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专题17 同角三角函数与诱导公式-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）
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专题17 同角三角函数与诱导公式
目录
【题型一】诱导公式 1
【题型二】三角函数的正负 3
【题型三】半角等三角函数正负 5
【题型四】同角1：点坐标求三角函数 7
【题型五】同角2：有三角函数求点坐标 8
【题型六】 同角3：坐标求角 9
【题型七】同角4：单位圆上动点旋转坐标 11
【题型八】正切与弦互化求 13
【题型九】正余弦平方关系 14
【题型十】sinxconx与 sinx conx 16
培优第一阶——基础过关练 17
培优第二阶——培优拔尖练 20
【题型一】诱导公式
【典例分析】
若是方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据方程计算得到，化简得到原式，代入数据得到答案.
【详解】方程的两根分别为，，则
∴原式．故选：
【提分秘籍】
诱导公式五、六是难点
公式五
____
____
公式六
____
【变式训练】
1.若角的终边落在直线上，则_____．
【答案】或
【分析】
化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.
【详解】
因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，
，
当角为第一象限角时，，；
当角为第三象限角时，，．
故答案为：或.
2.已知，则___________
【答案】
【分析】
利用诱导公式化简后，即可求出结果.
【详解】
因为，所以.
故答案为:
3.已知，若，则___________.
【答案】
【分析】
令，已知为奇函数，进而根据奇函数的性质求解即可.
【详解】
解：令，因为，
所以函数为奇函数，
因为，即，所以，
所以.
故答案为：
【题型二】三角函数的正负
【典例分析】
已知为终边不在坐标轴上的角，则函数的值域是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】按角在第一、二、三、四象限，分类讨论得到的符号，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，若角为第一象限角，可得，则；
若角为第二象限角，可得，则；
若角为第三象限角，可得，则；
若角为第四象限角，可得，则，
所以函数的值域为.
故选D.
【提分秘籍】
基本规律
结合三角函数课本上图像，可以有如下口诀记忆：
三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦
【变式训练】
1.．若，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据已知得到，且，即得解.
【详解】解：因为，，所以，且，
故a是第四象限角．故选：D
2.若点P的坐标为，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
利用终边相同的角相差360°的整数倍，把大角变小角，从而判定角的终边在第三象限，根据三角函数在各象限内的正负，确定点P的位置.
【详解】
因为，所以角的终边在第三象限，所以，，所以点P在第三象限．
故选：C
3.给出下列各三角函数值：
①；②；③；④．
其中符号为负的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
确定各角所在象限，然后由象限角的三角函数值符号判断．
【详解】
因为－100°角是第三象限角，所以；因为－220°角是第二象限角，所以；因为，所以角－10是第二象限角，所以；．所以符号为负的有4个，
故选：D．
【题型三】半角等三角函数正负
【典例分析】
设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据为第二象限角可求得为第一或第三象限角，由可得结果.
【详解】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
半角与倍角，可以通过角度所在象限不等式组来讨论
【变式训练】
1.设，如果且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数在各象限符号判断．
【详解】，
，则，所以，
，则，所以．
故选：D．
2.若是第四象限角，则点在（ ）
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第一或第二象限
【答案】C
【分析】根据给定条件确定的范围，再求出的符号即可判断作答.
【详解】因为是第四象限角，即，，
所以，．
当时，，，此时是第二象限角，
则，，点P在第三象限；
当时，，，此时是第四象限角，
则，，点P在第四象限．
所以点P在第三或第四象限．
故选：C.
3，若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案．
【详解】解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，
可得：，而符号不确定，
又为第一或三象限角，
，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定
综上所述，必定为正值的只有一个
故选：．
【题型四】同角1：点坐标求三角函数
【典例分析】
角的终边所在直线经过点，则有
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角的终边所在直线经过点，得到的终边在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，即可求解.
【详解】由题意，角的终边所在直线经过点，可得的终边在第二象限或第四象限，
又由，
当的终边在第二象限时，取点时，
可得；
当的终边在第四象限时，取点时，
可得，
所以.
故选D.
