第一章 直角三角形的边角关系【过关测试】原卷版+解析版-2022-2023学年九年级数学下册单元复习（北师大版）

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第一章   直角三角形的边角关系过关测试【知识梳理】知识点1 正弦、余弦、正切锐角三角函数相关概念正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数。（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0函数的增减性分别为：①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随的增大而减小③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大. 知识点2 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值主要是指这三个角的三角函数值，如下表：   知识点3 解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。【典例】1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为　    　．【答案】5或3【解析】解：当高AD在△ABC内部时，在Rt△ABD中，BD===4，在Rt△ADC中，tan∠CAD==，∴CD=1，∴BC=BD+CD=4+1=5．当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，综上：BC长为5或3。 知识点4 解直角三角形应用①坡度，坡角 如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的称为坡角.一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作。于是，显然，坡度越大，越大，坡面就越陡。②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方位角.如图；都是方位角.如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35；目标方向OB表示的方位角为南偏东75；目标方向OC表示的方位角为南偏西45，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40.③仰角、俯角如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的把视线 OB与水平线OC所形成的称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角. 【过关练习】一、单选题1．在中，，，，则的正切值为（    ）A．3 B． C． D．2．江堤的横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是（    ）米
A．20 B． C． D．3．中，，，，那么的值等于（    ）A． B． C． D．4．如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：）为（    ）A．6.6 B．11.6 C． D．5．在△中，若，则的度数是（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如图所示，有一山坡在水平方向每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度为（   ）A． B． C． D．7．如图，某学校操场旗杆上高高飘扬着五星红旗，数学小组想测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶点的仰角为，则旗杆的高度为（    ）米A． B． C． D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连结BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（    ）A． B．3 C．2 D．39．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（    ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米10．在平面直角坐标系中，一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线 分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（    ）A．4 B．8 C．10 D．与b的取值有关11．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，，，则的长为（   ）A． B． C． D．12．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（    ）A． B． C． D．2 二、填空题13．计算：_____；14．某人沿着坡度的山坡向上走了，则他上升的高度为__________m．15．如图，一楼房AB后有一假山，其斜面坡度为i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为_____米．16．如图，在坡度为1︰2（垂直距离与水平距离的比值）的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________．17．如图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼底部处的俯角是，已知乙楼的高是，则甲楼的高是___________.（结果保留根号）18．如图，矩形的对角线、相交于点，，且，，连接，则______．19．如图，在中，，，，点是斜边上的动点且不与，重合，连接，点与点关于直线对称，连接，当垂直于的直角边时，的长为__． 20．如图，新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离为______米．21．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC， CD．测得BC=9m，CD=6m，斜坡CD的坡度i=1:，在D处哵得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为______．（结果保留根号）22．如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则______．23．如图，中，，点D为AB上一点，过点D作，垂足为E，且，若，，则线段__________．24．定义：对于线段和点P，当，且时，称点P为线段的“等距点”．特别地，当，且时，称点P为线段的“强等距点”．在平面直角坐标系中，点A的坐标为；若点B是线段的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为___． 三、解答题25．先化简，再求代数式的值，其中．     26．（1）计算：（﹣1）2021﹣2﹣1＋sin30°＋（π﹣3.14）0（2）先化简，再求值：（x＋1）（x﹣1）＋（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝＋1   27．先化简，再求代数式的值，其中，．   28．西安进行老旧小区改造，为方便老年人通行，计划将某小区一段斜坡进行改造，如图所示，斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝25°，改造后坡角∠CAD降为12°．求斜坡新起点A与原起点B的距离AB．参考数据（sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）  29．如图，某商场从一层到二层的楼梯由台阶AB，CD和一段水平平台BC构成，AB与CD互相平行并且与地面成31°角．已知台阶AB＝5.2米，CD＝2.8米，平台BC＝2.5米．求商场一层的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601．    30．如图，兰兰站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.6米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长米，求小船到岸边的距离的长?（参考数据：，结果保留1位小数）  31．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，过点C作MN∥AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR⊥PQ交直线AC于点R．（1）当点Q在射线CM上时①如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为         ；②如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；（2）若，，请直接写出CR的长．    32．如图①，直线AM和AN相交于点A，∠MAN=30°，在射线AN上取一点B，使AB=6cm，过点B作BC⊥AM于点C，点D是线段AB上的一个动点（不与点B重合），过点D作DE⊥AM于点E，设AD=xcm，CE=y1cm，CD=y2cm，某同学根据学习函数的经验，对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过计算，得到了x与，的几组对应值，如下表，请补全表格：0123455.204.333.462.60 0.875.204363.603.002.642.65（说明：补全表格时相关数值保留两位小数，，）（2）在同一平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组数值所对应的点，，并在图②中画出函数，的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题，当为斜边上的高线时，的长度约为____，（结果保留一位小数） 33．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，，，表示熨烫台的高度．（1）如图2，若，．①点O到的距离为__________，的长为__________（结果保留根号）；②若，则熨烫台的高度h=__________；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．（参考数据：，，，