高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用一课一练，共6页。试卷主要包含了求cs ∠APC，故选D等内容，欢迎下载使用。

1.若O是△ABC内一点， eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，则O为△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
2．[2022·湖北黄冈高一期末]一物体在力F的作用下，由点A(10，5)移动到点B(4，2)，已知F＝(3，－5)，则F对该物体所做的功为( )
A．6 B．－6
C．3 D．－3
3．在四边形ABCD中，已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(4，－2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(7，4)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求：
(1) eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) 的值；
(2) eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(DC,\s\up6(→)) 的最大值．
5.(多选)[2022·福建泉州高一期中]点P是△ABC所在平面内一点，满足| eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PC,\s\up6(→)) |－| eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) －2 eq \(PA,\s\up6(→)) |＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．[2022·广东茂名高一期中]已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ eq \f(π,3) ，AB＝2，BC＝4，AD＝1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ＝1，则 eq \(DP,\s\up6(→)) · eq \(DQ,\s\up6(→)) 的最小值为( )
A．1 B． eq \f(11,2)
C． eq \f(13,2) D． eq \f(11,4)
7．[2022·山东滨州高一期末]一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 eq \r(3) m，河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货．若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是________km/h.
8．如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
9．已知平面四边形ABCD中，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝2| eq \(DC,\s\up6(→)) |＝2，| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) ，向量 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) 的夹角为 eq \f(π,3) .
(1)求证： eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ；
(2)点E是线段BC中点，求 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) 的值．
10．如图，在△OAB中，P为边AB上的一点， eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PA,\s\up6(→)) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→)))) ＝6， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→)))) ＝2，且 eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) 的夹角为60°.
(1)求 eq \(OP,\s\up6(→)) 的模长；
(2)求 eq \(OP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的值．
11.[2022·江苏南京高一期中]点O，N，P满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→)))) ， eq \(NA,\s\up6(→)) ＋ eq \(NB,\s\up6(→)) ＋ eq \(NC,\s\up6(→)) ＝0， eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \(PC,\s\up6(→)) · eq \(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \(PB,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心，外心，垂心
B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心
D．外心，重心，内心
12．[2022·山东菏泽高一期末]如图，在△ABC中，已知AC＝1，AB＝3，∠BAC＝60°，且 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0.求cs ∠APC.
答案：
1．解析：如图，取AB的中点E，连接OE，
则 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OE,\s\up6(→)) .
又 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(OE,\s\up6(→)) .又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝2| eq \(OE,\s\up6(→)) |.
所以O为△ABC的重心．故选D.
答案：D
2．解析：由题意得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－6，－3)，所以F对物体做的功W＝F· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，－5)·(－6，－3)＝3×(－6)＋(－5)×(－3)＝－3.故选D.
答案：D
3．解析： eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，6)＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ，又因为 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(4，－2)·(3，6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) ＝ eq \r(42＋（－2）2) ＝2 eq \r(5) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)))) ＝ eq \r(32＋62) ＝3 eq \r(5) ，
所以S＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)))) ＝2 eq \r(5) ×3 eq \r(5) ＝30.
答案：30
4．解析：(1)建立如图所示平面直角坐标系：
则D(0，0)，C(0，1)，B(1，1)，设E(1，x)，(0≤x≤1)，
所以 eq \(DE,\s\up6(→)) ＝(1，x)， eq \(CB,\s\up6(→)) ＝(1，0)，
所以 eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝1×1＋x×0＝1；
(2)因为 eq \(DE,\s\up6(→)) ＝(1，x)， eq \(DC,\s\up6(→)) ＝(0，1)，
所以 eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(DC,\s\up6(→)) ＝1×0＋x×1＝x，
因为0≤x≤1，
所以 eq \(DE,\s\up6(→)) · eq \(DC,\s\up6(→)) 的最大值是1.
5．解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且| eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PC,\s\up6(→)) |－| eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) －2 eq \(PA,\s\up6(→)) |＝0，
∴| eq \(CB,\s\up6(→)) |－|( eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) )＋( eq \(PC,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) )|＝0，
即| eq \(CB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) |，
∴| eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) |，
两边平方并化简得 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝0，
∴ eq \(AC,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AB,\s\up6(→)) ，
∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选AD.
答案：AD
6.
解析：如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为AD∥BC，∠B＝ eq \f(π,3) ，AB＝2，AD＝1，
所以D(2， eq \r(3) )，不妨设P(x，0)，Q(x＋1，0)(0≤x≤3)，
则 eq \(DP,\s\up6(→)) · eq \(DQ,\s\up6(→)) ＝(x－2，－ eq \r(3) )·(x－1，－ eq \r(3) )＝(x－2)(x－1)＋3＝x2－3x＋5＝(x－ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(11,4) ，
所以当x＝ eq \f(3,2) 时， eq \(DP,\s\up6(→)) · eq \(DQ,\s\up6(→)) 取得最小值 eq \f(11,4) ，故选D.