【提分秘籍】
基本规律
任意角的三角函数的定义
条件
如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
定义
正弦函数
把点P的纵坐标_y_叫做的正弦函数，记作，即
余弦函数
把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即_
正切函数
把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即_
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
【变式训练】
1.若角的终边落在直线上，则的值等于
A．0 B． C．2 D．或2
【答案】A
【分析】由角的终边落在直线上，则角的终边落在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，求得的值，代入即可求解．
【详解】由题意，若角的终边落在直线上，则角的终边落在第二象限或第四象限，
当角的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得，则；
当角的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得，
则，故选A.
2.已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
【详解】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故选：D.
3.已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的定义可得，，，将其代入即可求解.
【详解】由，得，，，代入原式得．
故选：A
【题型五】同角2：有三角函数求点坐标
【典例分析】
已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，是角终边上一点，所以，
由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.
故选：B
【变式训练】
1.已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义求得值．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
2.已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（ ）
A． B． C．或 D．1
【答案】B
【分析】由题设可得且，求解即可.
【详解】由题设，且，即，
∴，则，解得或，
综上，.故选：B.
3.已知角的终边过点，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.
【题型六】 同角3：坐标求角
【典例分析】
已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】点的坐标可化为，可得出所在象限以及具体角度.
【详解】，角的终边上点的坐标为，
可得角为第四象限角，且，所以.故选：B
【变式训练】
1.已知角，角，终边上有一点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先确定点所在的象限，再根据，即可判断的值.
【详解】因为，所以，即点在第三象限，
且，且，所以.故选：D
2.已知点在第三象限，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用已知条件得到，利用同角三角函数的基本关系得到，求出，即可得出答案.
【详解】在第三象限，
，
，，，
．故选：D.
3..已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合，求出角的取值范围．
【详解】由已知点在第一象限得：
，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．，或．故选：B．
【题型七】同角4：单位圆上动点旋转坐标
【典例分析】
如图，一个质点在半径为1的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向旋转，每转一圈，由该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先根据图象理解秒后，再根据三角函数的定义求点的纵坐标和该质点到轴的距离关于时间的函数解析式.
【详解】由题意可知点运动的角速度是（弧度/秒）那么点运动秒后，
又三角函数的定义可知，点的纵坐标是，
因此该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是.故选：A
【变式训练】
1.已知某质点从平面直角坐标系中的初始位置点，沿以为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到点，设在轴上的射影为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.
【详解】由三角函数的定义得，点的坐标为.
故选：C.
2.在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则（ ）
A．0.6 B．0.8 C．-0.6 D．-0.8
【答案】B
【分析】已知角的终边与单位圆交于点，且，利用三角函数的定义，求出，得出在第四象限，绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，
可知点在第一象限，则，再利用三角函数的定义和诱导公式进行化简计算，即可求出的值.
【详解】解：已知角的终边与单位圆交于点，且，
则，解得：，所以在第四象限，角为第四象限角，
绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，可知点在第一象限，则，
所以，即：，解得：.故选：B.
3.如图所示，已知轴上一点按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过角，经过2秒钟点在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角的弧度数为
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】经过2秒钟后点转过角，推导出，从而．再由，能求出．
【详解】秒钟时间点转过角．经过2秒钟后点转过角，
又2秒钟后点在第三象限．，．
又经过14秒钟，点与最初位置重合．．
又，或，或．故选：C．
【题型八】正切与弦互化求
【典例分析】
已知为第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式求解即可.
【详解】由为第一象限角，，得，故，故.
故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
商数关系： ＝tan α (又叫切弦互化式)
正余弦与正切互化，可以借助定义，也可以借助平方关系
，
必要时可以让学生画小直角三角形，直接比例转化：
【变式训练】
1.．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于，且为第四象限角，
所以，.故选：D
2.已知是第三象限角，且，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】运用同角三角函数关系列出方程组即可求出结果.
【详解】由可得 联立，又因为是第三象限角，
解得。故选
3.已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，并由已知得出，结合平方关系求得后可得的值．
【详解】由，得．又，所以，．结合得，，所以．
故选：B．
【题型九】正余弦平方关系
【典例分析】
.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案
【详解】解：因为，且，所以，
所以，
故选：A
【提分秘籍】
基本规律
平方关系： sin2 α＋cos2 α＝1 (又叫 1的代换式)
【变式训练】
1.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出的值，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故选：A.
2.已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的基本关系式与条件可求得的值，再利用诱导公式化简即可求得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，即，
整理得，
解得或 (舍去)，
又因为是第四象限角，所以，故，
所以.
故选：C.
