专题21 三角函数性质综合应用-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

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专题21 三角函数性质综合应用  目录【题型一】正余弦对偶式求值【题型二】辅助角范围型【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围【题型四】 利用对称中心求范围【题型五】三角函数与幂指对函数的交点【题型六】三角函数比大小【题型七】三角函数奇偶性应用【题型八】正切函数与均值求最值【题型九】三角函数单调性与最值【题型十】三角函数有界消元型【题型十一】三角函数应用：换元型培优第一阶——基础过关练培优第二阶——能力提升练培优第三阶——培优拔尖练     【题型一】正余弦对偶式求值 【典例分析】在△ABC中，如果，则∠C的大小为（       ）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【提分秘籍】基本规律正余弦对偶式：正弦对应余弦，余弦对应正弦，系数一致（不涉及正负号）正余弦对偶式可以考虑整体话思想，两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的正余弦公式。【变式训练】1.已知，，则__________. 2.已知，则_______________． 3.已知，，，则（       ）A． B．C． D． 【题型二】辅助角范围型 【典例分析】若，函数的值域为，则的取值范围是________. 【提分秘籍】基本规律1.若角度是全体实数时。辅助角范围满足：2.角度不是全体实数时，可以借助单位圆或者三角函数图像单调性求对应的值域。【变式训练】1.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______． 2.函数的值域为A． B． C． D． 3.已知函数在上的值域为，则的取值范围为______. 【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围【典例分析】将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（       ）A． B． C． D．  【提分秘籍】基本规律形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程。对应函数的零点（或者水平交线，复合方程的根），可以借助对称轴等性质来转化求解【变式训练】1.把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，，，则的最大值为（       ）A． B． C． D． 2.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为（       ）A． B． C． D． 3..将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为_______________. 【题型四】 利用对称中心求范围【典例分析】.已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（       ）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：1.对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；2.正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：3.余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”： 【变式训练】1.设函数.若，且，则的取值范围为（       ）A． B． C． D． 2.已知函数在上的最大值为M，最小值为m，则（    ）.A．4 B．2 C．1 D．0 3.已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【题型五】三角函数与幂指对函数的交点【典例分析】关于的方程在上解的个数是____________. 【提分秘籍】基本规律利用幂指对函数与三角函数的对称性与单调性，结合图像，借助数形结合思想求解交点 【变式训练】1.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.2.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k的值是______. 3.定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.  【题型六】三角函数比大小 【典例分析】设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（    ）A． B．C． D．   【提分秘籍】基本规律三角函数比大小，通常从以下几方面入手：(1)变角：目的是把角变为一个单调区间内，便于比较大小，其手法通常是“配凑”.(2)变名：函数名称变为一致，便于借助图像单调性比较大小。其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 【变式训练】1.若，，且，则（    ）A． B． C． D． 2.已知,则（    ）.A． B． C． D． 3.已知函数，设，则（    ）A． B． C． D． 【题型七】三角函数奇偶性应用 【典例分析】已知函数，若（），则=________ ．【提分秘籍】函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x 奇偶奇基本规律  【变式训练】1.已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.  2.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（    ）①绕着轴上一点旋转; ②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 3..已知为正常数，，若存在，满足，则实数的取值范围是__________．  【题型八】正切函数与均值求最值 【典例分析】设，均为锐角，且，则的最大值是（       ）A． B． C．6 D．  【提分秘籍】基本规律切化弦，或者正切函数两角和与差公式，可以达到化“切”，以统一函数。求最值或者值域，可以适当的构建变量，用均值不等式求解 【变式训练】1.已知，则的最小值为（       ）A． B．1 C． D． 2.已知，为锐角，，则的最小值为（       ）A． B． C． D． 3..在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是A． B． C． D． 【题型九】三角函数单调性与最值 【典例分析】若函数在区间是减函数，则的取值范围是          【变式训练】1.已知函数，则的最小值是_____________． 2.设函数，若，且，则的取值范围是_______． 3，已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的值域为 B．的值域为C．的最小正周期为 D．在单调递增 【题型十】三角函数有界消元型 【典例分析】若的最大值为__________. 【提分秘籍】基本规律多个角及对应的角的三角函数时，可以通过“消元”消去，然后再构造单元函数求最值。无论是消去的三角函数，还是保留色三角函数，都要注意正余弦的“有界性” 【变式训练】1.已知，则的最大值为________. 2.已知，则的最大值为____________ 3.已知，则函数的值域是（       ）A． B．C． D．  【题型十一】三角函数应用：换元型 【典例分析】若，则的取值范围是________  【提分秘籍】基本规律一般情况下，借助整体化思想，可以换元构造新函数求最值。常见的三角换元，有单根号换元，双根号换元，指对型换元等等，注意区别这些换元之间的不同选择 【变式训练】1.已知实数满足,则的取值范围是_______． 2..已知非负实数，满足，则的最大值为__________. 3.函数y＝x＋的最小值为________．  培优第一阶——基础过关练1．若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D． 2．已知，，，则的大小关系是（    ）A． B． C． D． 3．已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D． 4．已知ω>0，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（    ）A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增 6．记函数的最小正周期为T，若，且的最小值为1.则曲线的一个对称中心为（    ）A． B． C． D． 7．若函数在区间上的最大值是，则（    ）A．2 B．1 C．0 D． 8．函数的最小值是（    ）．A． B． C． D． 9．已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D． 10．在上有两个零点，，则（）A． B． C． D．   培优第二阶——能力提升练1．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（    ）A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为1 D．偶函数，最大值为12．函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（    ）A．[π，2π） B． C． D． 3．已知函数中，则（    ）A．的最大值为2 B．直线是图象的一条对称轴C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递减 4．设，，，则（    ）A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（    ）A． B． C． D． 6．若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________. 7．函数在上单调递减，且，对于住意的，均有恒成立，则实数的最大值为__________. 8．函数在区间内的零点个数为__________. 9．若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为____________． 10．函数的最大值和最小值是、，则________.        培优第三阶——培优拔尖练1．若在上是严格递增函数，的最大值是_____. 2．已知函数，若在上无零点，则的取值范围为______． 3．对任意闭区间，用，表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值范围为______． 4．若，，且，则的最大值为______． 5．定义函数在R上单调递减，且关于成中心对称，对于任意的，均有恒成立，则的最大值为______． 6．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是______. 7．函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为______. 8．若，则的取值范围是_________________. 9．已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______．  10．已知非零实数满足， 则的最小值为_____．