人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第2课时达标测试

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A．1 B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D．2
2．[2022·福建龙岩高一期末]在△ABC中，已知A＝60°，a＝2 eq \r(3) ，b＝2 eq \r(2) ，则B＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
3．[2022·山东临沭高一期中]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若 eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(cs B,b) ，则B＝( )
A． eq \f(3π,4) B． eq \f(π,3)
C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,6)
4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值．
5.(多选)[2022·河北唐山高一期中]△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是( )
A．a＝4，b＝3，A＝ eq \f(π,3) B．a＝3，b＝4，A＝ eq \f(π,6)
C．a＝3，b＝2，A＝ eq \f(2π,3) D．a＝1，b＝2，A＝ eq \f(π,4)
6．[2022·江苏泰州高一期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 eq \r(2) a＝ eq \r(3) b sin A，则sin B＝( )
A． eq \f(\r(6),3) B． eq \f(\r(3),3)
C． eq \f(\r(2),3) D． eq \f(1,3)
7．[2022·湖北武汉高一期末]在△ABC中，已知(a－c cs B)cs A＝a cs B cs C，那么△ABC一定是( )
A．等腰或直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－b2＝ eq \r(2) ac－c2.
(1)求B；
(2)若b＝5，cs C＝ eq \f(\r(2),10) ，求c.
9.[2022·湖南长沙高一期末]在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 eq \r(3) a＝2c sin A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝ eq \r(7) ，且ab＝6，求△ABC的周长．
10．已知方程x2－b cs Ax＋a cs B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状．
11.[2022·江苏南通高一期末]已知△ABC为锐角三角形，AC＝2，A＝ eq \f(π,6) ，则BC的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1，2)
C．(1， eq \f(2\r(3),3) ) D．( eq \f(2\r(3),3) ，2)
12．在△ABC中，a＝ eq \r(3) ，A＝ eq \f(π,3) ，试求△ABC的周长的取值范围．
答案：
1．解析：因为A＝ eq \f(π,4) ，B＝ eq \f(π,3) ，a＝ eq \r(2) ，
由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，即b＝ eq \f(a sin B,sin A) ＝ eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2)) ＝ eq \r(3) .故选C.
答案：C
2．解析：由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，即 eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2)) ＝ eq \f(2\r(2),sin B) ，解得sin B＝ eq \f(\r(2),2) ，又b答案：B
3．解析：由正弦定理可得 eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(sin B,b) ＝ eq \f(cs B,b) ，则sin B＝cs B，tan B＝1，又B∈(0，π)，则B＝ eq \f(π,4) .故选C.
答案：C
4．解析：∵ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，
∴a＝ eq \f(c sin A,sin C) ＝ eq \f(10sin 45°,sin 30°) ＝10 eq \r(2) .
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
又∵ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，
∴b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(10sin 105°,sin 30°) ＝20sin 75°
＝20× eq \f(\r(6)＋\r(2),4) ＝5( eq \r(6) ＋ eq \r(2) ).
5．解析：对于A，由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，即 eq \f(4,sin \f(π,3)) ＝ eq \f(3,sin B) ，解得sin B＝ eq \f(3\r(3),8) < eq \f(\r(3),2) ，又B对于B，由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，即 eq \f(3,sin \f(π,6)) ＝ eq \f(4,sin B) ，解得sin B＝ eq \f(2,3) > eq \f(1,2) ，又B>A，有两解，错误；
对于C，由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，即 eq \f(3,sin \f(2π,3)) ＝ eq \f(2,sin B) ，解得sin B＝ eq \f(\r(3),3) < eq \f(\r(3),2) ，又B对于D，由正弦定理得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，即 eq \f(1,sin \f(π,4)) ＝ eq \f(2,sin B) ，解得sin B＝ eq \r(2) >1，无解，错误．故选AC.
答案：AC
6．解析：由题意， eq \r(2) a＝ eq \r(3) b sin A ，∴ eq \r(2) sin A＝ eq \r(3) sin B sin A ，
∵sin A≠0，∴sin B＝ eq \f(\r(2),\r(3)) ＝ eq \f(\r(6),3) .故选A.
答案：A
7．解析：(a－c cs B)cs A＝a cs B cs C，由正弦定理可得：(sin A－sin C cs B)cs A＝sin A cs B cs C，
sin A cs A＝cs B(sin C cs A＋sin A cs C)＝cs B sin B，
所以sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2) .
所以△ABC是等腰或直角三角形．
答案：A
8．解析：(1)a2－b2＝ eq \r(2) ac－c2变形为a2＋c2－b2＝ eq \r(2) ac，
所以cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(\r(2),2) ，
因为B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,4) ，
(2)因为cs C＝ eq \f(\r(2),10) ，且C∈(0，π)，
所以sin C＝ eq \r(1－cs2C) ＝ eq \f(7\r(2),10) ，
由正弦定理得： eq \f(b,sinB) ＝ eq \f(c,sin C) ，即 eq \f(5,sin \f(π,4)) ＝ eq \f(c,\f(7\r(2),10)) ，
解得c＝7.
9．解析：(1)由 eq \r(3) a＝2c sin A及正弦定理得 eq \f(a,c) ＝ eq \f(2sin A,\r(3)) ＝ eq \f(sin A,sin C) ，
因为sin A>0，故sin C＝ eq \f(\r(3),2) .
又∵△ABC 为锐角三角形，所以C＝ eq \f(π,3) .
(2)由余弦定理a2＋b2－2ab cs eq \f(π,3) ＝7，
∵ab＝6，得a2＋b2＝13，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝3))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝2))) ，
∴△ABC 的周长为a＋b＋c＝5＋ eq \r(7) .
10．解析：设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝b cs A，x1x2＝a cs B，由题意得b cs A＝a cs B.
由正弦定理得2R sin B cs A＝2R sin A cs B，
∴sin A cs B－cs A sin B＝0，即sin (A－B)＝0.
在△ABC中，0∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
11．解析：因为△ABC为锐角三角形，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝\f(π,6),0解得 eq \f(π,3) 所以 eq \f(\r(3),2) 在△ABC中，由正弦定理，得 eq \f(AC,sin B) ＝ eq \f(BC,sin A) ，即BC＝ eq \f(AC·sin A,sin B) ＝ eq \f(2×sin \f(π,6),sin B) ＝ eq \f(1,sin B) ，
由 eq \f(\r(3),2) 所以BC的取值范围为(1， eq \f(2\r(3),3) ).故选C.
答案：C
12．解析：由正弦定理，得 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，
即 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(\r(3),\f(\r(3),2)) ＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝ eq \r(3) ＋2sin B＋2sin C
＝ eq \r(3) ＋2sin B＋2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))
＝ eq \r(3) ＋3sin B＋ eq \r(3) cs B
＝ eq \r(3) ＋2 eq \r(3) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6))) ，
又B∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))) ，
∴B＋ eq \f(π,6) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))) ，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6))) ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) ，
∴L∈(2 eq \r(3) ，3 eq \r(3) ].
即△ABC的周长的取值范围为(2 eq \r(3) ，3 eq \r(3) ].