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知结合求得即可求出.
【详解】因为，，
则可解得，所以.
故选：A.
【题型十】sinxconx与 sinx conx
【典例分析】
已知，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出，再根据得到，进而可得所求值．
【详解】由题意得，
∵，∴，∴．故选B．
【提分秘籍】
基本规律
已知中的一个可以求出其他两个，其中关键是根据的范围得到这三个值的符号，
【变式训练】
1..已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得，从而求出的值.
【详解】因为，所以，即，所以.
因为，所以，所以.
因为，
所以.故选：D
2.已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，即得解.【详解】因为，
所以，所以，所以或，
因为，所以，.所以.故选：D
3..已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由求出，再由，即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，
所以，
因此.故选:B
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，结合即可得到答案.
【详解】因为，，所以.
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
2．已知点是角终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点是角终边上一点，利用三角函数定义求解.
【详解】因为点是角终边上一点，
原点到点P的距离为5，
所以，，
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．设角的终边与单位圆相交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义可知，，代入所求式子中计算即可.
【详解】由三角函数的定义，知，，所以.
故选：C
【点睛】本题考查三角函数的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
4．若，则点必在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由的范围，判断的正负，即可得出结论.
【详解】，
点在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数值的符号，属于基础题.
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意建立有关和的方程组，解出和的值，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】，，，
由同角三角函数的基本关系得，解得，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，解题的关键就是建立有关和的方程组，考查计算能力，属于基础题.
6．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义可得，由此得出的值.
【详解】解：角的终边过点，即，
又，
角的终边在第三象限，则，
，
由，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数定义，属于基础题.
7．化简后等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用同角三角函数的平方关系化简式子，再根据正、余弦函数的图象与性质去绝对值即可.
【详解】.
故选：A
【点睛】本题考查同角三角函数的关系及正、余弦函数的图象与性质，属于基础题.
8．若角的终边经过，则下列值不存在的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数定义判断．
【详解】角的终边过点，，由，，，知题中不存在．
故选：C．
【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题．
9．的值
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不小于0
【答案】A
【解析】确定各个角的范围，由三角函数定义可确定正负．
【详解】∵，∴，，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查各象限角三角函数的符号，掌握三角函数定义是解题关键．
10．已知角，角的终边经过点，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求出A点坐标，再根据三角函数定义可得角.
【详解】，，
，
.
又，.
故选：D.
【点睛】本题考查角的概念，属于基础题.
培优第二阶——培优拔尖练
1．设是第二象限角，且满足，则___________.
【答案】
【分析】根据是第二象限角，得到，再由平方求解.
【详解】解：因为是第二象限角，即，
则，
当k为偶数时，，当k为奇数时，，
由平方得
，
即，
所以，
故答案为：
2．已知，则________.
【答案】或
【分析】利用平方关系式和商数关系式转换求解即可得的值.
【详解】解：将两边平方得，
所以，所以
分式上下同除得：
整理得：，解得：或
故答案为: 或.
3．，，则的值为__________.
【答案】#0.3
【分析】利用“1”的代换，构造齐次式方程，再代入求解.
【详解】，
故答案为：．
4．已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则=______
【答案】5
【分析】利用终边上的点坐标表示，计算可得，故，利用同角三角函数的关系可得，代入即得解
【详解】由条件可知，，
所以，
解得：，
所以，
.
故答案为：5
5．已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．
【答案】1
【分析】根据对数的运算及性质化简可得，再由三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意知，，
即，
化简得，
则
故答案为：1
6．已知为第二象限角，则的值是__________．
【答案】1
【分析】利用三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，为第二象限角，可得，
则
.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，
7．化简_____________．
【答案】
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式，进一步利用求得结果
【详解】解：
故答案为：
8．已知，且，则=______
【答案】
【分析】利用平方关系求得，进而求得，再展开代入求解即可
【详解】
则
故
故答案为
9．在角的终边上任取一点，记，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“”，若，则=_______.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义及同角三角函数的基本关系变形求解．
【详解】解：设在角的终边与单位圆相交于，则 ，，
由题意则
即，两边平方得，
。
即故答案为
10．已知，，则_______.
【答案】
【分析】由，整理得，再利用三角三角函数的基本关系式，求得，即可求解得值，得到答案.
【详解】由，可得，
即
又由，则，可得，即，
所以，所以.
