部分进行平移，可得一个90°的扇形，为圆面积的，
∴落在阴影部分的概率为．
故选：B．
2．（3分）（2021春•柳南区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝4，CE＝1，BD＝3，则DF的值为（　　）

A． B． C． D．1
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得，DF＝，
故选：C．
3．（3分）（2020秋•江夏区期中）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2） 2﹣1
C．y＝﹣2（x﹣4） 2﹣5 D．y＝﹣2（x+2） 2﹣5
解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝﹣2（x﹣4） 2﹣5．
故选：C．
4．（3分）（2021秋•富县期中）已知x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，则实数b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
解：∵x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，
∴9﹣3b﹣6＝0，
∴b＝1．
故选：B．
5．（3分）（2022•涧西区一模）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
3
3
6
9
12
10
■
■
A．中位数，众数 B．中位数，方差
C．平均数，方差 D．平均数，众数
解：由表格数据可知，成绩为4.9、5.0的人数为50﹣（3+3+6+9+12+10）＝7（人），
视力为4.7出现次数最多，因此视力的众数是4.7，
视力从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是4.7，因此中位数是4.7，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：A．
6．（3分）（2022•攸县模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（　　）

A．70° B．110° C．120° D．140°
解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．

7．（3分）（2022•茶陵县模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（　　）
A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上
B．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点
C．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点
D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2
解：∵函数的二次项系数a＞0，
∴函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意；
∵x＝0和x＝2时对应的函数值相等，
∴函数的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴m＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+n，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4n＝4﹣4n，
当n＞1时，4﹣4n＜0，
∴当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴没有交点，故选项B错误，符合题意；
当x＝0时，y＝n，
∴抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点，故选项C正确，不符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵＝1，
∴y1＝y2，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）（2021秋•仙居县期中）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是（　　）
A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．﹣或2 D．或﹣2
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
①当≤﹣2，即m≤﹣4时，当x＝﹣2时，函数最大值为3，
∴﹣4﹣2m＝3，
解得：m＝﹣3.5（舍去）；
②当≥1，即m≥2时，当x＝1时，函数最大值为3，
∴﹣1+m＝3，
解得：m＝4．
③当﹣2＜＜1，即﹣4＜m＜2时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2（舍去）或m＝﹣2，
综上所述，m＝4或m＝﹣2，
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）（2021秋•长兴县期中）已知⊙O的半径长为10cm，若点P在⊙O外，则线段OP的长度为 　11　cm．（写出一个正确的值即可）
解：由题意，得
d＞r，
即线段OP的长度大于10cm．
故答案为：11（答案不唯一，大于10的数均可）．
10．（3分）（2022•丰县二模）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则此圆的侧面积是 　60π　cm2．

解：∵h＝8cm，r＝6cm，
可设圆锥母线长为lcm，
由勾股定理，l＝＝10（cm），
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60πcm2，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故答案为：60π．
11．（3分）（2021春•朝阳区期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中 　面试　（填“面试”或“笔试”）的权重较大．
解：设面试成绩所占百分比为x，则笔试成绩所占百分比为（1﹣x），
根据题意，得：86x+90（1﹣x）＝87.6，
解得x＝0.6，
则1﹣x＝0.4，
∴此次招聘中面试的权重较大，
故答案为：面试．
12．（3分）（2018秋•武陵区校级期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，AC＞BC，则AC＝　﹣1　．
解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．
故答案为﹣1．
13．（3分）（2021•安徽模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格的范围为16≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是 　1558　元．
解：∵﹣2＜0，
∴当x＜20时，y随x的增大而增大，
∵16≤x≤22，
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1558，
故答案为：1558．
14．（3分）（2022春•荷塘区期末）如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 　1600米　．

解：根据题意得：360°÷45°＝8，
则他走回点A时共走的路程是8×200＝1600（米）．
故回到A点共走了1600米．
故答案为：1600米．
15．（3分）（2022•顺德区一模）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小明拿来一面镜子平放在离树根部5m的地面上，然后沿着树根和镜子所在的直线后退，当后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的眼睛到地面的距离为1.5m，则大树的高度是 　7.5　m．

解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.5：DE，
∴DE＝7.5（m），
故答案为：7.5．

16．（3分）（2021春•蓬莱市期末）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是 　a≥1　．
解：∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即16+4（a﹣5）≥0解得，
a≥1，
且a﹣5≠0，a≠5；
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
当a＝5时为一元一次方程，方程有一根．
综上所知，a的取值范围是a≥1．
故答案为：a≥1．
17．（3分）（2021秋•义马市期中）如图，把等边三角形ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC．若BP＝4cm，DP＝4cm，则EC＝　2+2　cm．（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）

解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC，
∵DP⊥BC，
∴∠BPD＝90°，∠BDP＝30°，
∵PB＝4cm，
∴BD＝8cm，
∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，
∴，∠DPE＝∠A＝60°，
∴∴∴．
∵∠EPC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠PEC＝90°，∴．
故答案为：．
18．（3分）（2021•雨花区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，则CD的长为　　．

