人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算练习，共5页。

A．4a＋3b B．4a－9b
C．8a－9b D．4a－3b
2．[2022·广东惠州高一期末]在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝2DC，则 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) B． eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) D． eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))
3．已知非零向量e1，e2不共线，如果 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝e1＋2e2， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－5e1＋6e2， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
4．化简：
(1)2(a－b)＋3(a＋b)；
(2) eq \f(1,2) (a＋b)＋ eq \f(1,2) (a－b)；
(3)3(a＋2b)－2(a＋3b)－2(a＋b).
5.若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(PB,\s\up6(→)) ， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BP,\s\up6(→)) ，则实数λ的值是( )
A． eq \f(4,5) B．－ eq \f(4,5)
C． eq \f(5,4) D．－ eq \f(5,4)
6．[2022·福建泉州高一期中]如图，已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若 eq \(CE,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AC,\s\up6(→)) ，则2m＋n＝( )
A．－ eq \f(1,6) B．－ eq \f(1,2)
C．－ eq \f(1,4) D． eq \f(1,2)
7．[2022·广东广州高一期中]设e1、e2是两个不共线的向量，已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2e1＋ke2， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝e1＋3e2， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值为________．
8．两个非零向量a，b不共线，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2a＋8b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．
9．已知D为△ABC的边BC的中点，E为AD上一点，且 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝3 eq \(ED,\s\up6(→)) ，若 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝a，试用a表示 eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(EB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) .
10．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
11.[2022·山东潍坊高一期中]在△ABC中， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(11,9) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则P点( )
A．在线段BC上，且 eq \f(BP,BC) ＝ eq \f(2,9)
B．在线段CB的延长线上，且 eq \f(BP,BC) ＝ eq \f(2,9)
C．在线段BC的延长线上，且 eq \f(BP,BC) ＝ eq \f(2,9)
D．在线段BC上，且 eq \f(CP,BC) ＝ eq \f(2,9)
12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b.
(1)用a，b表示 eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(AE,\s\up6(→)) ， eq \(AF,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) ；
(2)求证：B，E，F三点共线．
答案：
1．解析：由题意，3(2a－b)－2(a＋3b)＝4a－9b.故选B.
答案：B
2．解析：因为在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝2DC，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，故选D.
答案：D
3．解析：∵ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝e1＋2e2， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) .
∴ eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(BD,\s\up6(→)) 共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
答案：A，B，D
4．解析：(1)2(a－b)＋3(a＋b)
＝2a－2b＋3a＋3b
＝5a＋b.
(2) eq \f(1,2) (a＋b)＋ eq \f(1,2) (a－b)
＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b
＝a.
(3)3(a＋2b)－2(a＋3b)－2(a＋b)
＝3a＋6b－2a－6b－2a－2b
＝－a－2b.
5．解析：由 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(PB,\s\up6(→)) ，则A，P，B三点共线，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,5) eq \(AB,\s\up6(→)) ，即 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(5,4) eq \(BP,\s\up6(→)) .故选D.
答案：D
6．解析：依题意得，
eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
故 eq \(CE,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(5,6) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以m＝ eq \f(1,3) ，n＝－ eq \f(5,6) ，
故2m＋n＝2× eq \f(1,3) － eq \f(5,6) ＝－ eq \f(1,6) .故选A.
答案：A
7．解析：由A、B、D三点共线，可得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BD,\s\up6(→)) (λ≠0)，又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2e1＋ke2， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝3e1＋2e2，
则2e1＋ke2＝3λe1＋2λe2，又e1、e2不共线，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2＝3λ,k＝2λ))) ，解得k＝ eq \f(4,3) .
答案： eq \f(4,3)
8．证明：因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2a＋8b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝3(a－b)，
所以 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝2a＋8b＋3(a－b)＝5a＋5b，则 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝5 eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BD,\s\up6(→)) ， eq \(AB,\s\up6(→)) 共线，两个向量有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
9．解析：如图，
∵ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝3 eq \(ED,\s\up6(→)) ，且 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝a，
∴ eq \(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) a， eq \(EA,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,4) a，
又D为边BC的中点，
∴ eq \(EB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) a，
∴ eq \(EA,\s\up6(→)) ＋ eq \(EB,\s\up6(→)) ＋ eq \(EC,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,2) a＝－ eq \f(1,4) a.
10．解析：b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μ a.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.
∴(1＋μ) a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线．
11．解析：由题设， eq \(AP,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,9) ( eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) )，则 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,9) eq \(CB,\s\up6(→)) ，
所以C，P，B共线且P在CB延长线上， eq \f(BP,CB) ＝ eq \f(2,9) .故选B.
答案：B
12．解析：(1)在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b，
故 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) a＋ eq \f(1,3) b，
eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) b，
eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) a＋ eq \f(1,3) b－a＝ eq \f(1,3) b－ eq \f(2,3) a，
eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) b－a；
(2)证明：因为 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) b－ eq \f(2,3) a＝ eq \f(1,3) (b－2a)， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (b－2a)，
所以 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BF,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BE,\s\up6(→)) ∥ eq \(BF,\s\up6(→)) ，
又因为 eq \(BE,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) 有公共点B，
所以B，E，F三点共线．