故答案为.
专题17 同角三角函数与诱导公式
目录
【题型一】诱导公式 1
【题型二】三角函数的正负 3
【题型三】半角等三角函数正负 5
【题型四】同角1：点坐标求三角函数 7
【题型五】同角2：有三角函数求点坐标 8
【题型六】 同角3：坐标求角 9
【题型七】同角4：单位圆上动点旋转坐标 11
【题型八】正切与弦互化求 13
【题型九】正余弦平方关系 14
【题型十】sinxconx与 sinx conx 16
培优第一阶——基础过关练 17
培优第二阶——培优拔尖练 20
【题型一】诱导公式
【典例分析】
若是方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据方程计算得到，化简得到原式，代入数据得到答案.
【详解】方程的两根分别为，，则
∴原式．故选：
【提分秘籍】
诱导公式五、六是难点
公式五
____
____
公式六
____
【变式训练】
1.若角的终边落在直线上，则_____．
【答案】或
【分析】
化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.
【详解】
因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，
，
当角为第一象限角时，，；
当角为第三象限角时，，．
故答案为：或.
2.已知，则___________
【答案】
【分析】
利用诱导公式化简后，即可求出结果.
【详解】
因为，所以.
故答案为:
3.已知，若，则___________.
【答案】
【分析】
令，已知为奇函数，进而根据奇函数的性质求解即可.
【详解】
解：令，因为，
所以函数为奇函数，
因为，即，所以，
所以.
故答案为：
【题型二】三角函数的正负
【典例分析】
已知为终边不在坐标轴上的角，则函数的值域是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】按角在第一、二、三、四象限，分类讨论得到的符号，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，若角为第一象限角，可得，则；
若角为第二象限角，可得，则；
若角为第三象限角，可得，则；
若角为第四象限角，可得，则，
所以函数的值域为.
故选D.
【提分秘籍】
基本规律
结合三角函数课本上图像，可以有如下口诀记忆：
三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦
【变式训练】
1.．若，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据已知得到，且，即得解.
【详解】解：因为，，所以，且，
故a是第四象限角．故选：D
2.若点P的坐标为，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
利用终边相同的角相差360°的整数倍，把大角变小角，从而判定角的终边在第三象限，根据三角函数在各象限内的正负，确定点P的位置.
【详解】
因为，所以角的终边在第三象限，所以，，所以点P在第三象限．
故选：C
3.给出下列各三角函数值：
①；②；③；④．
其中符号为负的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
确定各角所在象限，然后由象限角的三角函数值符号判断．
【详解】
因为－100°角是第三象限角，所以；因为－220°角是第二象限角，所以；因为，所以角－10是第二象限角，所以；．所以符号为负的有4个，
故选：D．
【题型三】半角等三角函数正负
【典例分析】
设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据为第二象限角可求得为第一或第三象限角，由可得结果.
【详解】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
半角与倍角，可以通过角度所在象限不等式组来讨论
【变式训练】
1.设，如果且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数在各象限符号判断．
【详解】，
，则，所以，
，则，所以．
故选：D．
2.若是第四象限角，则点在（ ）
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第一或第二象限
【答案】C
【分析】根据给定条件确定的范围，再求出的符号即可判断作答.
【详解】因为是第四象限角，即，，
所以，．
当时，，，此时是第二象限角，
则，，点P在第三象限；
当时，，，此时是第四象限角，
则，，点P在第四象限．
所以点P在第三或第四象限．
故选：C.
3，若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案．
【详解】解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，
可得：，而符号不确定，
又为第一或三象限角，
，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定
综上所述，必定为正值的只有一个
故选：．
【题型四】同角1：点坐标求三角函数
【典例分析】
角的终边所在直线经过点，则有
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角的终边所在直线经过点，得到的终边在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，即可求解.
【详解】由题意，角的终边所在直线经过点，可得的终边在第二象限或第四象限，
又由，
当的终边在第二象限时，取点时，
可得；
当的终边在第四象限时，取点时，
可得，
所以.
故选D.
【提分秘籍】
基本规律
任意角的三角函数的定义
条件
如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
定义
正弦函数
把点P的纵坐标_y_叫做的正弦函数，记作，即
余弦函数
把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即_
正切函数
把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即_
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
【变式训练】
1.若角的终边落在直线上，则的值等于
A．0 B． C．2 D．或2
【答案】A
【分析】由角的终边落在直线上，则角的终边落在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，求得的值，代入即可求解．
【详解】由题意，若角的终边落在直线上，则角的终边落在第二象限或第四象限，
当角的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得，则；
当角的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得，
则，故选A.