解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，

∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，
∴OE＝OH＝OF，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴×3×4＝×3×OH+×4×OF+×5×OE，
∴OE＝OF＝OH＝1，
法一：∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，
∴四边形OFBH是矩形，
∴BF＝OH＝1，
∴CF＝3，
∵点O为Rt△ABC的内心，
∴∠OCF＝∠OCE，
∵∠CEO＝∠CFO＝90°，
在△COE和△COF中，

∴△COE≌△COF（AAS），
∴CE＝CF＝3，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，
∴OD＝DC，
∵OD2＝DE2+OE2，
∴CD2＝（3﹣CD）2+1，
∴CD＝；
法二：过D作DG⊥BC，垂足为G，如下图所示，

∵AB⊥BC，DG⊥BC，OF⊥BC，OD∥BC，
∴AB∥DG，DG＝OF＝1，
∴△ABC∽△DGC，
∴＝，
∴＝，
∴DC＝；
故答案为：．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（2021秋•凯里市校级月考）解方程．
（1）2x2﹣4x＝5
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9
解：（1）∵2x2﹣4x＝5，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵5（x﹣3）2＝x2﹣9，
∴5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（4x﹣18）＝0，
则x﹣3＝0或4x﹣18＝0，
解得x1＝3，x2＝．
20．（10分）（2021•东莞市校级二模）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出下面的统计表和如图的统计图．已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝　3　，甲组成绩的中位数是　8.5　，乙组成绩的众数是　8　；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S＝＝0.81．

解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），
把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位教是（分），
乙组成绩8分出现的次数最多，出现了9次，
则乙组成绩的众数是8分．
故答案为：3，8.5，8；
（2）＝[2×7+9×8+9×6+10×3]＝8.5，
乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；
∵＜，
∴乙组的成绩更加稳定．
21．（8分）（2022•二道区校级开学）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 　　．
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率．
解：（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于9的结果有4个，
∴抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率为＝．
22．（8分）（2021秋•德惠市期末）图①、图②、图③都是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上．请按要求解答问题．（画图只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹）
要求：（1）如图①，＝　　；
（2）如图②，在BC上找一点F使BF＝2；
（3）如图③，在AC上找一点M，连结BM、DM，使△ABM∽△CDM．


解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，
∴，
故答案为：；
（2）由勾股定理知BC＝5，
则，
由（1）同理知，点F即为所求；

（3）如图所示，点M即为所求．

23．（10分）（2020春•任城区期末）为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的6.4元降至4.9元，求平均每次的降价率是多少？
解：设平均每次的降价率是x，
依题意得：6.4（1﹣x）2＝4.9，
解得：x1＝＝12.5%，x2＝（不合题意，舍去）．
答：平均每次的降价率是12.5%．
24．（8分）（2021秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD＝∠CBD，DC2＝DE•DB．
（1）求证：△AEB∽△DEC；
（2）求证：BC•AD＝CE•BD．

证明：（1）∵DC2＝DE⋅DB，
∴，
∵∠CDE＝∠BDC，
∴△DCE∽△DBC，
∴∠DCE＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠DCE＝∠ABD，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC；
（2）∵△AEB∽△DEC，
∴，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴∠ADE＝∠BCE，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴△BDA∽△BCE，
∴，
∴BC•AD＝CE•BD．
25．（10分）（2021•襄阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点且与AC的另一个交点为F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝12．∠BAC＝60°，求阴影部分的面积．

（1）证明：如图1，连接AD，OD．
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°．
∴AB是⊙O的直径，即点O为AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接OF，DF．
∵OA＝OF，∠BAC＝60°，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠BAC＝∠AOF＝∠AFO＝60°，
∵OD∥AC，
∴∠DOF＝∠AFO＝60°，
又∵OD＝OF，
∴△ODF是等边三角形，
∴OD＝DF，∠ODF＝60°，
∴∠FDE＝∠ODE﹣∠ODF＝30°，
∵AB是⊙O的直径，AB＝12，
∴OD＝DF＝6，
∴EF＝3，
由勾股定理得DE＝＝＝3，
∴S阴影＝S梯形ODEF﹣S扇形ODF＝×（3+6）×3﹣＝﹣6π．


26．（10分）（2021秋•仓山区校级期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；
再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；
一般地，把（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　　，（﹣）⑤＝　﹣8　；
（2）关于除方，下列说法错误的是 　C　；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1；
C．7⑨＝8⑧；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
（﹣3）④＝　　；5⑥＝　　；（﹣）⑩＝　（﹣2）8　．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 　　．
（3）算一算122÷（﹣）④×（﹣）⑧﹣（）⑳×（﹣）19．
解：【初步探究】
（1）2③＝2÷2÷2＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣8，
故答案为：；﹣8；
（2）∵根据除方的定义，任何非零数的圈2次方都等于1，
∴A选项说法正确；
∵根据除方的定义，对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1，
∴B选项说法正确；
∵7⑨＝7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7÷7＝，
8⑧＝8÷8÷8÷8÷8÷8÷8÷8＝，
∴7⑨≠8⑧．
∴C选项说法不正确；
∵几个不等于0的有理数相除，商的符号由负因数的个数决定，负因数的个数为奇数商为负，负因数的个数为偶数商为正，
∴根据除方的定义，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，
∴D选项正确．
综上所述，说法错误的是：7⑨≠8⑧．
故选：C．
【深入思考】
（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）＝，
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1××××＝，
（﹣）⑩＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）
＝1×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）8，
故答案为：；；（﹣2）8．
（2）由（1）可知：
将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于，
故答案为：．
（3）122÷（﹣）④×（﹣）⑧﹣（）⑳×（﹣）19
＝144÷（﹣3）2×（﹣2）6﹣318×
＝16×64+
＝1024．
27．（12分）（2021秋•江都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在边AB上，且AE＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD﹣DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长；
（2）如图2，如果BC＝4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值．

