高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念课后作业题

7.1.1数系的扩充和复数的概念

1.下列命题正确的是(　　)

A．实数集与复数集的交集是空集

B．任何两个复数都不能比较大小

C．任何复数的平方均非负

D．虚数集与实数集的并集为复数集

2．[2022·湖北武汉高一期末]已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　)

A．a＝1，b＝－3      B．a＝－1，b＝3

C．a＝－1，b＝－3    D．a＝1，b＝3

3．已知z＝a＋(a－1)i∈R，则实数a＝________．

4．[2022·安徽芜湖高一期中]已知i是虚数单位，复数z＝(m2－m)－(m2－1)i，m∈R.

(1)当复数z为实数时，求m的值；

(2)当复数z为纯虚数时，求m的值．

5.[2022·河北石家庄高一期末]已知a为实数，若复数z＝(a2－4)＋(a＋2)i为纯虚数，则复数z的虚部为(　　)

A．2    B．4i

C．±2    D．4

6．(多选)[2022·湖北恩施高一期中]已知i为虚数单位，下列命题中正确的是(　　)

A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1

B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数

C．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0

D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数

7．若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________．

8．已知x，y是实数，i为虚数单位，且(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，求x，y的值．

9．[2022·福建龙岩高一期中]已知复数z＝3m2－7m＋2＋(2m2－5m＋2)i.

(1)若z为实数，求m的值；

(2)若z为纯虚数，求m的值．

10．[2022·山东菏泽高一期中]已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).

(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；

(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．

11.关于x的方程x2＋(2a－i)x－ai＋1＝0有实根，则实数a的值为________．

12．已知－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，求实数p，q的值．

答案：

1．解析：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；任何复数的平方均非负，反例i2＝－1，所以C不正确；虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确．故选D.

答案：D

2．解析：a＋3i＝－1＋bi，而a，b为实数，故a＝－1，b＝3，故选B.

答案：B

3．解析：由复数z＝a＋(a－1)i∈R，可得a－1＝0，解得a＝1.

答案：1

4．解析：(1)当m2－1＝0时，得m＝±1；

(2)当时，得m＝0.

5．解析：∵z＝(a2－4)＋(a＋2)i为纯虚数，

∴，即a＝2.

∴复数z的虚部为4.故选D.

答案：D

6．解析：取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；∀a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；取z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错误；m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i＝42i是纯虚数，故D正确．故选BD.

答案：BD

7．解析：由题意，可得m＝4.

答案：4

8．解析：因为(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，

所以，解得.

9．解析：(1)由题意得2m2－5m＋2＝0，得m＝2或；

(2)由题意得得m＝.

10．解析：(1)由z1为纯虚数，

则解得m＝－2.

(2)由z1＝z2，得

∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2.

∵－1≤sin θ≤1，

∴当sin θ＝1时，λmin＝2，

当sin θ＝－1时，λmax＝6，

∴实数λ的取值范围是[2，6].

11．解析：设x0为方程的实根，则x＋(2a－i)x0－ai＋1＝0，

所以x＋2ax0＋1－(x0＋a)i＝0，

所以，

所以(－a)2－2a2＋1＝0，得a2＝1，

所以a＝±1.

答案：±1

12．解析：因为－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，

所以2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，

整理，得q－3p＋10＋2(p－12)i＝0，

即，

解得p＝12，q＝26.