答案：D
7．解析：由题意，当小货船的航程最短时，航程路线为线段AC，
设小货船航行速度为v，水流的速度为v1，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 eq \r(3) m，河水的速度为向正东2 km/h，
AB＝250 eq \r(3) m，BC＝250 m，在Rt△ABC中，有tan ∠BCA＝ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(250\r(3),250) ＝ eq \r(3) ，
所以∠BCA＝ eq \f(π,3) ，∠BAC＝ eq \f(π,6) ，〈v1，v2〉＝ eq \f(π,2) ＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(2π,3) ，
所以v＝v2－v1，
所以|v|＝ eq \r(（v2－v1）2) ＝ eq \r(|v2|2＋|v1|2－2v1·v2) ＝ eq \r(62＋22－2×6×2cs \f(2π,3)) ＝2 eq \r(13) ，
所以小货船航行速度的大小为2 eq \r(13) km/h.
答案：2 eq \r(13)
8．证明： eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CE,\s\up6(→)) ＝( eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) )·( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) )＝( eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→)) )·( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) )
＝( eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→)) )·( eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→)) )＝( eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→)) )·( eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→)) )
＝－ eq \f(1,3) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→)))) 2＋ eq \f(1,3) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up6(→)))) 2，
因为CA＝CB，所以－ eq \f(1,3) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→)))) 2＋ eq \f(1,3) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up6(→)))) 2＝0，即 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CE,\s\up6(→)) ＝0，故AD⊥CE.
9．解析：(1)根据题意，画出示意图如下图所示，由题意可知| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝2，∠BAD＝ eq \f(π,3) ，所以三角形ABD为等边三角形，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BD,\s\up6(→)))) ＝2，又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DC)) ＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC)) ＝ eq \r(3) ，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DC)) 2＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC)) 2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BD)) 2，即△BCD为直角三角形，且∠C＝ eq \f(π,2) ，∠B＝ eq \f(π,6) ，所以∠ABC＝ eq \f(π,3) ＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BC,\s\up6(→)) ；
(2)根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，2)，D( eq \r(3) ，1)，因为点E是线段BC中点，所以E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0)) ， 则 eq \(EA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，2)) ， eq \(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) ，所以 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，2)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) ＝－ eq \f(3,4) ＋2＝ eq \f(5,4) .
10．解析：(1)因为 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PA,\s\up6(→)) ，所以 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) ( eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ，
因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→)))) ＝6， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→)))) ＝2， eq \(OA,\s\up6(→)) 与 eq \(OB,\s\up6(→)) 的夹角为60°，
所以 eq \(OP,\s\up6(→)) 2＝( eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) )2＝ eq \f(4,9) eq \(OA,\s\up6(→)) 2＋ eq \f(4,9) eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,9) eq \(OB,\s\up6(→)) 2＝ eq \f(4,9) ×36＋ eq \f(4,9) ×6×2× eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,9) ×4＝ eq \f(172,9) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OP,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(2\r(43),3) ；
(2) eq \(OP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝( eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) )·( eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )＝－ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) 2＋ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) 2
＝－ eq \f(2,3) ×36＋ eq \f(1,3) ×6×2× eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ×4＝－ eq \f(62,3) .
11．解析： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→)))) ，则O到三个顶点距离相等，O是△ABC的外心，
eq \(NA,\s\up6(→)) ＋ eq \(NB,\s\up6(→)) ＋ eq \(NC,\s\up6(→)) ＝0，设BC中点为D，则 eq \(NA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(ND,\s\up6(→)) ＝0，N在中线AD上，同理得N在其他两条中线上，故N是△ABC的重心，
eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \(PC,\s\up6(→)) · eq \(PA,\s\up6(→)) ，则 eq \(PA,\s\up6(→)) ·( eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PC,\s\up6(→)) )＝ eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0，故PA⊥BC，同理得PB⊥AC，P是△ABC的垂心，故选C.
答案：C
12．解析：由题意得| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝3，| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝1， eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 的夹角为∠BAC＝60°，
eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0，则 eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝－ eq \(PA,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(PC,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，
故 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )，同理 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) ( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) (2 eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )，
于是
| eq \(PA,\s\up6(→)) |2＝[－ eq \f(1,3) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )]2＝ eq \f(1,9) ( eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋2 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2)＝ eq \f(1,9) (9＋2×3×1× eq \f(1,2) ＋1)＝ eq \f(13,9) ，
∴| eq \(PA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(13),3) ，
| eq \(PC,\s\up6(→)) |2＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)（2\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))）)) 2＝ eq \f(1,9) ( eq \(AB,\s\up6(→)) 2－4 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＋4 eq \(AC,\s\up6(→)) 2)
＝ eq \f(1,9) (9－4×3×1× eq \f(1,2) ＋4)＝ eq \f(7,9) ，∴| eq \(PC,\s\up6(→)) |＝ eq \f(\r(7),3) ，
∴cs ∠APC＝ eq \f(\(PA,\s\up6(→))·\(PC,\s\up6(→)),|\(PA,\s\up6(→))|·|\(PC,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )) )
＝ eq \f(－\f(1,3)（\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))）·\f(1,3)（2\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))）,|\(PA,\s\up6(→))|·|\(PC,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )) )
＝ eq \f(－\f(1,9)（2\(AC,\s\up6(→))2＋\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))2）,|\(PA,\s\up6(→))|·|\(PC,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )) )
＝ eq \f(－\f(1,9)（2＋3×1×\f(1,2)－9）,\f(\r(13),3)×\f(\r(7),3)) ＝ eq \f(11,2\r(91)) ＝ eq \f(11\r(91),182) .