解：（1）如图1，连接AC交PE于O，过点P作PT⊥AB于T，
∵点A关于直线PE的对称点F与点C重合，
∴PE⊥AC，OA＝OC，
∴∠AOE＝∠COP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝9，
∴∠EAO＝∠PCO，
在△AEO和△CPO中，
，
∴△AEO≌△CPO（ASA），
∴CP＝AE＝5，
∴DP＝BE＝4，
∵∠DAB＝∠D＝∠ATP＝90°，
∴四边形ADPT是矩形，
∴AT＝DP＝4，PT＝AD＝BC，
∴ET＝1，
∵∠ETP＝∠CBA＝∠AOE＝90°，
∴∠EPT+∠PET＝∠CAB+∠PET＝90°，
∴∠EPT＝∠CAB，
∴△PET∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝3；
（2）根据题意，点F不能落在边AD和边AB上，分以下两种情况：
①当点在AD边上、点F落在CD边上时，如图2，连接AF、PF，
∵点A关于直线PE的对称点F，
∴PE垂直平分AF，
∴PF＝AP，∠FAD+∠EPA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠FAD+∠AFD＝90°，
∴∠EPA＝∠AFD，
∴△AFD∽△EPA，
∴＝，
由题意得：AP＝t，则PF＝t，DP＝4﹣t，
∴＝，
∴DF＝t，
在Rt△PFD中，PD2+DF2＝PF2，
∴（4﹣t）2+（t）2＝t2，
解得：t＝10或t＝，
∵点P在边AD上，t＜4，
∴t＝10不符合题意，舍去，
∴t＝；
②当点P、F都落在CD边上时，如图3，连接AP、EF、AF，AF与PE交于点K，
∵点A关于直线PE的对称点F，
∴PE垂直平分AF，
∴PF＝AP，AK＝FK，∠PKF＝∠EKA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠PFK＝∠EAK，
∴△PFK≌△EAK（ASA），
∴PF＝AE＝5，
∴AP＝5，
∵AD＝4，DP＝t﹣4，∠D＝90°，
∴42+（t﹣4）2＝52，
解得：t＝7或t＝1（与点P在CD上矛盾，舍去），
∴t＝7；
③当点P在CD边上、点F落在BC边上时，如图4，连接AF、AP、FP、EF，
∵点A关于直线PE的对称点F，
∴PE垂直平分AF，
∴PF＝AP，EF＝AE＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
在Rt△EFB中，BF＝＝＝3，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1，
由题意得：AD+DP＝t，AD＝4，
∴DP＝t﹣4，
∴CP＝CD﹣DP＝9﹣（t﹣4）＝13﹣t，
∵DP2+AD2＝AP2，CP2+CF2＝PF2，
∴DP2+AD2＝CP2+CF2，
∴（t﹣4）2+42＝（13﹣t）2+12，
解得：t＝，
综上所述，t的值为或7或．




28．（12分）（2021•济南一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ的长为d．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求d与m之间的函数关系式；
（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；
（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．

解：（1）把A（1，0）、C（0，3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵A（1，0），抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，
∴B（3，0）；
设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
由题意得，P（m，m2﹣4m+3），Q（m，﹣m+3）．
分两种情况：
①当点P在直线BC的上方时，
d＝（m2﹣4m+3）﹣（﹣m+3）＝m2﹣3m（m＞3）；
②当点P在直线BC的下方时，
d＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m（0＜m≤3）；
∴d＝；
（3）如图1，设PQ交x轴于点G，

∵P（m，m2﹣4m+3），Q（m，﹣m+3），点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2，
∴GQ＝2PG或PG＝2GQ，
即﹣m+3＝2（﹣m2+4m﹣3）或﹣m2+4m﹣3＝2（﹣m+3），
解得m＝3或m＝．
当m＝3时，点P在x轴上，不符合题意，故舍去．
综上，m＝；
（4）如图2，过P作PE⊥y轴于点E，交直线BC于点F．

∵△PCM、△ACM的面积相等，
∴AM＝PM．
∵PE∥AB，
∴∠PFM＝∠ABM，∠FPM＝∠BAM，
在△ABM和△PFM中，
，
∴△ABM≌△PFM（AAS），
∴PF＝AB＝2．
∵PE＝m，
∴EF＝m﹣2，
∵点F和点P的纵坐标相等，
∴﹣（m﹣2）+3＝m2﹣4m+3，
解得m＝，
∵m＞0，
∴m＝