2021-2022学年陕西省西安市周至县八年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年陕西省西安市周至县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列长度四根木棒中，能与长为，的两根木棒围成一个三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 人体中枢神经系统中约含有千亿个神经元，某种神经元的直径约为将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若是完全平方式，则常数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8. 如图，是的角平分线，交于，、分别是和的高，分别交、于、，连接交于下列结论：
   垂直平分；
   垂直平分；
   ≌；
   当为时，是等边三角形，
   其中正确的结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

三、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 若分式的值为，则______．
10. 正多边形的每个内角都是，则它的边数是______．
11. 计算的结果是______．
12. 如图，，，且，，则的长为______．

13. 如图，，平分，垂直平分，交于点，为射线上一动点，若的最小值为，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81分）

14. 计算：．
15. 因式分解．
16. 解分式方程：．
17. 校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点，使得点到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹

18. 如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为、、画出关于轴对称的，并写出点、的对应点、的坐标．

19. 计算：．
20. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，若，的周长为，求的周长．

21. 先化简，再求值：，其中．
22. 某学校有一块长方形活动场地，长为米，宽比长少米．实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加了米．
    求扩大后学生的活动场地的面积．用含的代数式表示
    若，求活动场地扩大后增加的面积．

23. 甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每天多加工个零件，甲加工个零件和乙加工个零件所用的天数相同．求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
24. 如图，在中，，，，垂足为，且，连接，分别是边，上的点，连接、，且．
    求证：是等边三角形；
    ．

25. 阅读并解决问题：
    材料：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成．
    例如：．
    材料：分解因式：．
    解：设，则原式．
    这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
    运用上述方法分解因式：______，______；
    请用“换元法”进行因式分解：．
26. 在中，，，的平分线交边于点．
    
    如图，求证：为等腰三角形；
    如图，若的平分线交边于点，在上截取，连接，求证：；
    如图，若外角的平分线交延长线于点，请你探究中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用负整数指数幂的性质得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握负整数指数幂的性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答即可求解．
【解答】
解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：设第三边为，则，即只有符合要求．
故选：．
由三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．
本题考查三角形三边关系，解题的关键是理解：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
 

4.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
由科学记数法中与的意义即可得答案．
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
则应提取的公因式是．
故选：．
直接利用公因式的定义得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，，
，
解得．
故选：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
整理，可得：，
解得：，
关于的分式方程的解是非负数，
，且，
解得：且．
故选：．
首先解分式方程用含的式子表示，然后根据解是非负数，求出的取值范围即可．
本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式的方法，掌握分式分母不为是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的角平分线，，分别是和的高，
，，
在和中，
，
≌，正确；
，，
平分；
平分，
，，正确；
垂直平分，正确；错误；
，
，
是等边三角形，正确．
正确的有个，
故选：．
根据角平分线性质求出，证≌，推出，再逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能求出≌是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：若分式的值为，
则且，
．
故答案为：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解答即可．
本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

10.【答案】 

【解析】解：设正多边形是边形，由内角和公式得，
，
解得，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式，可得答案．
本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程式解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
利用多项式的每一项除以单项式即可．
本题主要考查了整式的除法，利用多项式的每一项除以单项式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
故答案为：．
利用证明≌，得，即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于点，连接，根据角平分线的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角的性质求出，根据直角三角形的性质解答即可．
解：如图，作于点，连接．
当时，的值最小．
平分，，，
，．
垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则，零指数幂法则计算，再合并同类项便可．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，零指数幂，合并同类项，关键是熟记同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则，零指数幂法则，合并同类项法则．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先利用平方差公式，再合并同类项进行化简即可．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
 

16.【答案】解：去分母得：，
移项，合并同类项得，
系数化为得，
检验：把代入，
所以原方程的解为． 

【解析】根据解分式方程的过程进行计算即可．
本题考查了解分式方程，解决本题的关键是掌握解分式方程的方法，注意解分式方程要验根．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作出，的角平分线，两条角平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：如图，即为所求，
点，点．
 

【解析】根据轴对称的性质即可画出图形．
本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质画出是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


． 

【解析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
本题主要考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：是线段的垂直平分线，
，，
的周长为，
，
，
，
的周长． 

【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式

；
当时，
原式． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

22.【答案】根据题意可知：




．
当时，原式．
答：活动场地扩大后增加的面积是平方米．分 

【解析】根据题意列出，化简即可求出答案．
根据题意列出，将代入即可求出答案．
本题考查整式的应用，解题的关键是根据题意列出算式，本题属于基础题型．
 

23.【答案】解：设甲每天加工零件个，则乙每天加工零件个，
由题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
所以，
答：甲每天加工，个零件，乙每天加工个零件． 

【解析】根据题意设甲每天加工零件个，则乙每天加工零件个，由等量关系式甲加工个零件和乙加工个零件所用的天数相同，列出方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意，根据甲加工个零件和乙加工个零件所用的天数相同列出方程是关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
是等边三角形；
是等边三角形，
，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
由是等边三角形，得出，，证出，由证明≌，得出．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：原式，
原式；
故答案为：，；
设，
则原式




．
仿照题中的方法，得到十字相乘法，分别将各多项式分解即可；
设，先把原多项式换元后因式分解，代入后再用完全平方公式因式分解．
本题考查了因式分解的十字相乘法和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键．解亦可设或设或设．
 

26.【答案】证明：，，
．
平分，
，
，
即，
为等腰三角形；

证明：由得：为等腰三角形，
，
．
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
，
，
．

解：探究中的结论不成立，正确结论：，
理由：如图，在上截取，连接，

，

，
．
平分，
，
，
．
，
，
．
． 

【解析】证明，可得结论；
证明≌，推出，，推出可得，即可证明；
探究中的结论不成立，正确结论：，如图，在上截取，连接，证明，推出由，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．