高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第4课时巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第4课时巩固练习，共6页。
A． eq \r(3) B． eq \f(\r(3),4)
C． eq \f(\r(3),2) 或 eq \r(3) D． eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(\r(3),4)
2．在△ABC中，AB＝ eq \r(3) ，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝ eq \f(\r(3),2) ，则C＝( )
A．60°或120° B．30°
C．60° D．45°
3．[2022·河北唐山高一期末]△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，其面积为S.若4S＝a2＋c2－b2，则角B＝________．
4．[2022·广东珠海高一期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在BC边上，AD＝ eq \r(2) ，∠ADB＝60°.
(1)求AB的长度；
(2)若CD＝2 eq \r(2) ，求AC的长度．
5.[2022·山东菏泽高一期末]在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且 eq \f(cs A,sin B) ＝ eq \f(\r(3)a,3b) ，当a＝ eq \r(7) ，b＝2时，△ABC的面积是( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(7),2)
C． eq \f(3\r(3),2) D． eq \f(3\r(7),2)
6．[2022·辽宁重点高中协作体高一期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积S＝ eq \f(1,4) abc.若C＝ eq \f(π,3) ，则S的最大值为( )
A．2 eq \r(3) B． eq \f(2\r(6),3)
C．2 eq \r(6) D． eq \f(3\r(3),4)
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cs A(b cs C＋c cs B)＝a＝ eq \r(13) ，△ABC的面积为3 eq \r(3) ，则A＝________，b＋c＝________．
8．[2022·天津杨柳青高一期末]在△ABC中， eq \r(3) a cs B＝b sin A.
(1)求∠B；
(2)若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
9．[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝ eq \f(\r(3),2) ，sin B＝ eq \f(1,3) .
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝ eq \f(\r(2),3) ，求b.
10．[2022·河北保定高一期末]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 eq \f(a sin A sin C,csin 2B) ＝ eq \f(12,7) ，cs C＝－ eq \f(\r(21),14) .
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为 eq \f(5\r(3),2) ，且D为AC的中点，求线段BD的长．
11.在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为( )
A．4 eq \r(3) B．6 eq \r(3)
C．8 eq \r(3) D．10 eq \r(3)
12．[2022·广东揭阳高一期末]如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝120°.若CD＝2 eq \r(6) ，AD＝8，________，求AB的长．
从①BD＝6，∠ADC＝75°；②cs ∠ADB＝ eq \f(3,5) ，∠CBD＝45°；③S△ABD＝12 eq \r(3) ，∠CBD＝45°这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
答案：
1．解析：由余弦定理得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(a2＋3－1,2\r(3)a) ＝ eq \f(\r(3),2) ，解得a＝1或2，经检验，均符合要求．
当a＝1时，S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(3),4) ；
当a＝2时，S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \r(3) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选D.
答案：D
2．解析：在△ABC中，AB＝ eq \r(3) ，AC＝1，B＝30°，
S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·AC sin A＝ eq \f(\r(3),2) ，可得sin A＝1，所以A＝90°，
所以C＝180°－A－B＝60°.故选C.
答案：C
3．解析：因为4S＝a2＋c2－b2，则4× eq \f(1,2) ac sin B＝2ac cs B，
∵00，又sin B＝ eq \f(1,3) ，
则cs B＝ eq \r(1－（\f(1,3)）2) ＝ eq \f(2\r(2),3) ，ac＝ eq \f(1,cs B) ＝ eq \f(3\r(2),4) ，则S△ABC＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(\r(2),8) .
(2)由正弦定理得 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，则 eq \f(b2,sin 2B) ＝ eq \f(a,sin A) · eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(ac,sin A sin C) ＝ eq \f(\f(3\r(2),4),\f(\r(2),3)) ＝ eq \f(9,4) ，则 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(3,2) ，b＝ eq \f(3,2) sin B＝ eq \f(1,2) .
10．解析：(1)因为 eq \f(a sin A sin C,csin 2B) ＝ eq \f(12,7) ，所以 eq \f(a2c,b2c) ＝ eq \f(a2,b2) ＝ eq \f(12,7) .
设a2＝12k(k>0)，则b2＝7k，由cs C＝－ eq \f(\r(21),14) ，
得 eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(19k－c2,4\r(21)k) ＝－ eq \f(\r(21),14) ，解得c2＝25k，
所以cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(3k,2\r(3)k) ＝ eq \f(\r(3),2) ，
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