高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示练习，共7页。
A．e1与e1＋e2
B．2e2与e1＋e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．－3e1＋2e2与3e1－2e2
2．[2022·山东枣庄高一期末]平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，F在边DC上且DF＝2FC，则 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝( )
A．－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) B．－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
C． eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) D． eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
3．[2022·江苏徐州高一期中]如图所示，在△OAB中，C是AB中点，设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，则 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝________(请用a，b表示 eq \(OC,\s\up6(→)) ).
4．如图所示，平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，BM＝ eq \f(2,3) BC，AN＝ eq \f(1,4) AB，试用向量a，b来表示 eq \(DN,\s\up6(→)) ， eq \(AM,\s\up6(→)) .
5.[2022·河北沧州高一期末]如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝( )
A. eq \f(3,8) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(5,8) eq \(BC,\s\up6(→)) B． eq \f(5,4) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→))
C．－ eq \f(7,8) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \(BC,\s\up6(→)) D．－ eq \f(3,4) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))
6．[2022·湖南常德高一期末]如图所示，在长方形ABCD中，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，又 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝λa＋μb，则λ＋μ＝( )
A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3)
C．1 D． eq \f(2,3)
7．[2022·山东聊城高一期末]在△ABC中，D是BC中点， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(EC,\s\up6(→)) ，AD与BE交于G，若 eq \(AG,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AD,\s\up6(→)) ，则λ＝________．
8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且AF＝3FC，记 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b.
(1)用向量a，b表示 eq \(AC,\s\up6(→)) ﹔
(2)用向量a，b表示 eq \(EF,\s\up6(→)) .
9．[2022·广东顺德一中高一期中]在△ABC内有一点O，满足 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，E为BC边的中点， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b，以a、b为基底，试求下列向量表达式；
(1) eq \(OE,\s\up6(→)) ；
(2) eq \(DE,\s\up6(→)) .
10．[2022·重庆八中高一期中]如图，平行四边形ABCD中，已知 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝3 eq \(EB,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝4 eq \(FC,\s\up6(→)) ，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b.
(1)用向量a和b表示向量 eq \(DE,\s\up6(→)) ， eq \(AF,\s\up6(→)) ；
(2)若 eq \(DO,\s\up6(→)) ＝x eq \(DE,\s\up6(→)) ， eq \(AO,\s\up6(→)) ＝y eq \(AF,\s\up6(→)) ，求实数x和y的值．
11.[2022·山东德州高一期末]如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝b，若 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \(MC,\s\up6(→)) ， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝3 eq \(EN,\s\up6(→)) ，则 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(5,6) a＋ eq \f(7,6) b B．－ eq \f(5,6) a＋ eq \f(7,6) b
C．－ eq \f(3,5) a＋ eq \f(1,6) b D． eq \f(3,5) a＋ eq \f(1,6) b
12．[2022·山东菏泽高一期中]如图所示，在△ABO中， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ，AD与BC交于点M.设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b.
(1)试用向量a，b表示 eq \(OM,\s\up6(→)) ；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OF,\s\up6(→)) ＝μ eq \(OB,\s\up6(→)) ，其中λ，μ∈R.证明： eq \f(1,λ) ＋ eq \f(2,μ) 为定值，并求出该定值．
答案：
1．解析：A选项：令e1＝λ(e1＋e2)，因为e1，e2不共线，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(λ＝1,λ＝0))) ，无实数解，所以e1与e1＋e2不共线，故可以作为平面向量基底；
B选项：令2e2＝λ(e1＋e2)，因为e1，e2不共线，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(λ＝0,λ＝2))) ，无实数解，所以2e2与e1＋e2不共线，故可以作为平面向量基底；
C选项：令e1＋e2＝λ(e1－e2)，因为e1，e2不共线，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(λ＝1,－λ＝1))) ，无实数解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，故可以作为平面向量基底；
D选项：易知－3e1＋2e2＝－(3e1－2e2)，即－3e1＋2e2与3e1－2e2共线，不能作为平面向量基底．故选D.
答案：D
2．解析：如图所示， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(EC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) .
故选A.
答案：A
3．解析：因为C是AB中点，
所以 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) .
又因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ，
即 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (a＋b).
答案： eq \f(1,2) (a＋b)
4．解析：由AN＝ eq \f(1,4) AB，即 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(DN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AN,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) a－b；
由BM＝ eq \f(2,3) BC，则 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(2,3) b.
5．解析： eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(EB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) ( eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AE,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(3,8) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,8) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(3,4) eq \(BA,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,8) ( eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) )－ eq \f(3,4) eq \(BA,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(7,8) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,8) eq \(BC,\s\up6(→)) .故选C.
答案：C
6．解析：∵ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝2 eq \(EC,\s\up6(→)) ，∴ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) )＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ，
即 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) a＋ eq \f(2,3) b，∴λ＝－ eq \f(1,3) ，μ＝ eq \f(2,3) ，∴λ＋μ＝ eq \f(1,3) .故选A.