2.已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
【详解】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故选：D.
3.已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的定义可得，，，将其代入即可求解.
【详解】由，得，，，代入原式得．
故选：A
【题型五】同角2：有三角函数求点坐标
【典例分析】
已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，是角终边上一点，所以，
由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.
故选：B
【变式训练】
1.已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义求得值．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
2.已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（ ）
A． B． C．或 D．1
【答案】B
【分析】由题设可得且，求解即可.
【详解】由题设，且，即，
∴，则，解得或，
综上，.故选：B.
3.已知角的终边过点，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.
【题型六】 同角3：坐标求角
【典例分析】
已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】点的坐标可化为，可得出所在象限以及具体角度.
【详解】，角的终边上点的坐标为，
可得角为第四象限角，且，所以.故选：B
【变式训练】
1.已知角，角，终边上有一点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先确定点所在的象限，再根据，即可判断的值.
【详解】因为，所以，即点在第三象限，
且，且，所以.故选：D
2.已知点在第三象限，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用已知条件得到，利用同角三角函数的基本关系得到，求出，即可得出答案.
【详解】在第三象限，
，
，，，
．故选：D.
3..已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合，求出角的取值范围．
【详解】由已知点在第一象限得：
，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．，或．故选：B．
【题型七】同角4：单位圆上动点旋转坐标
【典例分析】
如图，一个质点在半径为1的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向旋转，每转一圈，由该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先根据图象理解秒后，再根据三角函数的定义求点的纵坐标和该质点到轴的距离关于时间的函数解析式.
【详解】由题意可知点运动的角速度是（弧度/秒）那么点运动秒后，
又三角函数的定义可知，点的纵坐标是，
因此该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是.故选：A
【变式训练】
1.已知某质点从平面直角坐标系中的初始位置点，沿以为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到点，设在轴上的射影为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.
【详解】由三角函数的定义得，点的坐标为.
故选：C.
2.在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则（ ）
A．0.6 B．0.8 C．-0.6 D．-0.8
【答案】B
【分析】已知角的终边与单位圆交于点，且，利用三角函数的定义，求出，得出在第四象限，绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，
可知点在第一象限，则，再利用三角函数的定义和诱导公式进行化简计算，即可求出的值.
【详解】解：已知角的终边与单位圆交于点，且，
则，解得：，所以在第四象限，角为第四象限角，
绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，可知点在第一象限，则，
所以，即：，解得：.故选：B.
3.如图所示，已知轴上一点按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过角，经过2秒钟点在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角的弧度数为
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】经过2秒钟后点转过角，推导出，从而．再由，能求出．
【详解】秒钟时间点转过角．经过2秒钟后点转过角，
又2秒钟后点在第三象限．，．
又经过14秒钟，点与最初位置重合．．
又，或，或．故选：C．
【题型八】正切与弦互化求
【典例分析】
已知为第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式求解即可.
【详解】由为第一象限角，，得，故，故.
故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
商数关系： ＝tan α (又叫切弦互化式)
正余弦与正切互化，可以借助定义，也可以借助平方关系
，
必要时可以让学生画小直角三角形，直接比例转化：
【变式训练】
1.．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于，且为第四象限角，
所以，.故选：D
2.已知是第三象限角，且，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】运用同角三角函数关系列出方程组即可求出结果.
【详解】由可得 联立，又因为是第三象限角，
解得。故选
3.已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，并由已知得出，结合平方关系求得后可得的值．
【详解】由，得．又，所以，．结合得，，所以．
故选：B．
【题型九】正余弦平方关系
【典例分析】
.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案
【详解】解：因为，且，所以，
所以，
故选：A
【提分秘籍】
基本规律
平方关系： sin2 α＋cos2 α＝1 (又叫 1的代换式)
【变式训练】
1.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出的值，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故选：A.
2.已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的基本关系式与条件可求得的值，再利用诱导公式化简即可求得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，即，
整理得，
解得或 (舍去)，
又因为是第四象限角，所以，故，
所以.
故选：C.
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知结合求得即可求出.
【详解】因为，，
则可解得，所以.