答案：A
7．解析：设 eq \(BG,\s\up6(→)) ＝k eq \(BE,\s\up6(→)) ＝k( eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,4) k eq \(AC,\s\up6(→)) －k eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以， eq \(AG,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BG,\s\up6(→)) ＝(1－k) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) k eq \(AC,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
eq \(AG,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(1－k＝\f(1,2)λ,\f(1,4)k＝\f(1,2)λ))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(k＝\f(4,5),λ＝\f(2,5)))) .
答案： eq \f(2,5)
8．解析：(1)由题可知： eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝b＋ eq \f(1,2) a.
(2) eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))
＝ eq \f(3,4) (b＋ eq \f(1,2) a)－ eq \f(1,2) a＝－ eq \f(1,8) a＋ eq \f(3,4) b.
9．解析：(1)因为E为BC边的中点，由平行四边形法则知： eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OE,\s\up6(→)) .
∵ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，
∴ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝－ eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(AO,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OE,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))）)) ＝ eq \f(1,6) a＋ eq \f(1,6) b；
(2) eq \(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )－ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (a＋b)－ eq \f(1,4) a＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,2) b.
10．解析：(1) eq \(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) a－b，
eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(4,5) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(4,5) b；
(2)因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) － eq \(DO,\s\up6(→)) ＝y eq \(AF,\s\up6(→)) －x eq \(DE,\s\up6(→)) ＝
y(a＋ eq \f(4,5) b)－x( eq \f(3,4) a－b)＝(y－ eq \f(3,4) x)a＋( eq \f(4,5) y＋x)b＝b.
即(y－ eq \f(3,4) x)a＋( eq \f(4,5) y＋x－1)b＝0，
因为a与b不共线，从而 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,4)x＝0,\f(4,5)y＋x－1＝0))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,8),y＝\f(15,32)))) .
11．解析：因为 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \(MC,\s\up6(→)) ， eq \(EF,\s\up6(→)) ＝3 eq \(EN,\s\up6(→)) ，由正六边形的性质可知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(FO,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BO,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )， eq \(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \(OF,\s\up6(→)) ＋ eq \(FN,\s\up6(→)) ＝ eq \(OF,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(FE,\s\up6(→)) ＝ eq \(OF,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(OE,\s\up6(→)) － eq \(OF,\s\up6(→)) )＝ eq \f(2,3) eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OF,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \(MO,\s\up6(→)) ＋ eq \(ON,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) ( eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )＋ eq \f(2,3) eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OF,\s\up6(→))
＝－ eq \f(1,2) (－ eq \(AF,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) )＋ eq \f(2,3) eq \(AF,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) (－ eq \(AB,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,2) eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))
＝ eq \f(7,6) eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \f(5,6) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(5,6) a＋ eq \f(7,6) b.故选B.
答案：B
12．解析：(1)设 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ma＋nb(m∈R，n∈R)，
由A，M，D三点共线，可知存在α(α∈R，且α≠－1)，使得 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝α eq \(MD,\s\up6(→)) ，
则 eq \(OM,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝α( eq \(OD,\s\up6(→)) － eq \(OM,\s\up6(→)) )，
因为 eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ，所以 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,1＋α) a＋ eq \f(α,2（1＋α）) b，
由平面向量基本定理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,1＋α),n＝\f(α,2（1＋α）))) ，即m＋2n＝1，①
同理，由B，M，C三点共线，可知存在β(β∈R，且β≠－1)，使得 eq \(CM,\s\up6(→)) ＝β eq \(MB,\s\up6(→)) ，
则 eq \(OM,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ＝β( eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OM,\s\up6(→)) )，
又 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ，所以 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3（β＋1）) a＋ eq \f(β,1＋β) b，
由平面向量基本定理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,3（1＋β）)，,n＝\f(β,1＋β)，)) 即3m＋n＝1，②
由①②得m＝ eq \f(1,5) ，n＝ eq \f(2,5) ，
故 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,5) a＋ eq \f(2,5) b；
(2)证明：由于E，M，F三点共线，则存在实数γ(γ∈R，且γ≠－1)使得 eq \(EM,\s\up6(→)) ＝γ eq \(MF,\s\up6(→)) ，即 eq \(OM,\s\up6(→)) － eq \(OE,\s\up6(→)) ＝γ( eq \(OF,\s\up6(→)) － eq \(OM,\s\up6(→)) )，
于是 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(\(OE,\s\up6(→))＋γ\(OF,\s\up6(→)),1＋γ) ，
又 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OF,\s\up6(→)) ＝μ eq \(OB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(λ\(OA,\s\up6(→))＋μγ\(OB,\s\up6(→)),1＋γ) ＝ eq \f(λ,1＋γ) a＋ eq \f(μγ,1＋γ) b，
由平面向量基本定理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)＝\f(λ,1＋γ),\f(2,5)＝\f(μγ,1＋γ)))) ，消去γ，
得 eq \f(1,λ) ＋ eq \f(2,μ) ＝5，
故 eq \f(1,λ) ＋ eq \f(2,μ) 为定值，该定值为5.