故选：A.
【题型十】sinxconx与 sinx conx
【典例分析】
已知，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出，再根据得到，进而可得所求值．
【详解】由题意得，
∵，∴，∴．故选B．
【提分秘籍】
基本规律
已知中的一个可以求出其他两个，其中关键是根据的范围得到这三个值的符号，
【变式训练】
1..已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得，从而求出的值.
【详解】因为，所以，即，所以.
因为，所以，所以.
因为，
所以.故选：D
2.已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，即得解.【详解】因为，
所以，所以，所以或，
因为，所以，.所以.故选：D
3..已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由求出，再由，即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，
所以，
因此.故选:B
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，结合即可得到答案.
【详解】因为，，所以.
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
2．已知点是角终边上一点，则下列三角函数值中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点是角终边上一点，利用三角函数定义求解.
【详解】因为点是角终边上一点，
原点到点P的距离为5，
所以，，
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．设角的终边与单位圆相交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义可知，，代入所求式子中计算即可.
【详解】由三角函数的定义，知，，所以.
故选：C
【点睛】本题考查三角函数的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
4．若，则点必在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由的范围，判断的正负，即可得出结论.
【详解】，
点在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数值的符号，属于基础题.
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意建立有关和的方程组，解出和的值，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】，，，
由同角三角函数的基本关系得，解得，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，解题的关键就是建立有关和的方程组，考查计算能力，属于基础题.
6．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义可得，由此得出的值.
【详解】解：角的终边过点，即，
又，
角的终边在第三象限，则，
，
由，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数定义，属于基础题.
7．化简后等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用同角三角函数的平方关系化简式子，再根据正、余弦函数的图象与性质去绝对值即可.
【详解】.
故选：A
【点睛】本题考查同角三角函数的关系及正、余弦函数的图象与性质，属于基础题.
8．若角的终边经过，则下列值不存在的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数定义判断．
【详解】角的终边过点，，由，，，知题中不存在．
故选：C．
【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题．
9．的值
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不小于0
【答案】A
【解析】确定各个角的范围，由三角函数定义可确定正负．
【详解】∵，∴，，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查各象限角三角函数的符号，掌握三角函数定义是解题关键．
10．已知角，角的终边经过点，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求出A点坐标，再根据三角函数定义可得角.
【详解】，，
，
.
又，.
故选：D.
【点睛】本题考查角的概念，属于基础题.
培优第二阶——培优拔尖练
1．设是第二象限角，且满足，则___________.
【答案】
【分析】根据是第二象限角，得到，再由平方求解.
【详解】解：因为是第二象限角，即，
则，
当k为偶数时，，当k为奇数时，，
由平方得
，
即，
所以，
故答案为：
2．已知，则________.
【答案】或
【分析】利用平方关系式和商数关系式转换求解即可得的值.
【详解】解：将两边平方得，
所以，所以
分式上下同除得：
整理得：，解得：或
故答案为: 或.
3．，，则的值为__________.
【答案】#0.3
【分析】利用“1”的代换，构造齐次式方程，再代入求解.
【详解】，
故答案为：．
4．已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则=______
【答案】5
【分析】利用终边上的点坐标表示，计算可得，故，利用同角三角函数的关系可得，代入即得解
【详解】由条件可知，，
所以，
解得：，
所以，
.
故答案为：5
5．已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．
【答案】1
【分析】根据对数的运算及性质化简可得，再由三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意知，，
即，
化简得，
则
故答案为：1
6．已知为第二象限角，则的值是__________．
【答案】1
【分析】利用三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，为第二象限角，可得，
则
.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，
7．化简_____________．
【答案】
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式，进一步利用求得结果
【详解】解：
故答案为：
8．已知，且，则=______
【答案】
【分析】利用平方关系求得，进而求得，再展开代入求解即可
【详解】
则
故
故答案为
9．在角的终边上任取一点，记，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“”，若，则=_______.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义及同角三角函数的基本关系变形求解．
【详解】解：设在角的终边与单位圆相交于，则 ，，
由题意则
即，两边平方得，
。
即故答案为
10．已知，，则_______.
【答案】
【分析】由，整理得，再利用三角三角函数的基本关系式，求得，即可求解得值，得到答案.
【详解】由，可得，
即
又由，则，可得，即，
所以，所以.
故答案为.
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